Тригонометрические уравнения /qualihelpy

Тригонометрические уравнения

Справочник / Школьник / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Тригонометрическими называют уравнения, содержащие тригонометрические функции.

Например, уравнения $LaTeX formula: cos(x-60^{\circ} )=0, cos2x-5sinx=3$ и LaTeX formula: 5tg^2 x+6tgx-7=0

– тригонометрические.

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения вида: LaTeX formula: sinx=a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a

Рассмотрим их решения.

1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: sinx=a

, то при условии, что $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1, k\in Z$

$LaTeX formula: x=(-1)^karcsina+\pi k$ . (5.20)

Частные случаи:

а) если

то

$LaTeX formula: x=\pi k, k\in Z$ ; (5.21)

б) если

, то

$LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in Z$ ; (5.22)

в) если

, то

$LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{2}+2\pi k,k\in$ LaTeX formula: Z

. (5.23)

2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: cosx=a

, то при условии, что $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1,n\in Z$

$LaTeX formula: x=\pm arccosa+2\pi n$ . (5.24)

Частные случаи:

а) если

, то

$LaTeX formula: x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z ;$ (5.25)

б) если

, то

$LaTeX formula: x=2\pi n,n\in Z$ ; (5.26)

в) если

, то

$LaTeX formula: x=\pi +2\pi n ,n\in Z$ . (5.27)

3. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: tgx=a

, то при $LaTeX formula: a\in R,n\in Z$ ,

$LaTeX formula: x=arctga+\pi n$ . (5.28)

4. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ctgx=a

, то при $LaTeX formula: a\in R,n\in$ LaTeX formula: Z

$LaTeX formula: x=arcctga+\pi n$ . (5.29)

Методы решений тригонометрических уравнений

1. Метод подстановки.

2. Решение однородных уравнений относительно LaTeX formula: sinx

Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида

. (5.30)

Чтобы решить однородное уравнение, необходимо разделить обе его части на $LaTeX formula: cosx\neq 0$ :

$LaTeX formula: \frac{asinx}{cosx}+\frac{bcosx}{cosx}=\frac{0}{cosx}$ или LaTeX formula: atgx+b=0

откуда $LaTeX formula: tgx=-\frac{b}{a} ; x=-arctg\left (\frac{b}{a} \right )+\pi n, n\in Z$ .

Однородным уравнением второй степени называют уравнение вида

LaTeX formula: asin^2x+bsinxcosx+c cos^2x=0

. (5.31)

Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить обе его части на $LaTeX formula: cos^2x\neq 0$ :

$LaTeX formula: \frac{asin^2x}{cos^2x}+\frac{bsinxcosx}{cos^2x}+\frac{ccos^2x}{cos^2x}=\frac{0}{cos^2x},$ LaTeX formula: a tg^2x+btgx+c=0

Решая квадратное уравнение относительно LaTeX formula: tgx

, получим простейшие уравнения вида LaTeX formula: tgx=a

3. Преобразования уравнений с помощью формул тригонометрии.

4. Решение уравнений вида

(5.32)

методом введения вспомогательного аргумента.

Чтобы ввести вспомогательный аргумент, необходимо разделить обе части уравнения 5.32 на число $LaTeX formula: \sqrt{a^2+b^2}$ , т. е. записать данное уравнение в виде:

$LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} cosx=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ . (5.32.1)

Применяя подстановку $LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}=cosa$ и $LaTeX formula: \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}=sina$ , получим: $LaTeX formula: cos\alpha sinx+sin\alpha cosx=$ $LaTeX formula: \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , $LaTeX formula: sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

Решая это уравнение при условии, что $LaTeX formula: \left |\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \right |\leq 1$ , найдем значения переменной LaTeX formula: x

$LaTeX formula: x=(-1)^{k} arcsin \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} -\alpha +\pi k, k\in Z$ .

Заметим: 1) вспомогательный аргумент $LaTeX formula: \alpha$ может быть записан в виде $LaTeX formula: \alpha =arccos \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ или в виде $LaTeX formula: \alpha =arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ;

2) если применить подстановку $LaTeX formula: \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} =sin \alpha , \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} =cos\alpha$ , то уравнение примет вид: $LaTeX formula: sin\alpha sinx+cos\alpha cosx=$ $LaTeX formula: \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ , $LaTeX formula: cos (x-\alpha )= \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

6. Решение уравнений помощью универсальной тригонометрической подстановки $LaTeX formula: sinx= \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ и $LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ .

В результате подстановки изменится область определения уравнения, что может привести к потере корней.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки можно решать и уравнение вида LaTeX formula: asinx+bcosx=c

. В результате подстановки это уравнение примет вид: $LaTeX formula: a\cdot \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}+$ $LaTeX formula: b \cdot \frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}=c$ .

Решая квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: tg\frac{x}{2}$ , найдем корни уравнения LaTeX formula: asinx+bcosx=c

Пример 1. Решите уравнение $LaTeX formula: sin^2 2x+\frac{7}{3}cos2x=1$ .

Решение. Зная, что LaTeX formula: sin^22x+cos^22x=1

, запишем

. Подставляя значение LaTeX formula: sin^22x=1-cos^22x

в исходное уравнение, получим: LaTeX formula: 3(1-cos^22x)+7cos2x-3=0, 3cos^22x-7cos2x=0,

Полученное уравнение равносильно совокупности двух простейших уравнений:

, откуда по формуле 5.25 $LaTeX formula: 2x=\frac{\pi }{2}+\pi n, x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2},$ где $LaTeX formula: n\in Z$ ;

2) $LaTeX formula: cos2x=\frac{7}{3}$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ , поскольку областью значений функции LaTeX formula: y=cos2x

является отрезок LaTeX formula: [-1;1]

, а число $LaTeX formula: \frac{7}{3}$ не принадлежит этому отрезку.

Ответ: $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi n }{2}, n\in Z$ .

Пример 2. Решите уравнение $LaTeX formula: \left (\sqrt{3}-ctg^{-1}x \right )^{-1}-\left (\sqrt{3}+ctg^{-1}x \right )^{-1}=sin2x$ .

Решение. Запишем уравнение в виде $LaTeX formula: \frac{1}{\sqrt{3}-tgx}-\frac{1}{\sqrt{3}+tgx}=sin2x$ .

ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} tgx\neq \sqrt{3},\\ tgx\neq -\sqrt{3},\\ cosx\neq 0.\\ \end{array} \right.$

Выполним преобразования:

$LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}+tgx-\sqrt{3}+tgx}{3-tg^2x}=sin2x,2tgx=sin2x(3-tg^2x)$ .

Запишем: $LaTeX formula: tgx=\frac{sinx}{cosx}$ , а LaTeX formula: sin2x=2sinxcosx

. Подставляя эти выражения в последнее уравнение, получим: $LaTeX formula: \frac{2sinx}{cosx}=2sinxcosx\frac{3cos^2x-sin^2x}{cos^2x}$ . Поскольку $LaTeX formula: cosx\neq 0$ , то LaTeX formula: sinx=sinx(3cos^2x-sin^2x)

LaTeX formula: sinx=sinx(3cos^2x-sin^2x)

Выполним дальнейшие преобразования:

LaTeX formula: sinx(1-3cos^2x+sin^2x)=0,

LaTeX formula: sinx(sin^2x+cos^2x-3cos^2x+sin^2x)=0,

LaTeX formula: sinx(2sin^2x-2cos^2x)=0,sinx(sinx-cosx)(sinx+cosx)=0.

Полученное уравнение равносильно совокупности трех уравнений: простейшего уравнения LaTeX formula: sinx=0

и двух однородных уравнений 5.30. Рассмотрим их решения:

, откуда по формуле 5.21 $LaTeX formula: x=\pi n$ , где $LaTeX formula: n\in Z$ ;

2) $LaTeX formula: sinx-cosx=0, \frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{cosx}=0,tgx-1=0, tgx=1,$ откуда по формуле 5.28 $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m_{1},$ где $LaTeX formula: m_{1}\in Z$ ;

откуда по формуле 5.28 $LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{4}+\pi m_{2},$ где $LaTeX formula: m_{2}\in Z$ .

Объединим решения второго и третьего уравнений. С этой целью отберем несколько последовательных корней этих уравнений:

если $LaTeX formula: m_{1}=0$ , то $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}$ ; если $LaTeX formula: m_{2}=0$ , то $LaTeX formula: x=-\frac{\pi }{4}$ ;

если $LaTeX formula: m_{1}=1$ , то $LaTeX formula: x=\frac{5\pi }{4}$ ; если $LaTeX formula: m_{2}=1$ , то $LaTeX formula: x=\frac{3\pi }{4}$ .

Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 5.8).

Замечая, что $LaTeX formula: \frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ , запишем: $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{2}m,$ где $LaTeX formula: m\in Z$ .

Ответ: $LaTeX formula: x_{1}=\pi n, x_{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi m}{2}; n\in Z,m\in Z$ .

Пример 3. Найдите количество корней уравнения $LaTeX formula: 4,5sinx-4,5cosx+sin2x=ctg\frac{9\pi }{4}$ на отрезке $LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]$ .

Решение. Поскольку $LaTeX formula: ctg\frac{9\pi }{4}=ctg \left (2\pi +\frac{\pi }{4} \right )=ctg\frac{\pi }{4}=1,$ то исходное уравнение запишем в виде LaTeX formula: 4,5sinx-4,5cosx+sin2x=1

или

Полагая

и возводя обе части этого равенства в квадрат, получим LaTeX formula: sin^2x-2sinxcosx+cos^2x=a^2

, тогда

В результате подстановки уравнение примет вид:

LaTeX formula: 9a+2(1-a^2)-2=0,2a^2-9a=0, a(2a-9)=0,

откуда

или

Учитывая подстановку, решим два уравнения вида 5.30:

откуда по формуле 5.28 $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ , где $LaTeX formula: n\in Z$ ;

, откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ , так как $LaTeX formula: \left | sinx \right |\leq 1$ и $LaTeX formula: \left | cosx \right |\leq 1$ .

Определим количество корней уравнения на отрезке $LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]$ , решая двойное неравенство $LaTeX formula: \frac{\pi }{2}\leq \frac{\pi }{4}+\pi n\leq \frac{3\pi }{2},\frac{\pi }{4}\leq \pi n\leq \frac{5\pi }{4},$ откуда $LaTeX formula: \frac{1}{4}\leq n\leq \frac{5}{4}$ . Следовательно, LaTeX formula: n=1

и уравнение на заданном отрезке имеет один корень.

Ответ:

Пример 4. Найдите сумму всех корней уравнения $LaTeX formula: sin ^2 \left (\frac{5\pi }{2}-x \right )+\frac{1}{2}sin2x=1$ , принадлежащих отрезку $LaTeX formula: [-\pi;0]$ .

Решение. Учитывая основной период функции синус и применяя формулу приведения, получим:

$LaTeX formula: cos^2x+\frac{1}{2}2sinxcosx=sin^2x+cos^2x, sinxcosx-sin^2x=0,$ LaTeX formula: sinx(cosx-sinx)=0.

Решим уравнения:

, откуда по формуле 5.21 $LaTeX formula: x=0+\pi n, n\in Z$ ;

2) $LaTeX formula: cosx-sinx=0, \frac{cosx}{cosx}-\frac{sinx}{cosx}=\frac{0}{cosx},$ LaTeX formula: 1-tgx=0, tgx=1,

откуда по формуле 5.28 $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m, m\in Z$ .

Произведем отбор корней уравнения на отрезке $LaTeX formula: [-\pi;0]$ (рис. 5.9).

Если $LaTeX formula: x=0+\pi n,$ то при LaTeX formula: n=0

получим $LaTeX formula: x_{1}=0$ , а при LaTeX formula: n=-1

получим $LaTeX formula: x_{2}=-\pi$ .

Если $LaTeX formula: x=\frac{\pi }{4}+\pi m$ , то при LaTeX formula: m=-1

получим $LaTeX formula: x_{3}=-\frac{3\pi }{4}$ .

Найдем сумму полученных корней уравнения: $LaTeX formula: -\pi-\frac{3\pi }{4}+0=-\frac{7\pi }{4}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{7\pi }{4}$ .

Пример 5. Укажите количество корней уравнения LaTeX formula: 3sin^2x+0,75sin2x-2,5cos^2x=cos^03x

, принадлежащих отрезку $LaTeX formula: [0;\pi]$ .

Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 3sin^2x+1,5sinxcosx-2,5cos^2x=1 ,

LaTeX formula: 6 sin^2x+3sinxcosx-5cos^2x-2=0

Так как

то

LaTeX formula: 6sin^2x+3sinxcosx-5cos^2x-2sin^2x-2cos^2x=0,

LaTeX formula: 4sin^2x+3sinxcosx-7cos^2x=0

Получили уравнение вида 5.31. Разделим обе его части на LaTeX formula: cos^2x

и решим квадратное уравнение относительно LaTeX formula: tgx

, откуда $LaTeX formula: tgx=-\frac{7}{4}$ или LaTeX formula: tgx=1

На отрезке $LaTeX formula: [0;\pi]$ построим графики функций LaTeX formula: y=tgx, y=1,

$LaTeX formula: y=-\frac{7}{4}$ (рис. 5.10).

Поскольку график функции LaTeX formula: y=tgx

пересекает прямые LaTeX formula: y=1

и $LaTeX formula: y=-\frac{7}{4}$ в двух точках, то исходное уравнение имеет два корня.

Ответ:

Пример 6. Решите уравнение LaTeX formula: 3sin5x-2cos5x=3

Решение. Имеем уравнение 5.31, которое приведем к виду 5.32.1.

Разделив обе части уравнения на число $LaTeX formula: \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ , получим: $LaTeX formula: \frac{3}{\sqrt{13}}sin5x-\frac{2}{\sqrt{13}}cos5x=\frac{3}{\sqrt{13}}$ .

Применим подстановку $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos \alpha= \frac{3}{\sqrt{13}}, \\ sin \alpha =\frac{2}{\sqrt{13}}, \end{matrix}\right.$ откуда $LaTeX formula: \alpha =arcsin \frac{2}{\sqrt{13}}$ .

Уравнение примет вид $LaTeX formula: cos\alpha sin5x-sin\alpha cos5x=\frac{3}{\sqrt{13}}$ или $LaTeX formula: sin(5x-\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}}$ . По формуле 5.20, получим:

$LaTeX formula: 5x-\alpha =(-1)^k arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}+\pi k;5x =(-1)^k arcsin \frac{3}{\sqrt{13}}$ $LaTeX formula: +\alpha +\pi k;$

$LaTeX formula: x =(-1)^k \frac{1}{5} arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k, k\in Z$ .

Ответ: $LaTeX formula: (-1)^k \frac{1}{5} arcsin \frac{3\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}arcsin \frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{1}{5}\pi k, k\in Z$ .

Пример 7. Найдите среднее арифметическое корней уравнения LaTeX formula: arccos(2x^2+3x-8)=0

Решение. Зная, что областью определения функции арккосинус является отрезок LaTeX formula: [-1;1]

, запишем ОДЗ уравнения: $LaTeX formula: -1\leq 2x^2+3x-8\leq 1$ .

Заменим уравнение LaTeX formula: arccos( 2x^2+3x-8)=0

равносильным ему на ОДЗ уравнением LaTeX formula: 2x^2+3x-8=cos0

или

, откуда $LaTeX formula: x_{1}=-3$ и $LaTeX formula: x_{2}=\frac{3}{2}$ .

Поскольку оба полученных корня принадлежат области допустимых значений уравнения, то найдем их среднее арифметическое: LaTeX formula: (-3+1,5):2=-0,75

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение $LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=1$ .

Решение. Запишем уравнение в виде:

$LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=sin^2x+cos^2x,$ $LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1)+sin^2x(sin^{16}-1)=0$ .

Так как $LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1) \leq 0$ и $LaTeX formula: sin^2x(sin^{16}-1) \leq 0$ при любых действительных значениях переменной LaTeX formula: x

, то данное уравнение равносильно системе уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos^2x(cos^{13}x-1)=0,\\ sin^2x(sin^{16}-1)=0. \end{matrix}\right.$

Рассмотрим каждое уравнение системы.

1) Уравнение $LaTeX formula: cos^2x(cos^{13}x-1)=0$ равносильно совокупности уравнений: $LaTeX formula: \begin{bmatrix} cos^2x=0,\\ cos^{13}x=1; \end{matrix}\right.\begin{bmatrix} cosx=0,\\ cosx=1; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \]$

2) Уравнение $LaTeX formula: sin^2x(sin^{16}-1)=0$ равносильно совокупности уравнений: $LaTeX formula: \begin{bmatrix} sin^2x=0,\\ sin^2x=1; \end{matrix}\right.\begin{bmatrix} sinx=0,\\ cos2x=-1; \end{matrix}\right$ $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \]$

Поскольку корни $LaTeX formula: x_{1}$ и $LaTeX formula: x_{4}$ рассматриваемых уравнений совпадают, а множество корней $LaTeX formula: x_{3}$ включает в себя множество корней $LaTeX formula: x_{2}$ , то решением системы уравнений, а значит и уравнения $LaTeX formula: cos^{15}x+sin^{18}x=1 .$ , является совокупность решений $LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \]$

Ответ: $LaTeX formula: x_{1}=\frac{\pi}{2} +\pi k, x_{2}=\pi l, k\in Z, l\in Z.$

Пример 9. Найдите число решений уравнения LaTeX formula: cos3x+sin2y=2,

, если $LaTeX formula: x,y \in \left [-\frac{\pi }{2};\pi \right ]$ .

Решение.Так как $LaTeX formula: \left |cos3x \right |\leq 1$ и $LaTeX formula: \left |sin2y \right |\leq 1$ , то данное уравнение равносильно системе уравнений:

$LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} cos3x=1,\\ sin2y=1; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} 3x=2\pi m,\\ 2y=\frac{\pi }{2}+2\pi n;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=\frac{2\pi m}{3},m\in Z \\ & \ y=\frac{\pi}{4}+\pi n, n\in Z. \end{cases}$

Проведем отбор корней уравнения на отрезке $LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2};\pi \right ]$ : если LaTeX formula: m=0

, то $LaTeX formula: x_{1}=0$ ; если LaTeX formula: m=1

, то $LaTeX formula: x_{2}=\frac{2\pi }{3}$ ; если LaTeX formula: n=0

, то $LaTeX formula: y=\frac{\pi }{4}$ .

Получили две пары решений уравнения: $LaTeX formula: \left (0;\frac{\pi }{4} \right )$ и $LaTeX formula: \left (\frac{2\pi }{3} ;\frac{\pi }{4} \right )$ .

Ответ:

1. Уравнения LaTeX formula: sinx=a

имеют решения только при $LaTeX formula: \left | a \right |\leq 1$ .

2. Уравнения LaTeX formula: tgx=a

имеют решения при $LaTeX formula: a\in R$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания
m_9_тригонометрические_уравнения

Тригонометрические уравнения