Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Пример 1. Сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии равна
Поскольку по формуле 6.1
Ответ:
Ответ:
Согласно формуле 6.1
Рассмотрим члены прогрессии с нечетными номерами:
1. Разность прогрессии можно найти по формуле:
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, увеличенному на одно и то же число
.

Число
называют разностью арифметической прогрессии.Если
, то арифметическая прогрессия является возрастающей числовой последовательностью, а если
, то – убывающей числовой последовательностью. Например,числовая последовательность
… является убывающей арифметической прогрессией, первый член которой равен
, а ее разность равна
.Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Если
– первый член прогрессии,
– разность прогрессии, а
– количество членов прогрессии, то справедливы следующие формулы.Формула
-го члена:
. (6.1)Формулы суммы
первых членов:
(6.2)или
. (6.2.1)Свойство
-го члена:
. (6.3)
















Пример 1. Сумма семнадцати первых членов арифметической прогрессии равна
. Найдите девятый член этой прогрессии.
Решение. Согласно формуле 6.2 Запишем сумму
первых членов прогрессии:
.
Так как
, то
, откуда
и
.
Поскольку по формуле 6.1
, то
.
Ответ:
.
Пример 2. Арифметическая прогрессия содержит
членов. Первый член прогрессии равен
, разность ее равна
. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна
?
Решение. Согласно условию задачи
,
,
. С учетом формулы 6.2 запишем уравнение
, откуда 
. Поскольку прогрессия содержит
членов, то
.
Ответ:
.
Пример 3. Двадцать пять чисел, первое из которых равно единице, а каждое следующее на
больше предыдущего, в порядке возрастания расположены в двух таблицах. Сумма чисел первой таблицы равна
. Сколько чисел содержится во второй таблице?
Решение. Согласно условию задачи запишем:
,
. Если в первой таблице
чисел, то
. Подставляя значения
,
и
в формулу 6.2 , получим:
откуда
откуда
,
. Поскольку
– посторонний корень уравнения, то
и, следовательно, в первой таблице
числа. Так как имеется
чисел, то вторая таблица содержит
число.
Ответ:
.
Пример 4. При делении тринадцатого члена арифметической прогрессии на третий член в частном получается
, а при делении восемнадцатого члена на седьмой член в частном получается
и в остатке
. Определите второй член прогрессии.
Решение. Согласно условию задачи запишем систему уравнений 
Применяя формулу 6.1 , получим
и
.
Система уравнений примет вид:

Найдем второй член прогрессии:
.
Ответ:
.
Пример 5. В арифметической прогрессии
членов. Сумма членов с четными номерами равна
, а сумма членов с нечетными номерами равна
. Чему равна разность этой прогрессии?
Решение. Рассмотрим члены прогрессии с четными номерами:
. Согласно формуле 6.2.1 получим:
.
Согласно формуле 6.1
и
. Тогда
,
.
Рассмотрим члены прогрессии с нечетными номерами:
. Выполняя аналогичные действия, получим

Вычитая из уравнения
уравнение
, найдем разность прогрессии:
.
Ответ:
.
Пример 6. Найдите сумму всех четных натуральных двузначных чисел, которые при делении на
дают в остатке
.
Решение. Найдем наименьшее четное натуральное двузначное число, которое при делении на
дает в остатке
Это 
Найдем наибольшее четное двузначное натуральное число, которое при делении на
дает в остатке
. Для этого разделим
на
. Поскольку
, то
.
Очевидно, что множество рассматриваемых чисел образует арифметическую прогрессию, у которой
и
. Найдем число членов этой прогрессии. Согласно формуле 6.1 получим:
, откуда
и
.
В соответствии с формулой 6.2.1 запишем
,
.
Ответ:
.
Пример 7. Найдите сумму с четвертого члена по седьмой член арифметической прогрессии, если ее пятый член равен
, а седьмой член равен
.


Найдем разность прогрессии:
.

Найдем четвертый член прогрессии:
.

Тогда
.

Ответ:
.
