Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Пропорции, проценты
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k
Процентом числа называют одну сотую часть этого числа: LaTeX formula: 1 % от числа LaTeX formula: a равен LaTeX formula: 0,01 a.
С понятием процента связаны три типа задач: 
1) нахождение указанного количества процентов от числа; 
2) нахождение числа по его процентам; 
3) нахождение процентного отношения чисел. 
Соотношения между натуральными числами
Рассмотрим запись чисел в десятичной позиционной системе счисления. Так, например, если LaTeX formula: a – цифра десятков, LaTeX formula: b – цифра единиц, то запишем:  LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b
Аналогично запишем трехзначное число, у которого LaTeX formula: a – цифра сотен, LaTeX formula: b – цифра десятков, LaTeX formula: c – цифра единиц: LaTeX formula: \overline{abc}=100a+10b+c  .
Задачи на движение
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, как правило, содержат следующие величины: расстояние LaTeX formula: S, скорость LaTeX formula: V, время LaTeX formula: t. Связь между этими величинами выражается формулой: LaTeX formula: S=vt .
Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки: LaTeX formula: V по теч. = LaTeX formula: V с. + LaTeX formula: V теч.
Если тело движется против течения реки, то LaTeX formula: V пр. теч. = LaTeX formula: V c. –LaTeX formula: V теч.
Если речь идет о движении плота, то его скорость равна скорости движения реки.
Задачи на работу
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, как правило, содержат следующие величины: работу LaTeX formula: A, скорость выполнения работы (производительность) LaTeX formula: V, время выполнения работы LaTeX formula: t. Эти величины связаны формулой: LaTeX formula: A=vt .
Смеси, сплавы
Задачи на смеси и сплавы удобно решать, учитывая пропорциональную зависимость между величинами. При помощи пропорции они сводятся к одной схеме решения.
Пример 1. На экзамене по математике LaTeX formula: 15 % поступающих не решили ни одной задачи, LaTeX formula: a человек решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5 : 3. Определите, сколько человек присутствовало на экзамене. Укажите наименьшее значение параметра LaTeX formula: a.
Решение. Запишем условие задачи следующим образом: 
Приведем пояснения к условию задачи:
а) если экзаменовалось LaTeX formula: x человек, то LaTeX formula: 15 % от LaTeX formula: x равны LaTeX formula: 0,15x;
б) если число решивших верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5:3 , то, вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k, получим: не решили ни одной задачи LaTeX formula: 3k человек, решили верно все задачи LaTeX formula: 5k человек.
Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений: LaTeX formula: \begin{cases} & \ \frac{3}{20}\cdot x=3k, \\ & \ 3k+a+5k=x; \end{cases} LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=20k, \\ & \ k=\frac{a}{12}; \end{cases} LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=\frac{5a}{3} ,& \\ k=\frac{a}{12} .& \end{matrix}\right.
Следовательно, на экзамене присутствовало  LaTeX formula: \frac{5a}{3} человек. Поскольку согласно условию задачи LaTeX formula: \frac{5a}{3}  целое положительное число, то LaTeX formula: a=3n  при LaTeX formula: n\in N  и наименьшее значение LaTeX formula: a равно LaTeX formula: 3.
Ответ: LaTeX formula: \frac{5a}{3} ;a=3.
Пример 2. Цену товара сначала снизили на LaTeX formula: 20 %, затем новую цену снизили еще на LaTeX formula: 15 % и, наконец, произвели снижение еще на LaTeX formula: 10 %. На сколько процентов необходимо повысить последнюю цену товара, чтобы получить его первоначальную цену?
Решение. Пусть первоначальная цена товара была LaTeX formula: a  ден. ед. 
Согласно условию задачи составим и решим пропорции: 
1) первоначальная цена         LaTeX formula: a – LaTeX formula: 100 %,
   цена после LaTeX formula: I снижения        LaTeX formula: x  – 80%,
откуда  LaTeX formula: x=\frac{80a}{100}=\frac{4}{5}a (ден. ед.);
2) цена после LaTeX formula: I снижения   LaTeX formula: \frac{4}{5}a  – 100%,
цена после LaTeX formula: II снижения    LaTeX formula: y  – 85%,
откуда LaTeX formula: y=\frac{4a\cdot 85}{5\cdot 100}=\frac{17a}{25}  (ден. ед.);
3) цена после LaTeX formula: II снижения   LaTeX formula: \frac{17a}{25}  – 100%,
    цена после LaTeX formula: III снижения     LaTeX formula: z   – 90%,
откуда  LaTeX formula: z=\frac{17a\cdot 90}{25\cdot 100}=\frac{153a}{250} (ден. ед.);
4) первоначальная цена      LaTeX formula: a-(100+n)   %,
конечная цена                LaTeX formula: \frac{153a}{250}-100 %,
откуда LaTeX formula: 100+n=\frac{100a\cdot 250}{153a},n=63\frac{61}{153} %.
Ответ:  на LaTeX formula: 63\frac{61}{153} %.
Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна LaTeX formula: 10. Если к этому числу прибавить LaTeX formula: 18 , то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
Решение. Пусть исходное число  LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b цифры. Согласно условию задачи составим систему уравнений:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b= 10,& \\ \overline{ab}+18=\overline{ba}. & \end{matrix}\right.
Упростим второе уравнение системы: LaTeX formula: 10a+b+18=10b+a, 9a-9b=-18,a-b=-2 . Сложим уравнения системы и получим: LaTeX formula: 2a=8, a=4.
Подставляя значение LaTeX formula: a=4  в уравнение LaTeX formula: a-b=-2 , найдем значениеLaTeX formula: b=6  . Запишем искомое число: LaTeX formula: \overline{ab}=46  .
Ответ: LaTeX formula: 46.
Пример 4. Среднее геометрическое двух положительных чисел на LaTeX formula: 12 больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на LaTeX formula: 24  меньше большего числа. Сколько процентов составляет среднее геометрическое этих чисел от их среднего арифметического?
Решение. Пусть искомые числа LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, причем LaTeX formula: a>b>0. Составим и решим систему уравнений:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \sqrt{a\cdot b}=b+12, & \\ \frac{a+b}{2}+24=a. & \end{matrix}\right.
Выразим LaTeX formula: a из второго уравнения системы: LaTeX formula: a+b+48=2a,a=b+48  . Подставим полученное значение LaTeX formula: a в первое уравнение системы и найдем значение LaTeX formula: b:  LaTeX formula: \sqrt{(b+48)b}=b+12, b^2+48b=b^2+24b++144, 24b=144,b=6
Подставляя значение LaTeX formula: b=6  в уравнение LaTeX formula: a=b+48, получим  LaTeX formula: a=54 .
Найдем среднее арифметическое чисел LaTeX formula: 54 и LaTeX formula: 6 : LaTeX formula: \frac{54+6}{2}=30 .
Найдем среднее геометрическое чисел LaTeX formula: 54 и LaTeX formula: 6 : LaTeX formula: \sqrt{54\cdot 6}=18 .
Найдем процентное отношение среднего геометрического этих чисел от и их среднего арифметического: LaTeX formula: \frac{18}{30}\cdot 100 %=LaTeX formula: 60 %.
Ответ: LaTeX formula: 60 %.
Пример 5. Товарный поезд был задержан в пути на LaTeX formula: 12 мин, а затем на расстоянии LaTeX formula: 60 км наверстал упущенное время. Как изменилась при этом его скорость, если первоначально он проходил LaTeX formula: 60километров за один час? 
Решение. Полагая, что первоначальная скорость поезда увеличилась на LaTeX formula: x км/ч, составим таблицу:
Так как время движения поезда сократилось на LaTeX formula: 12 мин, что составляет LaTeX formula: \frac{1}{5} ч, то согласно условию задачи получим уравнение: LaTeX formula: 1=\frac{60}{60+x}+\frac{1}{5}, \frac{60}{60+x}=\frac{4}{5},\frac{15}{60+x}=\frac{1}{5}, 60+x=75, x=15 км/ч. 
Ответ: увеличилась на LaTeX formula: 15 км/ч.
Пример 6. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за LaTeX formula: 6 ч LaTeX formula: 15 мин. Расстояние между пунктами LaTeX formula: 60 км. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна LaTeX formula: 4 км/ч. 
Решение. Пусть собственная скорость лодки равна LaTeX formula: x км/ч. Составим таблицу:
Так как  LaTeX formula: 6 ч LaTeX formula: 15 мин LaTeX formula: =6\frac{15}{60} чLaTeX formula: =\frac{25}{4} ч и LaTeX formula: t по теч.+ LaTeX formula: t пр. теч. = LaTeX formula: \frac{25}{4} ч, то получим уравнение: 
LaTeX formula: \frac{60}{x+4}+\frac{60}{x-4}=\frac{25}{4}, \frac{12}{x+4}+\frac{12}{x-4}=\frac{5}{4},\frac{24x}{x^2-16}=\frac{5}{4},LaTeX formula: 5x^2-96x-80=0, откуда LaTeX formula: x=20 км/ч.
Ответ: LaTeX formula: 20 км/ч.
Пример 7. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c быстрее второго и догоняет второе тело каждые LaTeX formula: 12 c. За сколько секунд второе тело пройдет LaTeX formula: \frac{2}{3}  окружности?
Решение. Пусть длина окружности равна LaTeX formula: l. Составим таблицу, учитывая, что первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c быстрее второго.
Зная скорость движения каждого тела, составим таблицу, учитывая, что первое тело догоняет второе каждые LaTeX formula: 12c:
Согласно условию задачи второе тело догоняет первое, значит, оно проходит путь LaTeX formula: S_{2}=S_{1}+l . Получим уравнение  LaTeX formula: \frac{12l}{x}-\frac{12l}{x+2}=l. Разделив обе части уравнения на LaTeX formula: l ( LaTeX formula: l\neq 0), запишем:  LaTeX formula: 12 \left (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )=1, 12\frac{x+2-x}{x(x+2)}=1,x^2+2x-24=0,x=4.
Найдем время, за которое второе тело проходит всю окружность: LaTeX formula: 4+2=6  (с). Найдем время, за которое второе тело проходит LaTeX formula: \frac{2}{3}  окружности: LaTeX formula: \frac{2}{3}\cdot 6=4 (с).
Ответ: LaTeX formula: 4c.
Пример 8. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за LaTeX formula: 8 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на LaTeX formula: 12 ч быстрее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий может выполнить LaTeX formula: 70 % задания?
Решение. Пусть LaTeX formula: a – объем задания. Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый рабочий в таком случае выполняет весь объем задания:
Зная производительность каждого рабочего, рассмотрим совместную работу: 
Согласно условию задачи запишем уравнение: 
LaTeX formula: \frac{8a}{x-12}+\frac{8a}{x}=a, 8\left (\frac{1}{x-12}+\frac{1}{x} \right )=1,8\frac{x+x-12}{(x-12)x}=1,LaTeX formula: 16x-98=x^2-12x,x^2-28x+96=0, откуда LaTeX formula: x=24 .
Если все задание второй рабочий может выполнить за LaTeX formula: 24 ч, то LaTeX formula: 70 % задания он выполнит за  LaTeX formula: \frac{24}{100}\cdot 70=16,8 (ч).
Ответ: LaTeX formula: 16,8 ч.
Пример 9. Через LaTeX formula: 1 час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось LaTeX formula: a тонн, а еще через LaTeX formula: 3 часа LaTeX formula: b тонн. Сколько воды было в бассейне?
Решение. Пусть в бассейне было LaTeX formula: x тонн воды. Если за LaTeX formula: 1 час вытекает LaTeX formula: y тонн воды, то через 1 час после спуска в бассейне останется LaTeX formula: x-y=a  или  LaTeX formula: 4x-4y=4a тонн воды, а через LaTeX formula: 4 часа останется LaTeX formula: x-4y=b  тонн воды. Вычитая из уравнения LaTeX formula: 4x-4y=4a  уравнение LaTeX formula: x-4y=b , получим: LaTeX formula: 3x=4a-b, x=\frac{4a-b}{3}  (т).
Ответ: LaTeX formula: \frac{4a-b}{3} тонн.
Пример 10. Смешали LaTeX formula: 30 % - й раствор соляной кислоты с LaTeX formula: 10 %-м и получили один килограмм LaTeX formula: 15%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение. Пусть первого раствора взяли LaTeX formula: a г, а второго LaTeX formula: b г. Зная,что в первом растворе содержится LaTeX formula: 30 % кислоты, запишем: 
Зная, что во втором растворе содержится LaTeX formula: 10 % кислоты, запишем: 
Если смешать LaTeX formula: a г первого и LaTeX formula: b г второго раствора, то получим третий раствор: 
Запишем пропорцию:  LaTeX formula: (0,3a+0,1b)-15% %
         LaTeX formula: 1000 - 100  %
Тогда  LaTeX formula: (0,3a+0,1b)\cdot 100=1000\cdot 15,   LaTeX formula: 0,3a+0,1b=150, 3a+b=1500.
Так как согласно условию задачи  LaTeX formula: a+b=1000, то, вычитая из уравнения LaTeX formula: 3a+b=1500  уравнение LaTeX formula: a+b=1000 , получим LaTeX formula: 2a=500, a=250
Подставляя значение LaTeX formula: a=250  в уравнение LaTeX formula: a+b=1000 , найдем значение LaTeX formula: b:b=1000-250=750.
Ответ: LaTeX formula: 250 г и LaTeX formula: 750 г. 
Пример 11. Кусок сплава меди и цинка массой LaTeX formula: 54 кг содержит LaTeX formula: 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал LaTeX formula: 60 % меди?
Решение. Найдем массу меди в сплаве: LaTeX formula: \frac{54\cdot 45}{100}=24,3 (кг). Найдем массу цинка в сплаве: LaTeX formula: 54-24,3=29,7 (кг).
Добавляя в сплав LaTeX formula: x кг меди, и не изменяя при этом массу цинка, получим новый сплав:
  
Решим пропорцию: LaTeX formula: 40\cdot (24,3+x)=60\cdot 29,7 , откуда LaTeX formula: x=20,25.
Ответ: LaTeX formula: 20,25 кг.
formula