Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Логарифмическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, например, уравнения вида: LaTeX formula: log_{g(x)}f(x)=\phi (x), где LaTeX formula: f(x)>0, g(x)>0, g(x)\neq 1.
Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид
LaTeX formula: log_{a}f(x)=log_{a}g(x) , (5.18)
то оно равносильно уравнению 
LaTeX formula: f(x)=g(x) (5.18.1)
при условии, что LaTeX formula: a>0  и LaTeX formula: a\neq 1 LaTeX formula: ; LaTeX formula: f(x)>0 ; g(x)>0 . 
2. Если уравнение имеет вид
LaTeX formula: log_{a}f(x)=g(x) , (5.19)
то оно равносильно уравнению
LaTeX formula: f(x)=a^{g(x)} (5.19.1)
при условии, что  LaTeX formula: a>0 и LaTeX formula: a\neq 1 . 
3. Метод подстановки
4. Использование монотонности функций
Свойства логарифмов:
LaTeX formula: log_{a}a=1; (3.15)
LaTeX formula: log_{a}1=0 ; (3.16)
LaTeX formula: log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c ; (3.17)
LaTeX formula: log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c ; (3.18)
LaTeX formula: log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b; (3.19)
LaTeX formula: log_{a^{n}}b=\frac{1}{m}log_{a}b ; (3.20)
LaTeX formula: log_{a^{k}}b^k=log_{a}b ; (3.21)
LaTeX formula: log^k_{a}b^n=n^klog^k_{a}b ; (3.22)
LaTeX formula: log^k_{a^{m}}b=\frac{1}{m^k}log^k_{a}b ; (3.23)
LaTeX formula: log_{a}b=\frac{log_{d}b}{log_{d}a} ; (3.24)
LaTeX formula: log_{a}d=\frac{1}{log_{d}a} ; (3.25)
LaTeX formula: a^{log_{d}b}=b^{log_{d}a} . (3.26)
Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0 и LaTeX formula: a\neq 1, d>0,   и LaTeX formula: d\neq 1, b>0,c>0, причем числа LaTeX formula: m,n и LaTeX formula: kотличны от нуля. 
Основное логарифмическое тождество:
LaTeX formula: a^{log_{a}b}=b. (3.27)
Свойства степеней:
LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ; LaTeX formula: (1.11)
LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ; LaTeX formula: (1.12)
LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ; LaTeX formula: (1.13)
LaTeX formula: (ab)^n=a^nb^n ; LaTeX formula: (1.14)
LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n} . LaTeX formula: (1.15)

Пример 1. Найдите квадрат десятичного логарифма суммы корней (или корня, если он единственный) уравнения LaTeX formula: lg 8-lg\sqrt{x+6}=lg 16-lg(x-2).
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+6>0 & \\ x-2>0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>2 .
Согласно свойству 3.18 получим: LaTeX formula: lg\frac{8}{\sqrt{x+6}}=lg\frac{16}{x-2} .
Имеем уравнение вида 5.18, которое равносильно уравнению 5.18.1. Тогда:LaTeX formula: \frac{8}{\sqrt{x+6}}=\frac{16}{x-2}, \frac{1}{\sqrt{x+6}}=\frac{2}{x-2},2\sqrt{x+6}=x-2,LaTeX formula: \left (2\sqrt{x+6} \right )^2=\left (x-2 \right )^2,LaTeX formula: 4x+24=x^2-4x+4, x^2-8x-20=0, LaTeX formula: x_{1}=10, x_{2}=-2, причем число LaTeX formula: -2 – посторонний корень уравнения. Тогда LaTeX formula: lg^2 10=1 .
Ответ: LaTeX formula: 1 .
Пример 2. Решите уравнение
LaTeX formula: log_{3x-10}(10x^2-61x+94)=10^{lg_{0,1}0,5} .
Решение. ОДЗ:  LaTeX formula: \begin{cases} & \ 10x^2-61x+94>0, \\ & \ 3x-10 >0,\\ & \ 3x-10 \neq 1. \end{cases}
По формулам 3.21 и 3.27 выполним преобразования правой части уравнения: LaTeX formula: 10^{lg_{0,1}0,5} =10^{lg_{10^{-1}}2^{-1}}=10^{lg2}=2 .
Так как имеем уравнение вида 5.19 , то исходное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению 5.19.1, то LaTeX formula: 10x^{2}-61x+94=(3x-10)^{2}  или LaTeX formula: x^2-x-6=0 , откуда  LaTeX formula: x_{1}=-2, x_{2}=3  . Поскольку числа LaTeX formula: -2 и LaTeX formula: 3не принадлежат области допустимых значений уравнения, то уравнение корней не имеет.
Ответ: LaTeX formula: \varnothing .
Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: x^{lgx}=1000x^{-2} .
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: x>0 . Полагая LaTeX formula: lgx=a , запишем LaTeX formula: x=10^a  и решим показательное уравнение  LaTeX formula: (10^a)^a=10^3(10^a)^{-2}
Применяя свойства степеней 1.13 и 1.11, получим:  LaTeX formula: 10^{a^{2}}=10^3\cdot 10^{-2a},10^{a^{2}}=10^{3-2a}, откуда LaTeX formula: a^2=3-2a, a^2+2a-3=0, a_{1}=-3, a_{2}=1  .
Учитывая подстановку, найдем корни исходного уравнения: LaTeX formula: x_{1}=10^{-3}=0,001 и LaTeX formula: x_{2}=10^1=10 .
Ответ: LaTeX formula: 0,001; 10.
Пример 4. Найдите среднее геометрическое корней уравнения LaTeX formula: log_{3x}\frac{3}{x}+\frac{1}{log_{x}^{2}3}=log_{3}3 .
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x>0, x\neq 1,\\ 3x\neq 1 .\\ \end{array} \right.
Применим свойства логарифмов  3.18 3.253.153.243.17:
LaTeX formula: log_{3x}3-log_{3x}x+log_{3}^{2}x=1, \frac{log_{3}3}{log_{3}3x}-\frac{log_{3}x}{log_{3}3x}+log^{2}_{3}x=1, LaTeX formula: \frac{1}{log_{3}3+log_{3}x}-\frac{log_{3}x}{log_{3}3+log_{3}x}+log_{3}^{2}x=1,LaTeX formula: \frac{1}{1+log_{3}x}-\frac{log_{3}x}{1+log_{3}x}+log_{3}^{2}x=1, LaTeX formula: \frac{1-log_{3}x}{1+log_{3}x}+log^{2}_{3}x=1.
В результате подстановки LaTeX formula: log_{3}x=a  получим: 
LaTeX formula: \frac{1-a}{1+a}+a^2=1, \frac{1-a}{1+a}-(1-a)(1+a)=0, LaTeX formula: (1-a) \left (\frac{1}{1+a}-(1+a) \right )=0.
Решим два уравнения: 1) LaTeX formula: 1-a=0 , откуда LaTeX formula: a=1 ; 
2) LaTeX formula: \frac{1}{1+a}-(1+a) =0, откуда  LaTeX formula: (1+a)^2=1 и LaTeX formula: a=0  или LaTeX formula: a=-2 .
Учитывая подстановку, решим уравнения:
1) LaTeX formula: log_{3}x=1, x=3  ;
2) LaTeX formula: log_{3}x=0, x=1  – посторонний корень;
3) LaTeX formula: log_{3}x=-2, LaTeX formula: x=\frac{1}{9} .
Найдем среднее геометрическое корней уравнения: LaTeX formula: \sqrt{3\cdot \frac{1}{9}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}}{3} .
Пример 5. Решите систему уравнений  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=10^{\frac{1}{log_{81}10}}, & \\ lg\sqrt{xy}=1+lg3. & \end{matrix}\right.
Решение. ОДЗ:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x>0, & \\ y>0. & \end{matrix}\right.
Запишем систему уравнений в виде  LaTeX formula: \begin{cases} & \ 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^4, \\ & \ lg\sqrt{xy}=lg10+lg3. \end{cases}
Рассматриваемая система состоит из показательного и логарифмического уравнений и равносильна системе    LaTeX formula: \begin{cases} & \ 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, (1) \\ & \ \sqrt{xy}=30.(2) \end{cases}
Выразим  LaTeX formula: \sqrt{y} из уравнения (1): LaTeX formula: \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4 . Подставим полученное выражение в уравнение (2):  LaTeX formula: \sqrt{x}(2\sqrt{x}-4)=30, 2x-4\sqrt{x}=30,x-2\sqrt{x}-15=0  . Получили квадратное уравнение относительно LaTeX formula: \sqrt{x}. Значит LaTeX formula: \sqrt{x_{1}}=5 , откуда  LaTeX formula: x=25 и LaTeX formula: \sqrt{x_{2}}=-3 , откуда  LaTeX formula: x\in \varnothing.
Найдем LaTeX formula: y :  LaTeX formula: \sqrt{y}=2\cdot 5-4,\sqrt{y}=6,y=36.
Ответ: LaTeX formula: (25;36) .
Пример 6. Найдите произведение чисел LaTeX formula: x и LaTeX formula: y, если LaTeX formula: (x;y) – решение системы уравнений  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} log_{2}x^2y^3=log_{x}x,\\ log_{2}\frac{x}{y^2}=log_{y}y^{-4}. \end{matrix}\right.
Решение. ОДЗ:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x>0,x\neq 1,\\ y>0,y\neq 1. \end{matrix}\right.
По формулам 3.17,3.19,3.15 преобразуем первое уравнение системы: LaTeX formula: log_{2}x^2+log_{2}y^3=1, 2log_{2}x+3log_{2} y=1.
По формулам 3.183.193.15 преобразуем второе уравнение системы: LaTeX formula: log_{2}x-log_{2}y^2=-4, log_{2}x-2log_{2}y=-4, 2log_{2}x-4log_{2}y=-8.
Найдем разность левых и правых частей полученных уравнений: LaTeX formula: 7log_{2}y=9.
Тогда  LaTeX formula: log_{2}y=\frac{9}{7}, а LaTeX formula: y=2^{\frac{9}{7}} . 
Найдем значение LaTeX formula: x  из уравнения LaTeX formula: log_{2}x-2log_{2}y=-4 . Получим:  LaTeX formula: log_{2}x=-4+\frac{18}{7},log_{2}x=-\frac{10}{7}, откуда LaTeX formula: x=2^{-\frac{10}{7}} . 
Найдем произведение полученных значений LaTeX formula: x и LaTeX formula: yLaTeX formula: xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} .
Ответ: LaTeX formula: \sqrt[7]{0,5} .
Пример 7. Найдите решения системы уравнений LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt[6]{x^{x+y}}=y^2,\\ \sqrt[3]{y^{x+y}}=x\\ \end{array} \right.  при условии, что  LaTeX formula: y>0.
Решение. Применим определение логарифма и запишем систему уравнений в виде   LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{6}=log_{x}y^2,\\ \frac{x+y}{3}=log_{y}x; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=12log_{x}y,\\ x+y=\frac{3}{log_{x}y}.\\ \end{array} \right.
Тогда  LaTeX formula: 12log_{x}y=\frac{3}{log_{x}y},12log^2_{x}y=3,log^2_{x}y=\frac{1}{4}, откуда  LaTeX formula: log_{x}y=\frac{1}{2} или LaTeX formula: log_{x}y=-\frac{1}{2} , а значит  LaTeX formula: y=\sqrt{x} или LaTeX formula: y=\frac{1}{\sqrt{x}}.
Рассмотрим два случая.
1. Если LaTeX formula: y=\sqrt{x} , то, подставляя значение LaTeX formula: y в любое уравнение исходной системы, например в уравнение LaTeX formula: x^{x+y}=y^{12}, найдем значение переменной LaTeX formula: x, решая показательно-степенное уравнение LaTeX formula: x^{x+\sqrt{x}}=x^6 : 
1) LaTeX formula: x+\sqrt{x}=6, x+\sqrt{x}-6=0, откуда LaTeX formula: \sqrt{x}=2, а LaTeX formula: x=4 , тогда  LaTeX formula: y=2
2)  LaTeX formula: x=1, тогда LaTeX formula: y=1 .
2. Если  LaTeX formula: y=\frac{1}{\sqrt{x}}, то решим уравнение  LaTeX formula: x^{x+\frac{1}{\sqrt{x}}}=x^{-6}. Так как LaTeX formula: x>0 , то уравнение  LaTeX formula: x+\frac{1}{\sqrt{x}}=-6 корней не имеет, а случай LaTeX formula: x=1  нами уже рассмотрен.
Ответ: LaTeX formula: (4;2),(1;1).
1. Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу LaTeX formula: 1.
2. Значение логарифма может быть положительным числом, отрицательным числом и числом LaTeX formula: 0.
formula