Текстовые задачи /qualihelpy

Текстовые задачи

Справочник / Школьник / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Пропорции, проценты

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k

Процентом числа называют одну сотую часть этого числа: LaTeX formula: 1

% от числа LaTeX formula: a

равен

С понятием процента связаны три типа задач:

1) нахождение указанного количества процентов от числа;

2) нахождение числа по его процентам;

3) нахождение процентного отношения чисел.

Соотношения между натуральными числами

Рассмотрим запись чисел в десятичной позиционной системе счисления. Так, например, если LaTeX formula: a

– цифра десятков, LaTeX formula: b

– цифра единиц, то запишем: $LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b$ .

Аналогично запишем трехзначное число, у которого LaTeX formula: a

– цифра сотен, LaTeX formula: b

– цифра десятков, LaTeX formula: c

– цифра единиц: $LaTeX formula: \overline{abc}=100a+10b+c$ .

Задачи на движение

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, как правило, содержат следующие величины: расстояние LaTeX formula: S

, скорость LaTeX formula: V

, время

. Связь между этими величинами выражается формулой: LaTeX formula: S=vt

Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки: LaTeX formula: V

по теч. =

с. +

теч.

Если тело движется против течения реки, то LaTeX formula: V

пр. теч. = LaTeX formula: V

c. –

теч.

Если речь идет о движении плота, то его скорость равна скорости движения реки.

Задачи на работу

Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, как правило, содержат следующие величины: работу LaTeX formula: A

, скорость выполнения работы (производительность) LaTeX formula: V

, время выполнения работы LaTeX formula: t

. Эти величины связаны формулой: LaTeX formula: A=vt

Смеси, сплавы

Задачи на смеси и сплавы удобно решать, учитывая пропорциональную зависимость между величинами. При помощи пропорции они сводятся к одной схеме решения.

Пример 1. На экзамене по математике LaTeX formula: 15

% поступающих не решили ни одной задачи, LaTeX formula: a

человек решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5 : 3

. Определите, сколько человек присутствовало на экзамене. Укажите наименьшее значение параметра LaTeX formula: a

Решение. Запишем условие задачи следующим образом:

Приведем пояснения к условию задачи:

а) если экзаменовалось LaTeX formula: x

человек, то LaTeX formula: 15

% от

равны

;

б) если число решивших верно, относится к числу не решивших вовсе как LaTeX formula: 5:3

, то, вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k

, получим: не решили ни одной задачи LaTeX formula: 3k

человек, решили верно все задачи LaTeX formula: 5k

человек.

Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений: $LaTeX formula: \begin{cases} & \ \frac{3}{20}\cdot x=3k, \\ & \ 3k+a+5k=x; \end{cases}$ $LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=20k, \\ & \ k=\frac{a}{12}; \end{cases}$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=\frac{5a}{3} ,& \\ k=\frac{a}{12} .& \end{matrix}\right.$

Следовательно, на экзамене присутствовало $LaTeX formula: \frac{5a}{3}$ человек. Поскольку согласно условию задачи $LaTeX formula: \frac{5a}{3}$ целое положительное число, то LaTeX formula: a=3n

при $LaTeX formula: n\in N$ и наименьшее значение LaTeX formula: a

равно

Ответ: $LaTeX formula: \frac{5a}{3} ;a=3.$

Пример 2. Цену товара сначала снизили на LaTeX formula: 20

%, затем новую цену снизили еще на LaTeX formula: 15

% и, наконец, произвели снижение еще на LaTeX formula: 10

%. На сколько процентов необходимо повысить последнюю цену товара, чтобы получить его первоначальную цену?

Решение. Пусть первоначальная цена товара была LaTeX formula: a

ден. ед.

Согласно условию задачи составим и решим пропорции:

1) первоначальная цена LaTeX formula: a

–

цена после LaTeX formula: I

снижения

– 80%,

откуда $LaTeX formula: x=\frac{80a}{100}=\frac{4}{5}a$ (ден. ед.);

2) цена после LaTeX formula: I

снижения $LaTeX formula: \frac{4}{5}a$ – 100%,

цена после LaTeX formula: II

снижения

– 85%,

откуда $LaTeX formula: y=\frac{4a\cdot 85}{5\cdot 100}=\frac{17a}{25}$ (ден. ед.);

3) цена после LaTeX formula: II

снижения $LaTeX formula: \frac{17a}{25}$ – 100%,

цена после LaTeX formula: III

снижения

– 90%,

откуда $LaTeX formula: z=\frac{17a\cdot 90}{25\cdot 100}=\frac{153a}{250}$ (ден. ед.);

4) первоначальная цена LaTeX formula: a-(100+n)

конечная цена $LaTeX formula: \frac{153a}{250}-100$ %,

откуда $LaTeX formula: 100+n=\frac{100a\cdot 250}{153a},n=63\frac{61}{153}$ %.

Ответ: на $LaTeX formula: 63\frac{61}{153}$ %.

Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна LaTeX formula: 10

. Если к этому числу прибавить LaTeX formula: 18

, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Решение. Пусть исходное число $LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b$ , где LaTeX formula: a

цифры. Согласно условию задачи составим систему уравнений: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b= 10,& \\ \overline{ab}+18=\overline{ba}. & \end{matrix}\right.$

Упростим второе уравнение системы: LaTeX formula: 10a+b+18=10b+a, 9a-9b=-18,a-b=-2

. Сложим уравнения системы и получим: LaTeX formula: 2a=8, a=4.

Подставляя значение LaTeX formula: a=4

в уравнение LaTeX formula: a-b=-2

, найдем значение LaTeX formula: b=6

. Запишем искомое число: $LaTeX formula: \overline{ab}=46$ .

Ответ:

Пример 4. Среднее геометрическое двух положительных чисел на LaTeX formula: 12

больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на LaTeX formula: 24

меньше большего числа. Сколько процентов составляет среднее геометрическое этих чисел от их среднего арифметического?

Решение. Пусть искомые числа LaTeX formula: a

, причем

. Составим и решим систему уравнений: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \sqrt{a\cdot b}=b+12, & \\ \frac{a+b}{2}+24=a. & \end{matrix}\right.$

Выразим

из второго уравнения системы: LaTeX formula: a+b+48=2a,a=b+48

. Подставим полученное значение LaTeX formula: a

в первое уравнение системы и найдем значение LaTeX formula: b:

$LaTeX formula: \sqrt{(b+48)b}=b+12, b^2+48b=b^2+24b++144, 24b=144,b=6$ .

Подставляя значение LaTeX formula: b=6

в уравнение LaTeX formula: a=b+48

, получим

Найдем среднее арифметическое чисел LaTeX formula: 54

: $LaTeX formula: \frac{54+6}{2}=30$ .

Найдем среднее геометрическое чисел LaTeX formula: 54

: $LaTeX formula: \sqrt{54\cdot 6}=18$ .

Найдем процентное отношение среднего геометрического этих чисел от и их среднего арифметического: $LaTeX formula: \frac{18}{30}\cdot 100$ %= LaTeX formula: 60

Ответ:

Пример 5. Товарный поезд был задержан в пути на LaTeX formula: 12

мин, а затем на расстоянии LaTeX formula: 60

км наверстал упущенное время. Как изменилась при этом его скорость, если первоначально он проходил LaTeX formula: 60

километров за один час?

Решение. Полагая, что первоначальная скорость поезда увеличилась на LaTeX formula: x

км/ч, составим таблицу:

Так как время движения поезда сократилось на LaTeX formula: 12

мин, что составляет $LaTeX formula: \frac{1}{5}$ ч, то согласно условию задачи получим уравнение: $LaTeX formula: 1=\frac{60}{60+x}+\frac{1}{5}, \frac{60}{60+x}=\frac{4}{5},\frac{15}{60+x}=\frac{1}{5}, 60+x=75, x=15$ км/ч.

Ответ: увеличилась на LaTeX formula: 15

км/ч.

Пример 6. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за LaTeX formula: 6

мин. Расстояние между пунктами LaTeX formula: 60

км. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна LaTeX formula: 4

км/ч.

Решение. Пусть собственная скорость лодки равна LaTeX formula: x

км/ч. Составим таблицу:

Так как

мин $LaTeX formula: =6\frac{15}{60}$ ч $LaTeX formula: =\frac{25}{4}$ ч и LaTeX formula: t

по теч.+

пр. теч. = $LaTeX formula: \frac{25}{4}$ ч, то получим уравнение:

$LaTeX formula: \frac{60}{x+4}+\frac{60}{x-4}=\frac{25}{4}, \frac{12}{x+4}+\frac{12}{x-4}=\frac{5}{4},\frac{24x}{x^2-16}=\frac{5}{4},$ LaTeX formula: 5x^2-96x-80=0,

откуда

км/ч.

Ответ:

км/ч.

Пример 7. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c

быстрее второго и догоняет второе тело каждые LaTeX formula: 12 c

. За сколько секунд второе тело пройдет $LaTeX formula: \frac{2}{3}$ окружности?

Решение. Пусть длина окружности равна LaTeX formula: l

. Составим таблицу, учитывая, что первое тело проходит окружность на LaTeX formula: 2c

быстрее второго.

Зная скорость движения каждого тела, составим таблицу, учитывая, что первое тело догоняет второе каждые LaTeX formula: 12c

Согласно условию задачи второе тело догоняет первое, значит, оно проходит путь $LaTeX formula: S_{2}=S_{1}+l$ . Получим уравнение $LaTeX formula: \frac{12l}{x}-\frac{12l}{x+2}=l$ . Разделив обе части уравнения на LaTeX formula: l

( $LaTeX formula: l\neq 0$ ), запишем: $LaTeX formula: 12 \left (\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2} \right )=1, 12\frac{x+2-x}{x(x+2)}=1,x^2+2x-24=0,x=4.$

Найдем время, за которое второе тело проходит всю окружность: LaTeX formula: 4+2=6

(с). Найдем время, за которое второе тело проходит $LaTeX formula: \frac{2}{3}$ окружности: $LaTeX formula: \frac{2}{3}\cdot 6=4$ (с).

Ответ:

Пример 8. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за LaTeX formula: 8

ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на LaTeX formula: 12

ч быстрее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий может выполнить LaTeX formula: 70

% задания?

Решение. Пусть LaTeX formula: a

– объем задания. Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый рабочий в таком случае выполняет весь объем задания:

Зная производительность каждого рабочего, рассмотрим совместную работу:

Согласно условию задачи запишем уравнение:

$LaTeX formula: \frac{8a}{x-12}+\frac{8a}{x}=a, 8\left (\frac{1}{x-12}+\frac{1}{x} \right )=1,8\frac{x+x-12}{(x-12)x}=1,$ LaTeX formula: 16x-98=x^2-12x,x^2-28x+96=0,

откуда

Если все задание второй рабочий может выполнить за LaTeX formula: 24

ч, то

% задания он выполнит за $LaTeX formula: \frac{24}{100}\cdot 70=16,8$ (ч).

Ответ:

ч.

Пример 9. Через LaTeX formula: 1

час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось LaTeX formula: a

тонн, а еще через LaTeX formula: 3

часа

тонн. Сколько воды было в бассейне?

Решение. Пусть в бассейне было LaTeX formula: x

тонн воды. Если за LaTeX formula: 1

час вытекает LaTeX formula: y

тонн воды, то через 1 час после спуска в бассейне останется LaTeX formula: x-y=a

или

тонн воды, а через LaTeX formula: 4

часа останется LaTeX formula: x-4y=b

тонн воды. Вычитая из уравнения LaTeX formula: 4x-4y=4a

уравнение

, получим: $LaTeX formula: 3x=4a-b, x=\frac{4a-b}{3}$ (т).

Ответ: $LaTeX formula: \frac{4a-b}{3}$ тонн.

Пример 10. Смешали LaTeX formula: 30

% - й раствор соляной кислоты с LaTeX formula: 10

%-м и получили один килограмм LaTeX formula: 15

%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение. Пусть первого раствора взяли LaTeX formula: a

г, а второго LaTeX formula: b

г. Зная,что в первом растворе содержится LaTeX formula: 30

% кислоты, запишем:

Зная, что во втором растворе содержится LaTeX formula: 10

% кислоты, запишем:

Если смешать LaTeX formula: a

г первого и LaTeX formula: b

г второго раствора, то получим третий раствор:

Запишем пропорцию: LaTeX formula: (0,3a+0,1b)-15%

%

Тогда $LaTeX formula: (0,3a+0,1b)\cdot 100=1000\cdot 15,$ LaTeX formula: 0,3a+0,1b=150, 3a+b=1500.

Так как согласно условию задачи LaTeX formula: a+b=1000

, то, вычитая из уравнения LaTeX formula: 3a+b=1500

уравнение

, получим

Подставляя значение LaTeX formula: a=250

в уравнение LaTeX formula: a+b=1000

, найдем значение LaTeX formula: b:b=1000-250=750

Ответ:

г и

г.

Пример 11. Кусок сплава меди и цинка массой LaTeX formula: 54

кг содержит LaTeX formula: 45

% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал LaTeX formula: 60

% меди?

Решение. Найдем массу меди в сплаве: $LaTeX formula: \frac{54\cdot 45}{100}=24,3$ (кг). Найдем массу цинка в сплаве: LaTeX formula: 54-24,3=29,7

(кг).

Добавляя в сплав LaTeX formula: x

кг меди, и не изменяя при этом массу цинка, получим новый сплав:

Решим пропорцию: $LaTeX formula: 40\cdot (24,3+x)=60\cdot 29,7$ , откуда LaTeX formula: x=20,25

Ответ:

кг.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания
m_1_соотношения_между_числами m_2_проценты m_3_движение m_4_работа m_5_смеси_и_сплавы