Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Неравенством с одной переменной называют каждое из выражений вида:  
LaTeX formula: f(x)< g(x)LaTeX formula: f(x)> g(x)LaTeX formula: f(x)\leq g(x) , LaTeX formula: f(x)\geq g(x)
где знаки LaTeX formula: <LaTeX formula: >LaTeX formula: \leq LaTeX formula: \geq означают соответственно меньше, больше, меньше или равно, больше или равно. 
Например, LaTeX formula: 3x+4< 0LaTeX formula: sinx\geq 0,5, LaTeX formula: \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x-2}}> x+4, LaTeX formula: 2^{x}> 2^{\left | x \right |}LaTeX formula: log_{3}(3-x^{2})\leq 1  – примеры неравенств с одной переменной.
Решением неравенства называют значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство. 
Решить неравенство – значит найти множество всех его решений или доказать, что неравенство не имеет решений. 
Областью определения (областью допустимых значений) неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x)  называют общую часть областей определения функций LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x).
Равносильные неравенства
Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают или оба неравенства не имеют решений. 
Например: 1) неравенства LaTeX formula: x^{2}\geq 0  и LaTeX formula: \left | x \right |\geq 0  равносильны, так как оба неравенства выполняются на множестве действительных чисел; 
2) неравенства LaTeX formula: \sqrt{2x}< 0  и LaTeX formula: \left | x+1 \right |< 0  равносильны, так как оба неравенства не имеют решений; 
Решая неравенство, как правило, его заменяют более простым, но равносильным ему неравенством. Такие замены осуществляют на основании следующих утверждений:
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному неравенству. 
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, положительную на области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному неравенству. 
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на одну и ту же функцию, отрицательную на области определения неравенства, изменив при этом смысловой знак неравенства, то получим неравенство, равносильное данному.
4. Неравенства LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}< 0  и  LaTeX formula: f(x)g(x)< 0, а также неравенства LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}> 0  и LaTeX formula: f(x)g(x)> 0 равносильны. 
5. Неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x) и LaTeX formula: (f(x))^{n}< (g(x))^{n} равносильны для всех LaTeX formula: n\in N при условии, что значения выражений LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x) неотрицательные. 
6. Неравенства LaTeX formula: f^{2n}(x)< g^{2n}(x)  и LaTeX formula: \left | f(x) \right |< \left | g(x) \right | равносильны для всех LaTeX formula: n\in N
7. Неравенства LaTeX formula: \sqrt[2n+1]{f(x)}< \sqrt[2n+1]{g(x)} и LaTeX formula: f(x)< g(x) равносильны для всех LaTeX formula: n\in N
Системы и совокупности неравенств с одной переменной
Рассмотрим два неравенства LaTeX formula: f_{1}(x)< g_{1}(x)  и  LaTeX formula: f_{2}(x)< g_{2}(x)
Систему двух неравенств записывают в виде: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f_{1}(x)< g_{1}(x), & & \\ f_{2}(x)< g_{2}(x). & & \end{matrix}\right.  
Совокупность неравенств записывают в виде: LaTeX formula: \begin{bmatrix} f_{1}(x)< g_{1}(x), & & \\ f_{2}(x)< g_{2}(x). & & \end{matrix}
Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы, тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы. 
Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности, тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности. 
Метод интервалов
Метод интервалов основан на следующем свойстве двучлена: если отметить на координатной оси LaTeX formula: Ox число LaTeX formula: x_{0} (рис. 7.1), то для любого LaTeX formula: x, находящегося справа от точки LaTeX formula: x_{0}, двучлен LaTeX formula: x-x_{0} положителен, а слева от точки LaTeX formula: x_{0} он отрицателен. 
                
Рассмотрим дробно-рациональную функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x-x_{3})(x-x_{4})} где: LaTeX formula: x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}. 
Если LaTeX formula: x> x_{4},  то каждый из сомножителей  LaTeX formula: x-x_{1}LaTeX formula: x-x_{2},  LaTeX formula: x-x_{3}LaTeX formula: x-x_{4} положителен, и, следовательно, на промежутке LaTeX formula: (x_{4};+\infty) имеем LaTeX formula: f(x)> 0 (рис. 7.2). Если LaTeX formula: x_{3}< x< x_{4}, то множитель  LaTeX formula: x-x_{4}< 0, а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на промежутке LaTeX formula: (x_{3};x_{4}) имеем LaTeX formula: f(x)< 0. Однако при разложении левой части неравенства могут встретиться одинаковые множители. 
Число LaTeX formula: k\in N называют кратностью корня LaTeX formula: x_{1} многочлена LaTeX formula: f(x)=(x-x_{1})^{k}(x-x_{2}), а число LaTeX formula: x_{1} – k-кратным корнем этого многочлена. 
В процессе решения неравенств методом интервалов для удобства корни четной кратности будем наносить на координатную прямую дважды, а нечетной кратности – один раз. При переходе через корень четной кратности знаки значений функции не изменятся, а при переходе через корень нечетной кратности – изменятся. 
При решении неравенств вида LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}\leq 0 и LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}\geq 0 корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена LaTeX formula: g(x)
Пример 1. Найдите область определения неравенства LaTeX formula: \frac{x^{2}+1}{\sqrt{x-2}}> lg(x-4).
Решение. Областью определения функции LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x-2}} является промежуток LaTeX formula: (2;+\infty ), а областью определения функции LaTeX formula: g(x)=lg(x-4) является промежуток LaTeX formula: (4;+\infty ). Следовательно, областью определения данного неравенства является промежуток LaTeX formula: (4;+\infty ).
Ответ:  LaTeX formula: (4;+\infty ).
Пример 2. Решите систему неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x<5,\\ \ x\geq -2 \end{matrix}\right. и совокупность неравенств LaTeX formula: \begin{bmatrix} \ x<-2,\\ x\geq 5. \end{matrix}
Решение. Решением системы неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x<5,\\ \ x\geq -2 \end{matrix}\right. является промежуток LaTeX formula: \left [-2;5) (рис. 7.3).
Решением совокупности неравенств LaTeX formula: \begin{bmatrix} \ x<-2,\\ x\geq 5 \end{matrix} являются промежутки LaTeX formula: (-\infty ;-2) и LaTeX formula: \left [5;+\infty ) (рис. 7.4).
        
Ответ:  LaTeX formula: \left [-2;5)LaTeX formula: (-\infty ;-2) \cup \left [5;+\infty ).
Пример 3. Решите неравенства LaTeX formula: (x-1)^{2}(x-5)^{3}> 0 и LaTeX formula: \frac{(x-6)(x-3)}{2-x}\geq 0.
Решение. Решение неравенства LaTeX formula: (x-1)^{2}(x-5)^{3}> 0 показано на рисунке 7.5: LaTeX formula: x\in (5;+\infty )
Решение неравенства LaTeX formula: \frac{(x-6)(x-3)}{2-x}\geq 0 показано на рисунке 7.6: LaTeX formula: x\in (-\infty ;2 )\cup \left [ 3;6 \right ].
       
Ответ: LaTeX formula: (5;+\infty )LaTeX formula: (-\infty ;2 )\cup \left [ 3;6 \right ].

Наряду с алгебраическим подходом к решению неравенств можно использовать также и функциональный подход.
Приведем алгоритм решения методом интервалов неравенства вида LaTeX formula: f(x)< 0 ( LaTeX formula: >LaTeX formula: \leqLaTeX formula: \geq), где функция LaTeX formula: y=f(x) может быть произвольной (рациональной, иррациональной, показательной, логарифмической, тригонометрической и т. д.):
1) запишем функцию LaTeX formula: y=f(x);
2) найдем область определения функции;
3) найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: f(x)=0;
4) нанесем нули функции на ее область определения;
5) определим знаки значений функции на одном из полученных промежутков;
6) определим знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый нуль функции знаки значений функции изменяются (учитываем кратность нулей);
7) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак. 

formula