Арифметическая прогрессия

Справочник / Школьник / Прогрессии /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и то же число LaTeX formula: d

LaTeX formula: d

.

Число  называют разностью арифметической прогрессии.
Если , то арифметическая прогрессия является возрастающей числовой последовательностью, а если  , то – убывающей числовой последовательностью.
Например,числовая последовательность … является убывающей арифметической прогрессией, первый член которой равен , а ее разность равна .
Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Если $LaTeX formula: a_{1}$ – первый член прогрессии,   – разность прогрессии, а  – количество членов прогрессии, то справедливы следующие формулы.
Формула -го члена:
$LaTeX formula: a_{n}=a_{1}+d(n-1)$ . (6.1)
Формулы суммы   первых членов:
$LaTeX formula: S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$ (6.2)
или
$LaTeX formula: S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ . (6.2.1)
Свойство -го члена:
$LaTeX formula: a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+a_{n+1})$ . (6.3)

Пример 1. Сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии равна . Найдите девятый член этой прогрессии.
Решение. Согласно формуле 6.2 Запишем сумму первых членов прогрессии: $LaTeX formula: S_{17}=\frac{2a_{1}+d(17-1)}{2}\cdot 17$ .
Так как $LaTeX formula: S_{17}=136$ , то $LaTeX formula: 136=\frac{2a_{1}+16d}{2}\cdot 17$ , откуда $LaTeX formula: 136=(a_{1}+8d)\cdot 17$ и $LaTeX formula: a_{1}+8d=8$ .

Поскольку по формуле 6.1 $LaTeX formula: a_{9}=a_{1}+8d$ , то $LaTeX formula: a_{9}=8$ .

Ответ: .
Пример 2. Арифметическая прогрессия содержит членов. Первый член прогрессии равен , разность ее равна . Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна ?
Решение. Согласно условию задачи $LaTeX formula: a_{1}=429$ , , $LaTeX formula: S_{n}=3096$ . С учетом формулы 6.2 запишем уравнение $LaTeX formula: \frac{2\cdot429-22(n-1)}{2}\cdot n=3096$ , откуда $LaTeX formula: n^2-40n+279=0,n_{1}=9,n_{2}=31$ . Поскольку прогрессия содержит членов, то .

Ответ: .
Пример 3. Двадцать пять чисел, первое из которых равно единице, а каждое следующее на  больше предыдущего, в порядке возрастания расположены в двух таблицах. Сумма чисел первой таблицы равна . Сколько чисел содержится во второй таблице?
Решение. Согласно условию задачи запишем: $LaTeX formula: a_{1}=1$ ,  . Если в первой таблице  чисел, то $LaTeX formula: S_{n}=7$ . Подставляя значения $LaTeX formula: a_{1}=1$ ,   и $LaTeX formula: S_{n}=7$ в формулу 6.2 , получим: $LaTeX formula: \frac{2+0,5(n-1)}{2}n=7,$ откуда $LaTeX formula: \left (2+\frac{1}{2}n-\frac{1}{2} \right )n=14,$   откуда $LaTeX formula: n_{1}=-7$ , $LaTeX formula: n_{2}=4$ . Поскольку $LaTeX formula: n_{1}=-7$ – посторонний корень уравнения, то   и, следовательно, в первой таблице  числа. Так как имеется  чисел, то вторая таблица содержит  число.
Ответ: .
Пример 4. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается , а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается  и в остатке . Определите второй член прогрессии.
Решение. Согласно условию задачи запишем систему уравнений $LaTeX formula: \begin{cases} \frac{a_{13}}{a_{3}}=3, \\ \frac{a_{18}}{a_{7}}=2+\frac{8}{a_{7}} ; \end{cases} \begin{cases} a_{13}=3a_{3}, \\ a_{18}= 2a_{7}+8. \end{cases}$
Применяя формулу 6.1 , получим $LaTeX formula: a_{3}=a_{1}+2d,a_{7}=a_{1}+6d,a_{13}=a_{1}+12d$    и $LaTeX formula: a_{18}=a_{1}+17d$ .
Система уравнений примет вид: $LaTeX formula: \begin{cases} a_{1} +12d=3(a_{1}+2d), \\ a_{1} +17d=2(a_{1}+6d)+8 ; \end{cases}$ $LaTeX formula: \begin{cases} a_{1} =3d, \\ a_{1} =5d -8; \end{cases} \begin{cases} a_{1} =3d, \\ 3d =5d -8; \end{cases} \begin{cases} a_{1} =12, \\ d =4. \end{cases}$
Найдем второй член прогрессии: $LaTeX formula: a_{2}=a_{1}+d=12+4=16$ .
Ответ: .
Пример 5. В арифметической прогрессии  членов. Сумма членов с четными номерами равна , а сумма членов с нечетными номерами равна . Чему равна разность этой прогрессии?
Решение. Рассмотрим члены прогрессии с четными номерами: $LaTeX formula: a_{2},a_{4},a_{6},a_{8},a_{10}$ . Согласно формуле 6.2.1 получим: $LaTeX formula: \frac{a_{2}+a_{10}}{2}\cdot 5=A ,$    $LaTeX formula: a_{2}+a_{10}=0,4 A$ .

Согласно формуле 6.1 $LaTeX formula: a_{2}=a_{1}+d$ и $LaTeX formula: a_{10}=a_{1}+9d$ . Тогда $LaTeX formula: 2a_{1}+10d=0,4A$ , $LaTeX formula: a_{1}+5d=0,2A$ .

Рассмотрим члены прогрессии с нечетными номерами: $LaTeX formula: a_{1},a_{3},a_{5},a_{7},a_{9}$   . Выполняя аналогичные действия, получим $LaTeX formula: \frac{a_{1}+a_{9}}{2}\cdot 5=B,$ $LaTeX formula: a_{1}+a_{9}=0,4B,$    $LaTeX formula: 2a_{1}+8d=0,4B,$    $LaTeX formula: a_{1}+4d=0,2B .$
Вычитая из уравнения $LaTeX formula: a_{1}+5d=0,2A$ уравнение $LaTeX formula: a_{1}+4d=0,2B$ , найдем разность прогрессии:  .
Ответ: .
Пример 6. Найдите сумму всех четных натуральных двузначных чисел, которые при делении на  дают в остатке .
Решение. Найдем наименьшее четное натуральное двузначное число, которое при делении на  дает в остатке  Это
Найдем наибольшее четное двузначное натуральное число, которое при делении на  дает в остатке . Для этого разделим  на . Поскольку $LaTeX formula: 99=7\cdot 13+8$ , то $LaTeX formula: 7\cdot 13+5=96$ .
Очевидно, что множество рассматриваемых чисел образует арифметическую прогрессию, у которой $LaTeX formula: a_{1}=18,d=36$ и $LaTeX formula: a_{n}=96$ . Найдем число членов этой прогрессии. Согласно формуле 6.1 получим: $LaTeX formula: 96=18+26\cdot (n-1)$ , откуда $LaTeX formula: 26\cdot (n-1)=78, n-1=3$ и .
В соответствии с формулой 6.2.1 запишем $LaTeX formula: S_{4}=\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot 4$ , $LaTeX formula: S_{4}=\frac{18+96}{2}\cdot 4=228$ .
Ответ: .

Пример 7. Найдите сумму с четвертого члена по седьмой член арифметической прогрессии, если ее пятый член равен LaTeX formula: 10

LaTeX formula: 10

, а седьмой член равен LaTeX formula: 16

LaTeX formula: 16

.

Решение. Согласно свойству 6.3 запишем: $LaTeX formula: a_6=\frac{1}{2}(10+16)=13$ .

Найдем разность прогрессии: LaTeX formula: d=a_6-a_5=13-10=3

LaTeX formula: d=a_6-a_5=13-10=3

.

Найдем четвертый член прогрессии: LaTeX formula: a_4=a_5-d=10-3=7

LaTeX formula: a_4=a_5-d=10-3=7

.

Тогда

LaTeX formula: a_4+a_5+a_6+a_7=7+10+13+16=46

.

Ответ:

LaTeX formula: 46

.

1. Разность прогрессии можно найти по формуле: $LaTeX formula: d=a_{n+1}-a_{n}$ .
2. Сумма членов арифметической прогрессии с -го члена по -ый член равна: $LaTeX formula: S_{m}-S_{n-1}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_арифметическая_прогрессия

formula