Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и то же число LaTeX formula: d. 

Число LaTeX formula: d называют разностью арифметической прогрессии.
Если  LaTeX formula: d>0, то арифметическая прогрессия является возрастающей числовой последовательностью, а если LaTeX formula: d<0 , то – убывающей числовой последовательностью. 
Например,числовая последовательность LaTeX formula: 6; 4; 2; 0; –2;… является убывающей арифметической прогрессией, первый член которой равен LaTeX formula: 6, а ее разность равна LaTeX formula: -2.
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Если LaTeX formula: a_{1} – первый член прогрессии, LaTeX formula: d  – разность прогрессии, а LaTeX formula: n – количество членов прогрессии, то справедливы следующие формулы.
Формула LaTeX formula: n-го члена:
LaTeX formula: a_{n}=a_{1}+d(n-1). (6.1)
Формулы суммы LaTeX formula: n  первых членов:
LaTeX formula: S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n (6.2)
или
LaTeX formula: S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n(6.2.1)
Свойство LaTeX formula: n-го члена:
LaTeX formula: a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1}). (6.3)

Пример 1. Сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии равна LaTeX formula: 136. Найдите девятый член этой прогрессии.
Решение. Согласно формуле 6.2 Запишем сумму LaTeX formula: 17 первых членов прогрессии: LaTeX formula: S_{17}=\frac{2a_{1}+d(17-1)}{2}\cdot 17 .
Так как  LaTeX formula: S_{17}=136, то LaTeX formula: 136=\frac{2a_{1}+16d}{2}\cdot 17 , откуда  LaTeX formula: 136=(a_{1}+8d)\cdot 17 и  LaTeX formula: a_{1}+8d=8

Поскольку по формуле 6.1  LaTeX formula: a_{9}=a_{1}+8d , то LaTeX formula: a_{9}=8 .

Ответ: LaTeX formula: 8.
Пример 2. Арифметическая прогрессия содержит LaTeX formula: 25 членов. Первый член прогрессии равен LaTeX formula: 429, разность ее равна LaTeX formula: -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна LaTeX formula: 3069?
Решение. Согласно условию задачи  LaTeX formula: a_{1}=429,  LaTeX formula: d=-22LaTeX formula: S_{n}=3096 С учетом формулы 6.2 запишем уравнение  LaTeX formula: \frac{2\cdot429-22(n-1)}{2}\cdot n=3096 , откуда  LaTeX formula: (429-11n+11)n=3096, 11n^2-440n+3096=0,LaTeX formula: n^2-40n+279=0,n_{1}=9,n_{2}=31. Поскольку прогрессия содержит LaTeX formula: 25 членов, то  LaTeX formula: n=9.

Ответ: LaTeX formula: 9.
Пример 3. Двадцать пять чисел, первое из которых равно единице, а каждое следующее на LaTeX formula: 0,5 больше предыдущего, в порядке возрастания расположены в двух таблицах. Сумма чисел первой таблицы равна LaTeX formula: 7. Сколько чисел содержится во второй таблице?
Решение. Согласно условию задачи запишем: LaTeX formula: a_{1}=1 , LaTeX formula: d=0,5 . Если в первой таблице LaTeX formula: n чисел, то LaTeX formula: S_{n}=7 . Подставляя значения  LaTeX formula: a_{1}=1LaTeX formula: d=0,5  и LaTeX formula: S_{n}=7  в формулу 6.2 , получим:  LaTeX formula: \frac{2+0,5(n-1)}{2}n=7, откуда LaTeX formula: \left (2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \right )n=14, LaTeX formula: (4+n-1)n=28,n^2+3n-28=0, откуда LaTeX formula: n_{1}=-7 , LaTeX formula: n_{2}=4 . Поскольку  LaTeX formula: n_{1}=-7 – посторонний корень уравнения, то LaTeX formula: n=4  и, следовательно, в первой таблице LaTeX formula: 4 числа. Так как имеется LaTeX formula: 25 чисел, то вторая таблица содержит LaTeX formula: 21 число.
Ответ: LaTeX formula: 21.
Пример 4. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается LaTeX formula: 3, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается LaTeX formula: 2 и в остатке LaTeX formula: 8. Определите второй член прогрессии.
Решение. Согласно условию задачи запишем систему уравнений  LaTeX formula: \begin{cases} \frac{a_{13}}{a_{3}}=3, \\ \frac{a_{18}}{a_{7}}=2+\frac{8}{a_{7}} ; \end{cases} \begin{cases} a_{13}=3a_{3}, \\ a_{18}= 2a_{7}+8. \end{cases}
Применяя формулу 6.1 , получим  LaTeX formula: a_{3}=a_{1}+2d,a_{7}=a_{1}+6d,a_{13}=a_{1}+12d   и LaTeX formula: a_{18}=a_{1}+17d . 
Система уравнений примет вид: LaTeX formula: \begin{cases} a_{1} +12d=3(a_{1}+2d), \\ a_{1} +17d=2(a_{1}+6d)+8 ; \end{cases} LaTeX formula: \begin{cases} a_{1} =3d, \\ a_{1} =5d -8; \end{cases} \begin{cases} a_{1} =3d, \\ 3d =5d -8; \end{cases} \begin{cases} a_{1} =12, \\ d =4. \end{cases}
Найдем второй член прогрессии: LaTeX formula: a_{2}=a_{1}+d=12+4=16 .
Ответ: LaTeX formula: 16.
Пример 5. В арифметической прогрессии LaTeX formula: 10 членов. Сумма членов с четными номерами равна LaTeX formula: A, а сумма членов с нечетными номерами равна LaTeX formula: B. Чему равна разность этой прогрессии?
Решение. Рассмотрим члены прогрессии с четными номерами: LaTeX formula: a_{2},a_{4},a_{6},a_{8},a_{10} . Согласно формуле 6.2.1  получим: LaTeX formula: \frac{a_{2}+a_{10}}{2}\cdot 5=A ,  LaTeX formula: a_{2}+a_{10}=0,4 A

Согласно формуле 6.1  LaTeX formula: a_{2}=a_{1}+d и LaTeX formula: a_{10}=a_{1}+9d . Тогда LaTeX formula: 2a_{1}+10d=0,4A , LaTeX formula: a_{1}+5d=0,2A .

Рассмотрим члены прогрессии с нечетными номерами:  LaTeX formula: a_{1},a_{3},a_{5},a_{7},a_{9}  . Выполняя аналогичные действия, получим  LaTeX formula: \frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 5=B, LaTeX formula: a_{1}+a_{9}=0,4B,  LaTeX formula: 2a_{1}+8d=0,4B,  LaTeX formula: a_{1}+4d=0,2B .
Вычитая из уравнения LaTeX formula: a_{1}+5d=0,2A  уравнение LaTeX formula: a_{1}+4d=0,2B , найдем разность прогрессии: LaTeX formula: d=0,2(A-B) . 
Ответ: LaTeX formula: 0,2(A-B).
Пример 6. Найдите сумму всех четных натуральных двузначных чисел, которые при делении на LaTeX formula: 13 дают в остатке LaTeX formula: 5.
Решение. Найдем наименьшее четное натуральное двузначное число, которое при делении на LaTeX formula: 13 дает в остатке LaTeX formula: 5. Это LaTeX formula: 13+5=18 .
Найдем наибольшее четное двузначное натуральное число, которое при делении на LaTeX formula: 13 дает в остатке LaTeX formula: 5. Для этого разделим LaTeX formula: 99 на LaTeX formula: 13. Поскольку  LaTeX formula: 99=7\cdot 13+8, то LaTeX formula: 7\cdot 13+5=96 . 
Очевидно, что множество рассматриваемых чисел образует арифметическую прогрессию, у которой LaTeX formula: a_{1}=18,d=36  и LaTeX formula: a_{n}=96  . Найдем число членов этой прогрессии. Согласно формуле 6.1  получим:  LaTeX formula: 96=18+26\cdot (n-1), откуда LaTeX formula: 26\cdot (n-1)=78, n-1=3   и  LaTeX formula: n=4.
В соответствии с формулой 6.2.1 запишем  LaTeX formula: S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4LaTeX formula: S_{4}=\frac{18+96}{2}\cdot 4=228 .
Ответ: LaTeX formula: 228.

Пример 7. Найдите сумму с четвертого члена по седьмой член арифметической прогрессии, если ее пятый член равен LaTeX formula: 10, а седьмой член равен LaTeX formula: 16.
Решение. Согласно свойству 6.3 запишем: LaTeX formula: a_6=\frac{1}{2}(10+16)=13 .
Найдем разность прогрессии: LaTeX formula: d=a_6-a_5=13-10=3 .
Найдем четвертый член прогрессии: LaTeX formula: a_4=a_5-d=10-3=7 .
Тогда LaTeX formula: a_4+a_5+a_6+a_7=7+10+13+16=46 .
ОтветLaTeX formula: 46 .

1. Разность прогрессии можно найти по формуле:  LaTeX formula: d=a_{n+1}-a_{n}.
2. Сумма членов арифметической прогрессии с LaTeX formula: n-го члена по LaTeX formula: m-ый член равна: LaTeX formula: S_{m}-S_{n-1}.

formula