Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
. (5.20)
; (5.21)
; (5.22)
. (5.23)
. (5.24)
(5.25)
; (5.26)
. (5.27)
. (5.28)
. (5.29)
. (5.30)
или
,
. (5.31)
.
(5.32)
. (5.32.1)
.
. 


откуда
или
.





. 
.
Тригонометрическими называют уравнения, содержащие тригонометрические функции.
Например, уравнения
и
– тригонометрические.


Простейшие тригонометрические уравнения
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят уравнения вида:
.

Рассмотрим их решения.
1. Если уравнение имеет вид
, то при условии, что



Частные случаи:
а) если
то


б) если
, то


в) если
, то



2. Если уравнение имеет вид
, то при условии, что



Частные случаи:
а) если
, то


б) если
, то


в) если
, то


3. Если уравнение имеет вид
, то при
,



4. Если уравнение имеет вид
, то при




Методы решений тригонометрических уравнений
1. Метод подстановки.
2. Решение однородных уравнений относительно
и
.


Однородным уравнением первой степени называют уравнение вида

Чтобы решить однородное уравнение, необходимо разделить обе его части на
:



откуда
.

Однородным уравнением второй степени называют уравнение вида

Чтобы решить это уравнение, необходимо разделить обе его части на
:



Решая квадратное уравнение относительно
, получим простейшие уравнения вида
.


3. Преобразования уравнений с помощью формул тригонометрии.
4. Решение уравнений вида

методом введения вспомогательного аргумента.
Чтобы ввести вспомогательный аргумент, необходимо разделить обе части уравнения 5.32 на число
, т. е. записать данное уравнение в виде:


Применяя подстановку
и
, получим:
,
.





Решая это уравнение при условии, что
, найдем значения переменной
:



Заметим: 1) вспомогательный аргумент
может быть записан в виде
или в виде
;



2) если применить подстановку
, то уравнение примет вид: 
,
.




6. Решение уравнений помощью универсальной тригонометрической подстановки
и
.


В результате подстановки изменится область определения уравнения, что может привести к потере корней.
С помощью универсальной тригонометрической подстановки можно решать и уравнение вида
. В результате подстановки это уравнение примет вид: 
.



Решая квадратное уравнение относительно
, найдем корни уравнения
.


Пример 1. Решите уравнение
.

Решение. Зная, что
, запишем
. Подставляя значение
в исходное уравнение, получим: 





Полученное уравнение равносильно совокупности двух простейших уравнений:
2)
, откуда
, поскольку областью значений функции
является отрезок
, а число
не принадлежит этому отрезку.



![[-1;1] LaTeX formula: [-1;1]](/uploads/formulas/39c69e02cc294b23aafc11c9f25dc64d7b6685f4.1.1.png)

Ответ:
.

Пример 2. Решите уравнение
.

Решение. Запишем уравнение в виде
.

ОДЗ: 

Выполним преобразования:

Запишем:
, а
. Подставляя эти выражения в последнее уравнение, получим:
. Поскольку
, то
.





Выполним дальнейшие преобразования:



Полученное уравнение равносильно совокупности трех уравнений: простейшего уравнения
и двух однородных уравнений 5.30. Рассмотрим их решения:

Объединим решения второго и третьего уравнений. С этой целью отберем несколько последовательных корней этих уравнений:
если
, то
; если
, то
;




если
, то
; если
, то
.




Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 5.8).

Замечая, что
, запишем:
где
.



Ответ:
.

Пример 3. Найдите количество корней уравнения
на отрезке
.

![\left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ] LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]](/uploads/formulas/ace0a4084839a34c012ea3990079ab786715131d.1.1.png)
Решение. Поскольку
то исходное уравнение запишем в виде
или
.



Полагая
и возводя обе части этого равенства в квадрат, получим
, тогда
и
.




В результате подстановки уравнение примет вид:



Учитывая подстановку, решим два уравнения вида 5.30:
2)
, откуда
, так как
и
.




Определим количество корней уравнения на отрезке
, решая двойное неравенство
откуда
. Следовательно,
и уравнение на заданном отрезке имеет один корень.
![\left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ] LaTeX formula: \left [\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2} \right ]](/uploads/formulas/ace0a4084839a34c012ea3990079ab786715131d.1.1.png)



Ответ:
.

Пример 4. Найдите сумму всех корней уравнения
, принадлежащих отрезку
.

![[-\pi;0] LaTeX formula: [-\pi;0]](/uploads/formulas/842a820c9f3445985531b2f22da71d83895c78c5.1.1.png)
Решение. Учитывая основной период функции синус и применяя формулу приведения, получим:


Решим уравнения:
Произведем отбор корней уравнения на отрезке
(рис. 5.9).
![[-\pi;0] LaTeX formula: [-\pi;0]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/842a820c9f3445985531b2f22da71d83895c78c5.1.1.png)

Если
то при
получим
, а при
получим
.





Если
, то при
получим
.



Найдем сумму полученных корней уравнения:
.

Ответ:
.

Пример 5. Укажите количество корней уравнения
, принадлежащих отрезку
.

![[0;\pi] LaTeX formula: [0;\pi]](/uploads/formulas/afb897bb69d12c200693ec6f07caedbe8c1d4f84.1.1.png)
Решение. Запишем уравнение в виде 
.


Так как
то 
.



Получили уравнение вида 5.31. Разделим обе его части на
и решим квадратное уравнение относительно
:
, откуда
или
.





На отрезке
построим графики функций
(рис. 5.10).
![[0;\pi] LaTeX formula: [0;\pi]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/afb897bb69d12c200693ec6f07caedbe8c1d4f84.1.1.png)



Поскольку график функции
пересекает прямые
и
в двух точках, то исходное уравнение имеет два корня.



Ответ:
.

Пример 6. Решите уравнение
.

Разделив обе части уравнения на число
, получим:
.


Применим подстановку
откуда
.





Ответ:
.

Пример 7. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
.

Решение. Зная, что областью определения функции арккосинус является отрезок
, запишем ОДЗ уравнения:
.
![[-1;1] LaTeX formula: [-1;1]](/uploads/formulas/39c69e02cc294b23aafc11c9f25dc64d7b6685f4.1.1.png)

Заменим уравнение
равносильным ему на ОДЗ уравнением
или
, откуда
и
.





Поскольку оба полученных корня принадлежат области допустимых значений уравнения, то найдем их среднее арифметическое:
.

Ответ:
.

Пример 8. Решите уравнение
.

Решение. Запишем уравнение в виде:


Так как
и
при любых действительных значениях переменной
, то данное уравнение равносильно системе уравнений 




Рассмотрим каждое уравнение системы.
1) Уравнение
равносильно совокупности уравнений:
![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/5875bbc96a08c6d1c05ae58f15c2f931abba507f.1.1.png)


![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{1}=\frac{\pi}{2}+\pi m_{1},m_{1}\in Z,\\ & \ x_{2}=2 \pi m_{2},m_{2}\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/5875bbc96a08c6d1c05ae58f15c2f931abba507f.1.1.png)
2) Уравнение
равносильно совокупности уравнений:
![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/991a028128a4d96dbd7bfbff38ecb59ff5cf3695.1.1.png)


![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x_{3}=\pi n_{1},n_{1}\in Z,\\ & \ x_{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n_{2},n_{2}\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/991a028128a4d96dbd7bfbff38ecb59ff5cf3695.1.1.png)
Поскольку корни
и
рассматриваемых уравнений совпадают, а множество корней
включает в себя множество корней
, то решением системы уравнений, а значит и уравнения
, является совокупность решений ![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/b8230805d6d106ed342b7639813f18ac9bc5a5b0.1.1.png)





![\[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \] LaTeX formula: \[ \left[ \begin{aligned} & \ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in Z,\\ & \ x=2\pi l, l\in Z. \end. \]](/uploads/formulas/b8230805d6d106ed342b7639813f18ac9bc5a5b0.1.1.png)
Ответ: 

Пример 9. Найдите число решений уравнения
, если
.

![x,y \in \left [-\frac{\pi }{2};\pi \right ] LaTeX formula: x,y \in \left [-\frac{\pi }{2};\pi \right ]](/uploads/formulas/7f78099f37f75b17c58e2f61f06cd71de0bb1918.1.1.png)
Решение.Так как
и
, то данное уравнение равносильно системе уравнений:





Проведем отбор корней уравнения на отрезке
: если
, то
; если
, то
; если
, то
.
![\left [ -\frac{\pi }{2};\pi \right ] LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2};\pi \right ]](/uploads/formulas/4773ea029c278f879acd83f5784d72bf50dc7eb5.1.1.png)






Получили две пары решений уравнения:
и
.


Ответ:
.

1. Уравнения
и
имеют решения только при
.



2. Уравнения
и
имеют решения при
.


