Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
, (5.18)
(5.18.1)
, (5.19)
(5.19.1)
; (3.15)
; (3.16)
; (3.17)
; (3.18)
; (3.19)
; (3.20)
; (3.21)
; (3.22)
; (3.23)
; (3.24)
; (3.25)
. (3.26)
. (3.27)





.


Логарифмическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, например, уравнения вида:
где
.


Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид

то оно равносильно уравнению

при условии, что
и
.




2. Если уравнение имеет вид

то оно равносильно уравнению

при условии, что
и
.


3. Метод подстановки.
4. Использование монотонности функций.
Свойства логарифмов:












Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при
и
и
причем числа
и
отличны от нуля.





Основное логарифмическое тождество:

Свойства степеней:










Пример 1. Найдите квадрат десятичного логарифма суммы корней (или корня, если он единственный) уравнения
.

Решение. ОДЗ:
.

Имеем уравнение вида 5.18, которое равносильно уравнению 5.18.1. Тогда:

причем число
– посторонний корень уравнения. Тогда
.






Ответ:
.

Пример 2. Решите уравнение

Решение. ОДЗ: 

Так как имеем уравнение вида 5.19 , то исходное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению 5.19.1, то
или
, откуда
. Поскольку числа
и
не принадлежат области допустимых значений уравнения, то уравнение корней не имеет.





Ответ:
.

Пример 3. Решите уравнение
.

Решение. ОДЗ:
. Полагая
, запишем
и решим показательное уравнение
.




Учитывая подстановку, найдем корни исходного уравнения:
и
.


Ответ: 

Пример 4. Найдите среднее геометрическое корней уравнения
.

Решение. ОДЗ: 





В результате подстановки
получим:



Решим два уравнения: 1)
, откуда
;


2)
откуда
и
или
.




Учитывая подстановку, решим уравнения:
1)
;

2)
– посторонний корень;

3)
.


Найдем среднее геометрическое корней уравнения:
.

Ответ:
.

Пример 5. Решите систему уравнений 

Решение. ОДЗ: 

Запишем систему уравнений в виде 

Рассматриваемая система состоит из показательного и логарифмического уравнений и равносильна системе 

Выразим
из уравнения (1):
. Подставим полученное выражение в уравнение (2):
. Получили квадратное уравнение относительно
. Значит
, откуда
и
, откуда
.








Найдем
: 


Ответ:
.

Пример 6. Найдите произведение чисел
и
, если
– решение системы уравнений 




Решение. ОДЗ: 

Найдем разность левых и правых частей полученных уравнений: 

Тогда
, а
.


Найдем значение
из уравнения
. Получим:
откуда
.




Найдем произведение полученных значений
и
: ![xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} . LaTeX formula: xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} .](/uploads/formulas/bccd9be32a47dd844f48883904a4809b70c4e448.1.1.png)


![xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} . LaTeX formula: xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} .](/uploads/formulas/bccd9be32a47dd844f48883904a4809b70c4e448.1.1.png)
Ответ:
.
![\sqrt[7]{0,5} LaTeX formula: \sqrt[7]{0,5}](/uploads/formulas/924cda732c2d7ad0e912ad46ae0400a21bc83c45.1.1.png)
Пример 7. Найдите решения системы уравнений
при условии, что
.
![\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt[6]{x^{x+y}}=y^2,\\ \sqrt[3]{y^{x+y}}=x\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt[6]{x^{x+y}}=y^2,\\ \sqrt[3]{y^{x+y}}=x\\ \end{array} \right.](/uploads/formulas/7c81d1b4d5970cc7105f81c48b3a44bda3e179b0.1.1.png)

Решение. Применим определение логарифма и запишем систему уравнений в виде



Тогда
откуда
или
, а значит
или
.





Рассмотрим два случая.
1. Если
, то, подставляя значение
в любое уравнение исходной системы, например в уравнение
, найдем значение переменной
, решая показательно-степенное уравнение
:





1)
откуда
а
, тогда
;




2)
, тогда
.


2. Если
, то решим уравнение
. Так как
, то уравнение
корней не имеет, а случай
нами уже рассмотрен.





Ответ:
.

1. Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу
.

2. Значение логарифма может быть положительным числом, отрицательным числом и числом
.
