Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты




откуда
км/ч.




откуда
.

Пропорции, проценты
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают
.

Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:
% от числа
равен
.



С понятием процента связаны три типа задач:
1) нахождение указанного количества процентов от числа;
2) нахождение числа по его процентам;
3) нахождение процентного отношения чисел.
Соотношения между натуральными числами
Рассмотрим запись чисел в десятичной позиционной системе счисления. Так, например, если
– цифра десятков,
– цифра единиц, то запишем:
.



Аналогично запишем трехзначное число, у которого
– цифра сотен,
– цифра десятков,
– цифра единиц:
.




Задачи на движение
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на движение, как правило, содержат следующие величины: расстояние
, скорость
, время
. Связь между этими величинами выражается формулой:
.




Если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из собственной скорости и скорости течения реки:
по теч. =
с. +
теч.



Если тело движется против течения реки, то
пр. теч. =
c. –
теч.



Если речь идет о движении плота, то его скорость равна скорости движения реки.
Задачи на работу
Уравнения, которые необходимо составить на основании условий задач на работу, как правило, содержат следующие величины: работу
, скорость выполнения работы (производительность)
, время выполнения работы
. Эти величины связаны формулой:
.




Смеси, сплавы
Задачи на смеси и сплавы удобно решать, учитывая пропорциональную зависимость между величинами. При помощи пропорции они сводятся к одной схеме решения.
Пример 1. На экзамене по математике
% поступающих не решили ни одной задачи,
человек решили задачи с ошибками, а число решивших все задачи верно, относится к числу не решивших вовсе как
. Определите, сколько человек присутствовало на экзамене. Укажите наименьшее значение параметра
.




Решение. Запишем условие задачи следующим образом:

Приведем пояснения к условию задачи:
а) если экзаменовалось
человек, то
% от
равны
;




б) если число решивших верно, относится к числу не решивших вовсе как
, то, вводя коэффициент пропорциональности
, получим: не решили ни одной задачи
человек, решили верно все задачи
человек.




Согласно условию задачи составим и решим систему уравнений:




Следовательно, на экзамене присутствовало
человек. Поскольку согласно условию задачи
целое положительное число, то
при
и наименьшее значение
равно
.






Ответ: 

Пример 2. Цену товара сначала снизили на
%, затем новую цену снизили еще на
% и, наконец, произвели снижение еще на
%. На сколько процентов необходимо повысить последнюю цену товара, чтобы получить его первоначальную цену?



Решение. Пусть первоначальная цена товара была
ден. ед.

Согласно условию задачи составим и решим пропорции:
1) первоначальная цена
–
%,


цена после
снижения
– 80%,


откуда
(ден. ед.);

2) цена после
снижения
– 100%,


цена после
снижения
– 85%,


откуда
(ден. ед.);

3) цена после
снижения
– 100%,


цена после
снижения
– 90%,


откуда
(ден. ед.);

4) первоначальная цена
%,

конечная цена
%,

откуда
%.

Ответ: на
%.

Пример 3. Сумма цифр двузначного числа равна
. Если к этому числу прибавить
, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.


Решение. Пусть исходное число
, где
и
цифры. Согласно условию задачи составим систему уравнений: 




Упростим второе уравнение системы:
. Сложим уравнения системы и получим: 


Подставляя значение
в уравнение
, найдем значение
. Запишем искомое число:
.




Ответ:
.

Пример 4. Среднее геометрическое двух положительных чисел на
больше меньшего из этих чисел, а среднее арифметическое тех же чисел на
меньше большего числа. Сколько процентов составляет среднее геометрическое этих чисел от их среднего арифметического?


Решение. Пусть искомые числа
и
, причем
. Составим и решим систему уравнений: 




Выразим
из второго уравнения системы:
. Подставим полученное значение
в первое уравнение системы и найдем значение
.





Подставляя значение
в уравнение
, получим
.



Найдем среднее арифметическое чисел
и
:
.



Найдем среднее геометрическое чисел
и
:
.



Найдем процентное отношение среднего геометрического этих чисел от и их среднего арифметического:
%=
%.


Ответ:
%.

Пример 5. Товарный поезд был задержан в пути на
мин, а затем на расстоянии
км наверстал упущенное время. Как изменилась при этом его скорость, если первоначально он проходил
километров за один час?



Решение. Полагая, что первоначальная скорость поезда увеличилась на
км/ч, составим таблицу:


Так как время движения поезда сократилось на
мин, что составляет
ч, то согласно условию задачи получим уравнение:
км/ч.



Ответ: увеличилась на
км/ч.

Пример 6. Моторная лодка прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно, не останавливаясь, за
ч
мин. Расстояние между пунктами
км. Определите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна
км/ч.




Решение. Пусть собственная скорость лодки равна
км/ч. Составим таблицу:


Так как
ч
мин
ч
ч и
по теч.+
пр. теч. =
ч, то получим уравнение:










Ответ:
км/ч.

Пример 7. Два тела движутся по окружности равномерно в одну сторону. Первое тело проходит окружность на
быстрее второго и догоняет второе тело каждые
. За сколько секунд второе тело пройдет
окружности?



Решение. Пусть длина окружности равна
. Составим таблицу, учитывая, что первое тело проходит окружность на
быстрее второго.



Зная скорость движения каждого тела, составим таблицу, учитывая, что первое тело догоняет второе каждые
:


Согласно условию задачи второе тело догоняет первое, значит, оно проходит путь
. Получим уравнение
. Разделив обе части уравнения на
(
), запишем: 





Найдем время, за которое второе тело проходит всю окружность:
(с). Найдем время, за которое второе тело проходит
окружности:
(с).



Ответ:
.

Пример 8. Двое рабочих выполняют совместно некоторое задание за
ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить его на
ч быстрее, чем второй, если тот будет работать отдельно. За сколько часов второй рабочий может выполнить
% задания?



Решение. Пусть
– объем задания. Рассмотрим раздельную работу, учитывая при этом, что каждый рабочий в таком случае выполняет весь объем задания:


Зная производительность каждого рабочего, рассмотрим совместную работу:

Согласно условию задачи запишем уравнение:



Если все задание второй рабочий может выполнить за
ч, то
% задания он выполнит за
(ч).



Ответ:
ч.

Пример 9. Через
час после начала равномерного спуска воды в бассейне ее осталось
тонн, а еще через
часа
тонн. Сколько воды было в бассейне?




Решение. Пусть в бассейне было
тонн воды. Если за
час вытекает
тонн воды, то через 1 час после спуска в бассейне останется
или
тонн воды, а через
часа останется
тонн воды. Вычитая из уравнения
уравнение
, получим:
(т).










Ответ:
тонн.

Пример 10. Смешали
% - й раствор соляной кислоты с
%-м и получили один килограмм
%- го раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?



Решение. Пусть первого раствора взяли
г, а второго
г. Зная,что в первом растворе содержится
% кислоты, запишем:




Зная, что во втором растворе содержится
% кислоты, запишем:


Если смешать
г первого и
г второго раствора, то получим третий раствор:



Запишем пропорцию:
%

%
Тогда



Так как согласно условию задачи
, то, вычитая из уравнения
уравнение
, получим
.




Подставляя значение
в уравнение
, найдем значение
.



Ответ:
г и
г.


Пример 11. Кусок сплава меди и цинка массой
кг содержит
% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал
% меди?



Решение. Найдем массу меди в сплаве:
(кг). Найдем массу цинка в сплаве:
(кг).


Добавляя в сплав
кг меди, и не изменяя при этом массу цинка, получим новый сплав:


Решим пропорцию:
, откуда
.


Ответ:
кг.
