Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Тригонометрическими называют уравнения, содержащие тригонометрические функции. 
Например, уравнения LaTeX formula: cos(x-60^{\circ} )=0, cos2x-5sinx=3  и LaTeX formula: 5tg^2 x+6tgx-7=0  – тригонометрические.
Простейшие тригонометрические уравнения
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения вида: LaTeX formula: sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a  . 
Рассмотрим их решения.
1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: sinx=a , то при условии, что LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1, k\in Z 
LaTeX formula: x=(-1)^karcsina+\pi k . (5.20)
Частные случаи:
а) если LaTeX formula: sinx=0, то 
LaTeX formula: x=\pi k, k\in Z ; (5.21)
б) если  LaTeX formula: sinx=1, то 
LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z ; (5.22)
в) если LaTeX formula: sinx=-1 , то 
LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in LaTeX formula: Z. (5.23)
2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: cosx=a , то при условии, что LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1,n\in Z 
LaTeX formula: x=\pm arccosa+2\pi n. (5.24)
Частные случаи:
а) если  LaTeX formula: cosx=0, то 
LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z ; (5.25)
б) если  LaTeX formula: cosx=1, то 
LaTeX formula: x=2\pi n,n\in Z; (5.26)
в) если  LaTeX formula: cosx=-1, то 
LaTeX formula: x=\pi +2\pi n ,n\in Z . (5.27)
3. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: tgx=a , то при LaTeX formula: a\in R,n\in Z
LaTeX formula: x=arctga+\pi n . (5.28)
4. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ctgx=a , то при LaTeX formula: a\in R,n\in LaTeX formula: Z 
LaTeX formula: x=arcctga+\pi n . (5.29)
Методы решений тригонометрических уравнений
1. Метод подстановки.
2. Решение однородных уравнений относительно LaTeX formula: sinx и LaTeX formula: cosx.
Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида
LaTeX formula: asinx+bcosx=0 . (5.30)
Чтобы решить однородное уравнение, необходимо разделить обе его части на LaTeX formula: cosx\neq 0:
LaTeX formula: \frac{asinx}{cosx}+\frac{bcosx}{cosx}=\frac{0}{cosx}  или  LaTeX formula: atgx+b=0,
откуда LaTeX formula: tgx=-\frac{b}{a} ; x=-arctg\left (\frac{b}{a} \right )+\pi n, n\in Z.
Однородным уравнением второй степени называют уравнение вида
LaTeX formula: asin^2x+bsinxcosx+c cos^2x=0. (5.31)
Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить обе его части на LaTeX formula: cos^2x\neq 0:
LaTeX formula: \frac{asin^2x}{cos^2x}+\frac{bsinxcosx}{cos^2x}+\frac{ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x}, LaTeX formula: a tg^2x+btgx+c=0.
Решая квадратное уравнение относительно  LaTeX formula: tgx, получим простейшие уравнения вида LaTeX formula: tgx=a .
3. Преобразования уравнений с помощью формул тригонометрии.
4. Решение уравнений вида
LaTeX formula: asinx+bcosx=c (5.32)
методом введения вспомогательного аргумента.
Чтобы ввести вспомогательный аргумент, необходимо разделить обе части уравнения 5.32 на число LaTeX formula: \sqrt{a^2+b^2} , т. е. записать данное уравнение в виде:
 LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} . (5.32.1)
Применяя подстановку LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cosa  и LaTeX formula: \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sina , получим: LaTeX formula: cos\alpha sinx+sin\alpha cosx=  LaTeX formula: \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}LaTeX formula: sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.
Решая это уравнение при условии, что LaTeX formula: \left |\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1 , найдем значения переменной LaTeX formula: x
LaTeX formula: x=(-1)^{k} arcsin \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} -\alpha +\pi k, k\in Z .
Заметим: 1) вспомогательный аргумент LaTeX formula: \alpha  может быть записан в виде LaTeX formula: \alpha =arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}  или в виде LaTeX formula: \alpha =arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ;
2) если применить подстановку LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} =sin \alpha , \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} =cos\alpha, то уравнение примет вид:  LaTeX formula: sin\alpha sinx+cos\alpha cosx=LaTeX formula: \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}},   LaTeX formula: cos (x-\alpha )= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} .
6. Решение уравнений помощью универсальной тригонометрической подстановки LaTeX formula: sinx= \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}  и LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}
В результате подстановки изменится область определения уравнения, что может привести к потере корней.
С помощью универсальной тригонометрической подстановки можно решать и уравнение вида LaTeX formula: asinx+bcosx=c. В результате подстановки это уравнение примет вид: LaTeX formula: a\cdot \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}+LaTeX formula: b \cdot \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=c.
Решая квадратное уравнение относительно LaTeX formula: tg\frac{x}{2} , найдем корни уравнения LaTeX formula: asinx+bcosx=c .
Пример 1. Решите уравнение LaTeX formula: sin^2 2x+\frac{7}{3}cos2x=1 .
Решение. Зная, что LaTeX formula: sin^22x+cos^22x=1 , запишем LaTeX formula: sin^22x=1-cos^22x . Подставляя значение LaTeX formula: sin^22x=1-cos^22x  в исходное уравнение, получим: LaTeX formula: 3(1-cos^22x)+7cos2x-3=0, 3cos^22x-7cos2x=0,LaTeX formula: cos2x(3cos2x-7)=0. 
Полученное уравнение равносильно совокупности двух простейших уравнений: 
1)  LaTeX formula: cos2x=0, откуда по формуле 5.25 LaTeX formula: 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n, x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2}, где LaTeX formula: n\in Z ; 
2) LaTeX formula: cos2x=\frac{7}{3} , откуда LaTeX formula: x\in \varnothing, поскольку областью значений функции  LaTeX formula: y=cos2x является отрезок LaTeX formula: [-1;1] , а число LaTeX formula: \frac{7}{3}  не принадлежит этому отрезку.
Ответ: LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2}, n\in Z .
Пример 2. Решите уравнение  LaTeX formula: \left (\sqrt{3}-ctg^{-1}x \right )^{-1}-\left (\sqrt{3}+ctg^{-1}x \right )^{-1}=sin2x.
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: \frac{1}{\sqrt{3}-tgx}-\frac{1}{\sqrt{3}+tgx}=sin2x .
ОДЗ:  LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} tgx\neq \sqrt{3},\\ tgx\neq -\sqrt{3},\\ cosx\neq 0.\\ \end{array} \right.
Выполним преобразования:
  LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}+tgx-\sqrt{3}+tgx}{3-tg^2x}=sin2x,2tgx=sin2x(3-tg^2x) . 
Запишем:  LaTeX formula: tgx=\frac{sinx}{cosx}, а LaTeX formula: sin2x=2sinxcosx  . Подставляя эти выражения в последнее уравнение, получим: LaTeX formula: \frac{2sinx}{cosx}=2sinxcosx\frac{3cos^2x-sin^2x}{cos^2x}. Поскольку  LaTeX formula: cosx\neq 0, то LaTeX formula: sinx=sinx(3cos^2x-sin^2x) . 
Выполним дальнейшие преобразования: 
LaTeX formula: sinx(1-3cos^2x+sin^2x)=0,LaTeX formula: sinx(sin^2x+cos^2x-3cos^2x+sin^2x)=0,
LaTeX formula: sinx(2sin^2x-2cos^2x)=0,sinx(sinx-cosx)(sinx+cosx)=0.
Полученное уравнение равносильно совокупности трех уравнений: простейшего уравнения  LaTeX formula: sinx=0 и двух однородных уравнений 5.30. Рассмотрим их решения:
1)  LaTeX formula: sinx=0, откуда по формуле 5.21 LaTeX formula: x=\pi n, где LaTeX formula: n\in Z ;
2)  LaTeX formula: sinx-cosx=0, \frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{cosx}=0,tgx-1=0, tgx=1, откуда по формуле 5.28 LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m_{1}, где LaTeX formula: m_{1}\in Z ;
3)  LaTeX formula: sinx+cosx=1, tgx=-1, откуда по формуле 5.28  LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{4}+\pi m_{2}, где LaTeX formula: m_{2}\in Z .
Объединим решения второго и третьего уравнений. С этой целью отберем несколько последовательных корней этих уравнений: 
если  LaTeX formula: m_{1}=0, то  LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4};  если LaTeX formula: m_{2}=0, то LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{4} ;
если  LaTeX formula: m_{1}=1, то  LaTeX formula: x=\frac{5\pi }{4};  если  LaTeX formula: m_{2}=1, то LaTeX formula: x=\frac{3\pi }{4} . 
Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 5.8). 
Замечая, что  LaTeX formula: \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}, запишем: LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}m, где LaTeX formula: m\in Z .
Ответ: LaTeX formula: x_{1}=\pi n, x_{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi m}{2}; n\in Z,m\in Z .
Пример 3. Найдите количество корней уравнения LaTeX formula: 4,5sinx-4,5cosx+sin2x=ctg\frac{9\pi }{4}  на отрезке LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ] .
Решение. Поскольку  LaTeX formula: ctg\frac{9\pi }{4}=ctg \left (2\pi +\frac{\pi }{4} \right )=ctg\frac{\pi }{4}=1,то исходное уравнение запишем в виде LaTeX formula: 4,5sinx-4,5cosx+sin2x=1  или LaTeX formula: 9sinx-9cosx+2sin2x-2=0 . 
Полагая  LaTeX formula: sinx-cosx=a и возводя обе части этого равенства в квадрат, получим LaTeX formula: sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=a^2 , тогда LaTeX formula: 1-sin2x=a^2  и  LaTeX formula: sin2x=1-a^2
В результате подстановки уравнение  примет вид:
  LaTeX formula: 9a+2(1-a^2)-2=0,2a^2-9a=0, a(2a-9)=0, откуда LaTeX formula: a=0  или LaTeX formula: a=4,5 .
Учитывая подстановку, решим два уравнения вида 5.30
1)  LaTeX formula: sinx-cosx=0, tgx=1, откуда по формуле 5.28 LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi n, где LaTeX formula: n\in Z ;
2) LaTeX formula: sinx-cosx=4,5 , откуда  LaTeX formula: x\in \varnothing, так какLaTeX formula: \left | sinx \right |\leq 1  и LaTeX formula: \left | cosx \right |\leq 1 .
Определим количество корней уравнения на отрезке LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ] , решая двойное неравенство  LaTeX formula: \frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi }{4}+\pi n\leq \frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{4}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{4}, откуда LaTeX formula: \frac{1}{4}\leq n\leq \frac{5}{4} . Следовательно, LaTeX formula: n=1  и уравнение на заданном отрезке имеет один корень.
Ответ: LaTeX formula: 1.
Пример 4. Найдите сумму всех корней уравнения  LaTeX formula: sin ^2 \left (\frac{5\pi }{2}-x \right )+\frac{1}{2}sin2x=1, принадлежащих отрезку LaTeX formula: [-\pi;0] .
Решение. Учитывая основной период функции синус и применяя формулу приведения, получим:
LaTeX formula: cos^2x+\frac{1}{2}2sinxcosx=sin^2x+cos^2x, sinxcosx-sin^2x=0, LaTeX formula: sinx(cosx-sinx)=0.
Решим уравнения:
1) LaTeX formula: sinx=0 , откуда по формуле 5.21 LaTeX formula: x=0+\pi n, n\in Z ;
2)  LaTeX formula: cosx-sinx=0, \frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{0}{cosx},LaTeX formula: 1-tgx=0, tgx=1, откуда по формуле 5.28 LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m, m\in Z.
Произведем отбор корней уравнения на отрезке  LaTeX formula: [-\pi;0] (рис. 5.9). 
Если LaTeX formula: x=0+\pi n,  то при LaTeX formula: n=0 получим LaTeX formula: x_{1}=0 , а при  LaTeX formula: n=-1 получим LaTeX formula: x_{2}=-\pi .
Если LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m , то при LaTeX formula: m=-1 получим  LaTeX formula: x_{3}=-\frac{3\pi }{4} . 
Найдем сумму полученных корней уравнения: LaTeX formula: -\pi-\frac{3\pi }{4}+0=-\frac{7\pi }{4} .
Ответ: LaTeX formula: -\frac{7\pi }{4} .
Пример 5. Укажите количество корней уравнения LaTeX formula: 3sin^2x+0,75sin2x-2,5cos^2x=cos^03x , принадлежащих отрезку  LaTeX formula: [0;\pi].
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 3sin^2x+1,5sinxcosx-2,5cos^2x=1 ,LaTeX formula: 6 sin^2x+3sinxcosx-5cos^2x-2=0 . 
Так как LaTeX formula: 2=2sin^2x+2cos^2x, то  LaTeX formula: 6sin^2x+3sinxcosx-5cos^2x-2sin^2x-2cos^2x=0,LaTeX formula: 4sin^2x+3sinxcosx-7cos^2x=0  .
Получили уравнение вида 5.31. Разделим обе его части на LaTeX formula: cos^2x  и решим квадратное уравнение относительно LaTeX formula: tgx : LaTeX formula: 4tg^2x+3tgx-7=0 , откуда LaTeX formula: tgx=-\frac{7}{4}  или LaTeX formula: tgx=1.
На отрезке  LaTeX formula: [0;\pi] построим графики функций  LaTeX formula: y=tgx, y=1, LaTeX formula: y=-\frac{7}{4}  (рис. 5.10).
 Поскольку график функции LaTeX formula: y=tgx  пересекает прямые LaTeX formula: y=1  и  LaTeX formula: y=-\frac{7}{4} в двух точках, то исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: LaTeX formula: 2.
Пример 6. Решите уравнение LaTeX formula: 3sin5x-2cos5x=3 .
Решение. Имеем уравнение 5.31, которое приведем к виду 5.32.1.
Разделив обе части уравнения на число LaTeX formula: \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13} , получим: LaTeX formula: \frac{3}{\sqrt{13}}sin5x-\frac{2}{\sqrt{13}}cos5x=\frac{3}{\sqrt{13}} .
Применим подстановку LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos \alpha= \frac{3}{\sqrt{13}}, \\ sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}, \end{matrix}\right.  откуда LaTeX formula: \alpha =arcsin \frac{2}{\sqrt{13}} . 
Уравнение примет вид LaTeX formula: cos\alpha sin5x-sin\alpha cos5x=\frac{3}{\sqrt{13}}  или LaTeX formula: sin(5x-\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}} . По формуле 5.20, получим: 
LaTeX formula: 5x-\alpha =(-1)^k arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\pi k;5x =(-1)^k arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}LaTeX formula: +\alpha +\pi k;
LaTeX formula: x =(-1)^k \frac{1}{5} arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k, k\in Z.
Ответ: LaTeX formula: (-1)^k \frac{1}{5} arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k, k\in Z  .
Пример 7. Найдите среднее арифметическое корней уравнения  LaTeX formula: arccos(2x^2+3x-8)=0.
Решение. Зная, что областью определения функции арккосинус является отрезок LaTeX formula: [-1;1] , запишем ОДЗ уравнения: LaTeX formula: -1\leq 2x^2+3x-8\leq 1 .
Заменим уравнение LaTeX formula: arccos( 2x^2+3x-8)=0  равносильным ему на ОДЗ уравнением LaTeX formula: 2x^2+3x-8=cos0  или  LaTeX formula: 2x^2+3x-9=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=-3  и LaTeX formula: x_{2}=\frac{3}{2} . 
Поскольку оба полученных корня принадлежат области допустимых значений уравнения, то найдем их среднее арифметическое: LaTeX formula: (-3+1,5):2=-0,75 .
Ответ: LaTeX formula: -0,75.
Пример 8. Решите уравнение LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=1 .
Решение. Запишем уравнение в виде:
 LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=sin^2x+cos^2x,LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1)+sin^2x(sin^{16}-1)=0 .
Так как  LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1) \leq 0 и LaTeX formula: sin^2x(sin^{16}-1) \leq 0  при любых действительных значениях переменной LaTeX formula: x, то данное уравнение равносильно системе уравнений  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos^2x(cos^{13}x-1)=0,\\ sin^2x(sin^{16}-1)=0. \end{matrix}\right.
Рассмотрим каждое уравнение системы.
1) Уравнение LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1)=0  равносильно совокупности уравнений: LaTeX formula: \begin{bmatrix} cos^2x=0,\\ cos^{13}x=1; \end{matrix}\right.\begin{bmatrix} cosx=0,\\ cosx=1; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \]
2) Уравнение LaTeX formula: sin^2x(sin^{16}-1)=0  равносильно совокупности уравнений:  LaTeX formula: \begin{bmatrix} sin^2x=0,\\ sin^2x=1; \end{matrix}\right.\begin{bmatrix} sinx=0,\\ cos2x=-1; \end{matrix}\right LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \]
Поскольку корни  LaTeX formula: x_{1} и  LaTeX formula: x_{4} рассматриваемых уравнений совпадают, а множество корней  LaTeX formula: x_{3} включает в себя множество корней  LaTeX formula: x_{2}, то решением системы уравнений, а значит и уравнения LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=1 . , является совокупность решений  LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \]
Ответ: LaTeX formula: x_{1}=\frac{\pi}{2} +\pi k, x_{2}=\pi l, k\in Z, l\in Z.
Пример 9. Найдите число решений уравнения LaTeX formula: cos3x+sin2y=2, , если LaTeX formula: x,y \in \left [-\frac{\pi }{2};\pi \right ] .
Решение.Так как  LaTeX formula: \left |cos3x \right |\leq 1 и LaTeX formula: \left |sin2y \right |\leq 1 , то данное уравнение равносильно системе уравнений: 
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos3x=1,\\ sin2y=1; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} 3x=2\pi m,\\ 2y=\frac{\pi }{2}+2\pi n;\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=\frac{2\pi m}{3},m\in Z \\ & \ y=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z. \end{cases}
Проведем отбор корней уравнения на отрезке LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2};\pi \right ]: если LaTeX formula: m=0 , то  LaTeX formula: x_{1}=0; если LaTeX formula: m=1 , то LaTeX formula: x_{2}=\frac{2\pi }{3} ; если  LaTeX formula: n=0, то  LaTeX formula: y=\frac{\pi }{4}
Получили две пары решений уравнения: LaTeX formula: \left (0;\frac{\pi }{4} \right )  и LaTeX formula: \left (\frac{2\pi }{3} ;\frac{\pi }{4} \right ) .
Ответ: LaTeX formula: 2 .
1. Уравнения LaTeX formula: sinx=a  и  LaTeX formula: cosx=a имеют решения только при LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1.
2. Уравнения LaTeX formula: tgx=a  и LaTeX formula: ctgx=a  имеют решения при LaTeX formula: a\in R.
formula