Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Неравенство вида LaTeX formula: ax+d< c (>; ≤; ≥) называют линейным. 
Чтобы решить линейное неравенство необходимо привести его к виду LaTeX formula: ax<b (>, ≤, ≥). Для этого слагаемые, содержащие переменную, переносят в одну часть неравенства, а слагаемые, не содержащие переменную – в другую. Разделив обе части неравенства на коэффициент при переменной (если он отличен от нуля), получают решение неравенства. 
При этом возможны следующие случаи.
1. Если LaTeX formula: a> 0 и LaTeX formula: b\in R, то  LaTeX formula: x< \frac{b}{a} – решение неравенства LaTeX formula: ax< b.
2. Если LaTeX formula: a< 0 и LaTeX formula: b\in R, то LaTeX formula: x> \frac{b}{a} – решение неравенства LaTeX formula: ax< b.
3. Если LaTeX formula: a=0 и LaTeX formula: b< 0, то неравенство LaTeX formula: ax< b примет вид LaTeX formula: 0x< b или LaTeX formula: 0< b. Поскольку полученное числовое неравенство не верное, то неравенство LaTeX formula: ax< b решений не имеет. Записывают: решений нет. Можно записать иначе: LaTeX formula: x\in \O.
4. Если LaTeX formula: a=0 и LaTeX formula: b> 0, то неравенство LaTeX formula: ax< b примет вид LaTeX formula: 0x< b или  LaTeX formula: 0< b. Поскольку полученное числовое неравенство верное, то неравенство LaTeX formula: ax< b имеет бесконечное множество решений. Записывают: LaTeX formula: x\in R.
Пример 1. Найдите середину интервала, являющегося решением системы неравенств  
LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} -2<2x-1< 1, & \\ (2\sqrt{5}-5)(3-5x)< 0. & & \end{array}\right
Решение. Решим каждое неравенство системы: 
1) LaTeX formula: -2< 2x-1< 1\Leftrightarrow -1< 2x< 2\Leftrightarrow -\frac{1}{2}< x< 1;
2) LaTeX formula: (2\sqrt{5}-5)(3-5x)< 0\Leftrightarrow 3-5x> 0\Leftrightarrow 5x-3< 0\Leftrightarrow x< \frac{3}{5}, поскольку LaTeX formula: 2\sqrt{5}-5=\sqrt{20}-\sqrt{25}< 0
Найдем решение данной системы неравенств. Согласно рисунку 7.7 запишем LaTeX formula: x\in (-0,5;0,6).

Найдем середину интервала: LaTeX formula: (-0,5+0,6):2=0,05.
Ответ: 0,05.
Пример 2. Найдите наибольшее целое решение совокупности неравенств LaTeX formula: \begin{bmatrix} 2-\frac{5-x}{3}\geq x+1, & & \\ 3+\frac{x-1}{4}< 2-x. & & \end{matrix}
Решение. Найдем решение каждого неравенства совокупности, выполнив равносильные преобразования неравенств:
1) LaTeX formula: 2-\frac{5-x}{3}\geq x+1\Leftrightarrow 6-5+x\geq 3x+3\Leftrightarrow 2x\leq -2\Leftrightarrow x\leq -1;
2) LaTeX formula: 3+\frac{x-1}{4}< 2-x\Leftrightarrow 12+x-1< 8-4x\Leftrightarrow 5x< -3\Leftrightarrow x< -\frac{3}{5}.
Поскольку решение второго неравенства содержит решение первого неравенства, то решением данной совокупности неравенств является промежуток LaTeX formula: (-\infty ;-0,6), а число –1 является наибольшим целым решением этой совокупности неравенств.
Ответ: –1.

Сравните решения неравенств: 
1) LaTeX formula: 2x> 4\Leftrightarrow x> 2;
2) LaTeX formula: 2x> 4\Leftrightarrow x> 2;
3) LaTeX formula: -2x> 4\Leftrightarrow x< -2;
4) LaTeX formula: -2x> -4\Leftrightarrow x< 2;
5) LaTeX formula: 2x>2x+4\Leftrightarrow x\in \varnothing;
6) LaTeX formula: 2x< 2x+4\Leftrightarrow x\in R.

formula