Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же число  LaTeX formula: q
Число LaTeX formula: q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например,числовая последовательность LaTeX formula: 32, 16, 8, 4, … является геометрической прогрессией, первый член которой равен LaTeX formula: 32, а знаменатель ее равен  LaTeX formula: \frac{1}{2} .
Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.
Если  LaTeX formula: b_{1} – первый член прогрессии LaTeX formula: (b_{1}\neq0 ) ,   LaTeX formula: q– знаменатель прогрессии  LaTeX formula: (q\neq 1 ) , а LaTeX formula: n – количество членов прогрессии, то справедливы следующие формулы.
Формула LaTeX formula: n-го члена:
LaTeX formula: b_{n}=b_{1}q^{n-1}. (6.4)
Формула суммы  LaTeX formula: n первых членов:
LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q}. (6.5)
Свойство LaTeX formula: n–го члена
LaTeX formula: b_{n}^{2}=b_{n-1}b_{n+1}. (6.6)
Если LaTeX formula: \left |q \right |<1 , то имеем бесконечную убывающую геометрическую прогрессию, сумму которой находят по формуле:
LaTeX formula: S=\frac{b_{1}}{1-q}. (6.7)

Пример 1. Найдите шестой член геометрической прогрессии с положительным членами, если ее третий член равен LaTeX formula: 36, а пятый член равен LaTeX formula: 16.

Решение. Согласно свойству 6.6 запишем: LaTeX formula: b_4=\sqrt{b_3\cdot b_5}=\sqrt{36\cdot 16}=24.

Найдем знаменатель прогрессии: LaTeX formula: q=\frac{b_5}{b_4}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3}.

Найдем шестой член прогрессии: LaTeX formula: b_6=b_5\cdot q=16\cdot \frac{2}{3}=\frac{32}{3}.

Ответ: LaTeX formula: 10\frac{2}{3}.

Пример 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, члены которой поочередно меняют знак, если сумма первых шести членов равна LaTeX formula: 504, а сумма первого и четвертого члена равна LaTeX formula: 24
Решение. Условию задачи соответствует система уравнений LaTeX formula: \begin{cases} S_{6}=504,\\ b_{1}+b_{4}=24. \end{cases}
 Применяя формулы 6.4 и 6.5, запишем 

LaTeX formula: \begin{cases} \frac{b_{1}(1-q^6)}{1-q} =504, \\ b_{1}+b_{1}q^3=24; \end{cases}  LaTeX formula: \begin{cases} \frac{b_{1}(1-q^3)(1+q^3)}{1-q} =504, \\ b_{1}(1+q^3)=24. \end{cases}
Разделим первое уравнение системы на второе и получим:
LaTeX formula: \frac{b_{1}(1-q^3)(1+q^3)}{(1-q)b_{1}(1+q^3) } =\frac{504}{24},1+q+q^2=21,q^2+q-20=0, откуда  LaTeX formula: q_{1}=4,q_{2}=-5  .
Найдем первый член прогрессии, подставляя значения LaTeX formula: q в уравнение LaTeX formula: b_{1}(1+q^3) =24 : 
если LaTeX formula: q=4 , то LaTeX formula: b_{1}=\frac{24}{65} ; 
если LaTeX formula: q=-5 , то LaTeX formula: b_{1}=-\frac{6}{31} . 
Так как согласно условию задачи члены заданной геометрической прогрессии поочередно меняют знак, то знаменатель прогрессии равен LaTeX formula: -LaTeX formula: –5.
Ответ: LaTeX formula: -5.
Пример 3. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна LaTeX formula: 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии равна LaTeX formula: 1536. Найдите четвертый член прогрессии.
Решение. Рассмотрим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию с первым членом LaTeX formula: b_{1}  и знаменателем LaTeX formula: q : 
 LaTeX formula: b_{1},b_{1}q,b_{1}q^2,b_{1}q^3,...
Согласно формуле  6.7  запишем:LaTeX formula: \frac{b_{1}}{1-q}=16LaTeX formula: b_{1}=16\cdot (1-q) .
Рассмотрим бесконечную убывающую геометрическую прогрессию LaTeX formula: b_{1}^{2},b_{1}^{2}q^2,b_{1}^{2}q^4,b_{1}^{2}q^6,...  с первым членом LaTeX formula: b_{1}^{2}  и знаменателем  LaTeX formula: q^2. Согласно формуле 6.7  запишем:
 LaTeX formula: \frac{b_{1}^{2}}{1-q^2}=1536,b_{1}^{2} =1536\cdot (1-q^2).
Зная, что  LaTeX formula: b_{1}=16\cdot (1-q),получим: LaTeX formula: 16^2(1-q)^2=1536(1-q)(1+q),1-q=6(1+q), 7q=-5,LaTeX formula: q=-\frac{5}{7}.
Тогда  LaTeX formula: b_{1}=16\cdot \left (1+\frac{5}{7} \right ) =16\cdot \frac{12}{7}=\frac{192}{7}.
По формуле 6.4 найдем четвертый член этой прогрессии . Получим LaTeX formula: b_{4}=\frac{192}{7}\cdot \left (-\frac{5}{7} \right )^3=-\frac{24000}{2401} .
Ответ: LaTeX formula: -\frac{24000}{2401}.
Пример 4. Найдите LaTeX formula: a^3, если  LaTeX formula: a=\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}}
Решение. Запишем LaTeX formula: a=m^{\frac{1}{2}}\cdot n^{\frac{1}{4}}\cdot m^{\frac{1}{8}}\cdot n^{\frac{1}{16}}\cdot m^{\frac{1}{32}}\cdot ...,
LaTeX formula: a=\left (m^{\frac{1}{2}}\cdot m^{\frac{1}{8}}\cdot m^{\frac{1}{32}}\cdot ... \right ) \cdot \left (n^{\frac{1}{4}}\cdot n^{\frac{1}{16}}\cdot n^{\frac{1}{64}}\cdot ... \right ),LaTeX formula: a=m^{\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+...}\cdot n^{\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...}.
Рассмотрим показатели степеней: 
1) LaTeX formula: \frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+... – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{2}  и LaTeX formula: q=\frac{1}{4} . Тогда по формуле 6.7 LaTeX formula: S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3};
2) LaTeX formula: \frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...  – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{4}  и  LaTeX formula: q=\frac{1}{4}. Тогда по формуле 6.7 LaTeX formula: S=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{1}{3 }.
Получим LaTeX formula: a=m^{\frac{2}{3}}\cdot n^{\frac{1}{3}},  откуда LaTeX formula: a^3=m^2n .
Ответ: LaTeX formula: a^3=m^2m.
Пример 5. Найдите сумму корней уравнения LaTeX formula: x^{-1}+x+x^2+...+x^n+...=3,5  , если LaTeX formula: \left |x \right |<1 .
Решение. Прибавляя к обеим частям уравнения число LaTeX formula: 1, запишем: LaTeX formula: \frac{1}{x}+1+x+x^2+x^3+...+x^n+...=\frac{9}{2} . 
Поскольку в левой части уравнения записана сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом LaTeX formula: b_{1}=\frac{1}{x}  и знаменателем LaTeX formula: q=x , то согласно формуле 6.7  получим: LaTeX formula: \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{1-x}=\frac{9}{2}, \frac{1}{x-x^2}=\frac{9}{2}, 9x^2-9x+2=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=\frac{2}{3} . 
Так как оба корня удовлетворяют условию LaTeX formula: \left |x \right |<1 , то найдем их сумму: LaTeX formula: \frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1 .
Ответ: LaTeX formula: 1.

1. Знаменатель геометрической прогрессии q можно найти по формуле: LaTeX formula: q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}} .
2. Различайте формулы: 
1)  LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}(1-q^n)}{1-q} – сумма LaTeX formula: n  первых членов любой геометрической прогрессии; 
2) LaTeX formula: S_{n}=\frac{b_{1}}{1-q}  – сумма всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.

3. Пример 4 можно решить иначе:

Возведем обе части исходного равенства дважды в квадрат: 
LaTeX formula: a^2=\left (\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}} \right )^2,LaTeX formula: a^2=m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}} ,
LaTeX formula: a^4=m^2n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}} .
Учитывая, что LaTeX formula: a=\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n\sqrt{m\sqrt{n...}}}}}}, получим: 
 LaTeX formula: a^4=m^2na, откуда LaTeX formula: a^3=m^2n .


formula