Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, противоположных им чисел и числа нуль. Множество всех целых чисел обозначают LaTeX formula: Z . Это множество чисел бесконечно: …, LaTeX formula: -4 , LaTeX formula: -3 , LaTeX formula: -2 , LaTeX formula: -1 , LaTeX formula: 0 , LaTeX formula: 1 ,LaTeX formula: 2 , … . 
Числовая ось или числовая прямая – это прямая, на которой определено начало отсчета, направление отсчета и единичный отрезок. На рисунке 1.1 точка LaTeX formula: O – начало отсчета, отрезок LaTeX formula: OM имеет длину, равную единице, а стрелка указывает положительное направление отсчета. Начало отсчета (точка LaTeX formula: O ) и число нуль совпадают. Числа, расположенные на числовой оси справа от начала отсчета, называют положительными числами, а числа, расположенные слева от начала отсчета, называют отрицательными
Перед отрицательными числами всегда ставят знак « LaTeX formula: - ». Натуральные числа – положительные. Перед положительными числами можно поставить знак « LaTeX formula: + ». 
Числа LaTeX formula: a и  LaTeX formula: -a называют противоположными
Сумма двух противоположных чисел всегда равна нулю
Например, LaTeX formula: -1+1=0 ; LaTeX formula: 41+(-41)=0 .
Сравнение целых чисел с помощью числовой прямой: из двух чисел больше то число, которое расположено правее на числовой прямой, и меньше то число, которое расположено левее на этой прямой. Например, на рисунке 1.2 число LaTeX formula: -1 расположено правее числа LaTeX formula: -3 , значит число LaTeX formula: -1 больше числа LaTeX formula: -3 , а число LaTeX formula: -3 в свою очередь меньше числа LaTeX formula: 2 .
Числовые неравенства
Два числа LaTeX formula: a и LaTeX formula: b , соединенные одним из знаков  LaTeX formula: > (больше), LaTeX formula: < (меньше),  LaTeX formula: \geq (больше или равно) или LaTeX formula: \leq (меньше или равно), называют числовым неравенством
LaTeX formula: a>b , LaTeX formula: a<b , LaTeX formula: a\geq b , LaTeX formula: a\leq b . 
Если число LaTeX formula: a неотрицательное, то пишут LaTeX formula: a\geq 0 и читают: LaTeX formula: a больше или равно нулю. 
Если число LaTeX formula: a неположительное, то есть отрицательное или число LaTeX formula: 0 , то пишут  LaTeX formula: a\leq 0 и читают: LaTeX formula: a меньше или равно нулю. 
Если число LaTeX formula: a положительное, то записывают  LaTeX formula: a>0 , а если число LaTeX formula: a отрицательное, то записывают  LaTeX formula: a<0 .
Неравенство, содержащее знак LaTeX formula: >  или знак LaTeX formula: <  называют строгим неравенством, а содержащее знак LaTeX formula: \geq  или знак  LaTeX formula: \leq – нестрогим неравенством
Если оба неравенства содержат один и тот же знак (знак  LaTeX formula: > или знак LaTeX formula: < ), то их называют неравенствами одинакового смысла. Если же одно из неравенств содержит знак LaTeX formula: > , а другое знак LaTeX formula: < , то такие неравенства называют неравенствами противоположного смысла.
Неравенства  LaTeX formula: b<a<c ,  LaTeX formula: b<a\leq c , LaTeX formula: b\leq a<c  и  LaTeX formula: b\leq a \leq c называют двойными неравенствами
Неравенство LaTeX formula: b<a<c  читают так: число LaTeX formula: a больше числа LaTeX formula: b, но меньше числа LaTeX formula: c
Неравенство LaTeX formula: b\leq a \leq c  читают так: число LaTeX formula: a больше или равно числу LaTeX formula: b, но меньше или равно числу LaTeX formula: c или число LaTeX formula: a не меньше числа LaTeX formula: b и не больше числа LaTeX formula: c
Двойные неравенства можно заменять системами неравенств. Например, неравенство LaTeX formula: b<a<c  заменяют системой неравенств LaTeX formula: \begin{cases} a>b, \\ a<c .\end{cases}  
Свойства числовых неравенств
1. Если LaTeX formula: a>b  и LaTeX formula: b>c , то  LaTeX formula: a>c , или если  LaTeX formula: a<b и  LaTeX formula: b<c , то  LaTeX formula: a<c . 
2. Если LaTeX formula: a>b  и LaTeX formula: c>0 , то  LaTeX formula: ac>bc , или если LaTeX formula: a<b  и  LaTeX formula: c>0 , то  LaTeX formula: ac<bc . 
3. Если  LaTeX formula: a>b и  LaTeX formula: c<0 , то  LaTeX formula: ac<bc , или если  LaTeX formula: a<b и  LaTeX formula: c<0 , то  LaTeX formula: ac>bc . 
4. Если  LaTeX formula: a>b , то LaTeX formula: \frac{1}{a}<\frac{1}{b} , или если  LaTeX formula: a<b, то  LaTeX formula: \frac{1}{a}>\frac{1}{b} при условии, что  LaTeX formula: ab>0 . 
5. Если  LaTeX formula: a>b и  LaTeX formula: c>d, то  LaTeX formula: a+c>b+d, или если LaTeX formula: a<b и  LaTeX formula: c<d, то  LaTeX formula: a+c<b+d . 
6. Если  LaTeX formula: a<b и LaTeX formula: m – натуральное число, то LaTeX formula: a^{2m-1}<b^{2m-1} . 
7. Если  LaTeX formula: a<b и LaTeX formula: m – натуральное число, то  LaTeX formula: a^{2m}<b^{2m} при условии, что LaTeX formula: a>0  и  LaTeX formula: b>0 . 
8. Если LaTeX formula: a>0 , то  LaTeX formula: a+\frac{1}{a}\geq 2 . Если  LaTeX formula: a<0, то  LaTeX formula: a+\frac{1}{a}\leq -2 . 
Абсолютная величина числа 
Модулем (абсолютной величиной) числа LaTeX formula: a называют число LaTeX formula: a, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если LaTeX formula: a отрицательное: 
 LaTeX formula: \left | a \right |=a, если LaTeX formula: a\geq 0 и  LaTeX formula: \left | a \right |=-a, если  LaTeX formula: a<0 . 
Например:  LaTeX formula: \left | 9 \right |=9 ;  LaTeX formula: \left | 0 \right |=0 ;  LaTeX formula: \left | -9 \right |=9 .
Геометрический смысл модуля числа: модуль числа – это расстояние от начала отсчета до точки на числовой прямой, соответствующей этому числу (рис. 1.3).
Свойства модуля числа:
LaTeX formula: \left | a \right |\geq 0
LaTeX formula: \left | a \right |^2=a^2 ; 
LaTeX formula: \left | ab \right |=\left | a \right |\left | b \right |
LaTeX formula: \left | \frac{a}{b} \right |=\frac{\left | a \right |}{\left | b \right |}
LaTeX formula: \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |
LaTeX formula: \left | a-b \right |\geq \left | a \right |-\left | b \right |
Решение простейших уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
Поскольку модуль любого числа – величина неотрицательная, то уравнение LaTeX formula: \left | x \right |=a  имеет решения, если LaTeX formula: a\geq 0  и не имеет решений, если  LaTeX formula: a<0
Например: 1) решение уравнения LaTeX formula: \left | x \right |=3  образуют числа LaTeX formula: 3 и LaTeX formula: -3; 2) решением уравнения LaTeX formula: \left | x \right |=0  является число LaTeX formula: 0; 3) уравнение LaTeX formula: \left | x \right |=-3  решений не имеет.
Решение простейших неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
Решение неравенства LaTeX formula: \left | x \right |\leq a записывают так:  LaTeX formula: -a\leq x\leq a .
Решение неравенства LaTeX formula: \left | x \right |<a записывают так:  LaTeX formula: -a<x<a .
Решение неравенства LaTeX formula: \left | x \right |\geq a записывают так: LaTeX formula: x\leq -a  или  LaTeX formula: x\geq a .
Решение неравенства LaTeX formula: \left | x \right |>a записывают так: LaTeX formula: x<-a  или  LaTeX formula: x>a .
Правила сравнения целых чисел
1. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Например: LaTeX formula: 87>86 ;  LaTeX formula: 101>4 .
2. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Например, LaTeX formula: -1>-10 , так как  LaTeX formula: \left | -1 \right |<\left | -10 \right | .
3. Любое положительное число больше любого отрицательного числа и числа нуль. Например,  LaTeX formula: 3>-30 . 
4. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа и числа нуль. Например,  LaTeX formula: -6<1 .
Правила сложения целых чисел
1. Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, необходимо сложить их модули и перед результатом поставить общий знак этих чисел. Например: LaTeX formula: 4+41=45 ;  LaTeX formula: -4+(-41)=-(4+41)=-45 .
2. Чтобы сложить два числа с противоположными знаками, необходимо из большего модуля числа вычесть меньший и перед результатом поставить знак числа, модуль которого больше. Например: LaTeX formula: -41+4=-(41-4)=-37 ;  LaTeX formula: 41+(-4)=41-4=37 .
3. Чтобы из одного числа вычесть другое, можно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например:  LaTeX formula: 3-43=3+(-43)=-40 . 
 Правила умножения и деления целых чисел
1. Чтобы умножить (разделить) два числа с одинаковыми знаками, необходимо модули этих чисел умножить (разделить). В результате всегда будем получать положительное число. 
Например: LaTeX formula: -1\cdot (-8)=8 ;  LaTeX formula: -10:(-2)=5 .
2. Чтобы умножить (разделить) два числа с противоположными знаками, необходимо модули этих чисел перемножить (разделить) и перед результатом поставить знак минус. В результате всегда будем получать отрицательное число. Например: LaTeX formula: 7\cdot (-2)=-14 ;  LaTeX formula: -60:3=-20 .
3. При умножении любого числа на число LaTeX formula: 0 всегда будем получать число LaTeX formula: 0 . При делении числа LaTeX formula: 0 на положительное или отрицательное число всегда будем получать число LaTeX formula: 0 . 
Например: LaTeX formula: 100\cdot 0=0 ;  LaTeX formula: 0:(-4)=0.
Пример 1. Решите неравенства:
1) если LaTeX formula: \left | x \right |\leq 18 , то  LaTeX formula: -18\leq x\leq 18 ; 
2) если LaTeX formula: \left | x \right |>18, то LaTeX formula: x<-18  или  LaTeX formula: x>18 ;
3) неравенство LaTeX formula: \left | x \right |\leq -18  решений не имеет, поскольку левая часть этого неравенства всегда неотрицательна, а правая его часть отрицательна, а положительные числа и число LaTeX formula: 0 не могут быть меньше отрицательного числа или быть ему равны;
4) решением неравенства LaTeX formula: \left | x \right |>-18  является любое число, поскольку левая часть этого неравенства всегда неотрицательна, а его правая часть отрицательна, а любое положительное число и число LaTeX formula: 0 всегда больше отрицательного.
Пример 2. Вычислите LaTeX formula: -2\cdot (-4-19)+300:(12-14) .
Решение. Выполним действия:
1)  LaTeX formula: -4-19=-(4+19)=-23 ; 
2)  LaTeX formula: -2 \cdot (-23)=46 ;  
3)  LaTeX formula: 12-14=-(14-12)=-2 ; 
4)  LaTeX formula: 300:(-2)=-150 ;
5)  LaTeX formula: 46+(-150)=-(150-46)=-104 .
Ответ:  LaTeX formula: -104.

1. Число LaTeX formula: 0 не является ни положительным, ни отрицательным. Все положительные числа и число LaTeX formula: 0 называют неотрицательными, а все отрицательные числа и число LaTeX formula: 0 называют неположительными
2. Поскольку вычитание всегда можно заменить сложением, то выражения, соединенные знаками « LaTeX formula: + » и « LaTeX formula: - », называют алгебраической суммой.
3. Деление любого числа на число LaTeX formula: 0 не имеет смысла.
4. Неравенство LaTeX formula: \left | x \right |< 0  не имеет решений, а решением неравенства  LaTeX formula: \left | x \right |\leq 0 является только число LaTeX formula: 0; неравенство LaTeX formula: \left | x \right |\leq a  также не имеет решений, если LaTeX formula: a отрицательное число; 
5. Решением неравенства  LaTeX formula: \left | x \right |\geq a , при условии, что LaTeX formula: a отрицательное число или число LaTeX formula: 0, является любое число, а решением неравенства LaTeX formula: \left | x \right |> 0  является любое число, за исключением числа LaTeX formula: 0

formula