Логарифмические уравнения /qualihelpy

Логарифмические уравнения

Справочник / Школьник / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Логарифмическими называют уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма, например, уравнения вида: $LaTeX formula: log_{g(x)}f(x)=\phi (x),$ где $LaTeX formula: f(x)>0, g(x)>0, g(x)\neq 1$ .

Методы решений уравнений

1. Если уравнение имеет вид

$LaTeX formula: log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$ , (5.18)

то оно равносильно уравнению

(5.18.1)

при условии, что LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ LaTeX formula: ;

2. Если уравнение имеет вид

$LaTeX formula: log_{a}f(x)=g(x)$ , (5.19)

то оно равносильно уравнению

$LaTeX formula: f(x)=a^{g(x)}$ (5.19.1)

при условии, что LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ .

3. Метод подстановки.

4. Использование монотонности функций.

Свойства логарифмов:

$LaTeX formula: log_{a}a=1$ ; (3.15)

$LaTeX formula: log_{a}1=0$ ; (3.16)

$LaTeX formula: log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$ ; (3.17)

$LaTeX formula: log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$ ; (3.18)

$LaTeX formula: log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b$ ; (3.19)

$LaTeX formula: log_{a^{n}}b=\frac{1}{m}log_{a}b$ ; (3.20)

$LaTeX formula: log_{a^{k}}b^k=log_{a}b$ ; (3.21)

$LaTeX formula: log^k_{a}b^n=n^klog^k_{a}b$ ; (3.22)

$LaTeX formula: log^k_{a^{m}}b=\frac{1}{m^k}log^k_{a}b$ ; (3.23)

$LaTeX formula: log_{a}b=\frac{log_{d}b}{log_{d}a}$ ; (3.24)

$LaTeX formula: log_{a}d=\frac{1}{log_{d}a}$ ; (3.25)

$LaTeX formula: a^{log_{d}b}=b^{log_{d}a}$ . (3.26)

Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1, d>0,$ и $LaTeX formula: d\neq 1, b>0,c>0,$ причем числа LaTeX formula: m,n

отличны от нуля.

Основное логарифмическое тождество:

$LaTeX formula: a^{log_{a}b}=b$ . (3.27)

Свойства степеней:

$LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ;$ LaTeX formula: (1.11)

$LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ;$ LaTeX formula: (1.12)

$LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ;$ LaTeX formula: (1.13)

$LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n} .$ LaTeX formula: (1.15)

Пример 1. Найдите квадрат десятичного логарифма суммы корней (или корня, если он единственный) уравнения $LaTeX formula: lg 8-lg\sqrt{x+6}=lg 16-lg(x-2)$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+6>0 & \\ x-2>0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>2$ .

Согласно свойству 3.18 получим: $LaTeX formula: lg\frac{8}{\sqrt{x+6}}=lg\frac{16}{x-2}$ .

Имеем уравнение вида 5.18, которое равносильно уравнению 5.18.1. Тогда: $LaTeX formula: \frac{8}{\sqrt{x+6}}=\frac{16}{x-2}, \frac{1}{\sqrt{x+6}}=\frac{2}{x-2},2\sqrt{x+6}=x-2,$ $LaTeX formula: \left (2\sqrt{x+6} \right )^2=\left (x-2 \right )^2,$ LaTeX formula: 4x+24=x^2-4x+4, x^2-8x-20=0,

LaTeX formula: 4x+24=x^2-4x+4, x^2-8x-20=0,

$LaTeX formula: x_{1}=10, x_{2}=-2,$ причем число LaTeX formula: -2

– посторонний корень уравнения. Тогда LaTeX formula: lg^2 10=1

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение

$LaTeX formula: log_{3x-10}(10x^2-61x+94)=10^{lg_{0,1}0,5}$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \begin{cases} & \ 10x^2-61x+94>0, \\ & \ 3x-10 >0,\\ & \ 3x-10 \neq 1. \end{cases}$

По формулам 3.21 и 3.27 выполним преобразования правой части уравнения: $LaTeX formula: 10^{lg_{0,1}0,5} =10^{lg_{10^{-1}}2^{-1}}=10^{lg2}=2$ .

Так как имеем уравнение вида 5.19 , то исходное уравнение на ОДЗ равносильно уравнению 5.19.1, то $LaTeX formula: 10x^{2}-61x+94=(3x-10)^{2}$ или LaTeX formula: x^2-x-6=0

, откуда $LaTeX formula: x_{1}=-2, x_{2}=3$ . Поскольку числа LaTeX formula: -2

не принадлежат области допустимых значений уравнения, то уравнение корней не имеет.

Ответ: $LaTeX formula: \varnothing$ .

Пример 3. Решите уравнение $LaTeX formula: x^{lgx}=1000x^{-2}$ .

Решение. ОДЗ: LaTeX formula: x>0

. Полагая

, запишем

и решим показательное уравнение $LaTeX formula: (10^a)^a=10^3(10^a)^{-2}$ .

Применяя свойства степеней 1.13 и 1.11, получим: $LaTeX formula: 10^{a^{2}}=10^3\cdot 10^{-2a},10^{a^{2}}=10^{3-2a},$ откуда $LaTeX formula: a^2=3-2a, a^2+2a-3=0, a_{1}=-3, a_{2}=1$ .

Учитывая подстановку, найдем корни исходного уравнения: $LaTeX formula: x_{1}=10^{-3}=0,001$ и $LaTeX formula: x_{2}=10^1=10$ .

Ответ:

Пример 4. Найдите среднее геометрическое корней уравнения $LaTeX formula: log_{3x}\frac{3}{x}+\frac{1}{log_{x}^{2}3}=log_{3}3$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x>0, x\neq 1,\\ 3x\neq 1 .\\ \end{array} \right.$

Применим свойства логарифмов 3.18, 3.25, 3.15, 3.24, 3.17:

$LaTeX formula: log_{3x}3-log_{3x}x+log_{3}^{2}x=1, \frac{log_{3}3}{log_{3}3x}-\frac{log_{3}x}{log_{3}3x}+log^{2}_{3}x=1,$ $LaTeX formula: \frac{1}{log_{3}3+log_{3}x}-\frac{log_{3}x}{log_{3}3+log_{3}x}+log_{3}^{2}x=1,$ $LaTeX formula: \frac{1}{1+log_{3}x}-\frac{log_{3}x}{1+log_{3}x}+log_{3}^{2}x=1,$ $LaTeX formula: \frac{1-log_{3}x}{1+log_{3}x}+log^{2}_{3}x=1.$

В результате подстановки $LaTeX formula: log_{3}x=a$ получим:

$LaTeX formula: \frac{1-a}{1+a}+a^2=1, \frac{1-a}{1+a}-(1-a)(1+a)=0,$ $LaTeX formula: (1-a) \left (\frac{1}{1+a}-(1+a) \right )=0.$

Решим два уравнения: 1) LaTeX formula: 1-a=0

, откуда

;

2) $LaTeX formula: \frac{1}{1+a}-(1+a) =0,$ откуда LaTeX formula: (1+a)^2=1

или

Учитывая подстановку, решим уравнения:

1) $LaTeX formula: log_{3}x=1, x=3$ ;

2) $LaTeX formula: log_{3}x=0, x=1$ – посторонний корень;

3) $LaTeX formula: log_{3}x=-2,$ $LaTeX formula: x=\frac{1}{9}$ .

Найдем среднее геометрическое корней уравнения: $LaTeX formula: \sqrt{3\cdot \frac{1}{9}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Пример 5. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=10^{\frac{1}{log_{81}10}}, & \\ lg\sqrt{xy}=1+lg3. & \end{matrix}\right.$

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x>0, & \\ y>0. & \end{matrix}\right.$

Запишем систему уравнений в виде $LaTeX formula: \begin{cases} & \ 3^{2\sqrt{x}-\sqrt{y}}=3^4, \\ & \ lg\sqrt{xy}=lg10+lg3. \end{cases}$

Рассматриваемая система состоит из показательного и логарифмического уравнений и равносильна системе $LaTeX formula: \begin{cases} & \ 2\sqrt{x}-\sqrt{y}=4, (1) \\ & \ \sqrt{xy}=30.(2) \end{cases}$

Выразим $LaTeX formula: \sqrt{y}$ из уравнения (1): $LaTeX formula: \sqrt{y}=2\sqrt{x}-4$ . Подставим полученное выражение в уравнение (2): $LaTeX formula: \sqrt{x}(2\sqrt{x}-4)=30, 2x-4\sqrt{x}=30,x-2\sqrt{x}-15=0$ . Получили квадратное уравнение относительно $LaTeX formula: \sqrt{x}$ . Значит $LaTeX formula: \sqrt{x_{1}}=5$ , откуда LaTeX formula: x=25

и $LaTeX formula: \sqrt{x_{2}}=-3$ , откуда $LaTeX formula: x\in \varnothing$ .

Найдем

: $LaTeX formula: \sqrt{y}=2\cdot 5-4,\sqrt{y}=6,y=36.$

Ответ:

Пример 6. Найдите произведение чисел LaTeX formula: x

, если

– решение системы уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} log_{2}x^2y^3=log_{x}x,\\ log_{2}\frac{x}{y^2}=log_{y}y^{-4}. \end{matrix}\right.$

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x>0,x\neq 1,\\ y>0,y\neq 1. \end{matrix}\right.$

По формулам 3.17,3.19,, 3.15 преобразуем первое уравнение системы: $LaTeX formula: log_{2}x^2+log_{2}y^3=1, 2log_{2}x+3log_{2} y=1.$

По формулам 3.18, 3.19, 3.15 преобразуем второе уравнение системы: $LaTeX formula: log_{2}x-log_{2}y^2=-4, log_{2}x-2log_{2}y=-4, 2log_{2}x-4log_{2}y=-8.$

Найдем разность левых и правых частей полученных уравнений: $LaTeX formula: 7log_{2}y=9.$

Тогда $LaTeX formula: log_{2}y=\frac{9}{7}$ , а $LaTeX formula: y=2^{\frac{9}{7}}$ .

Найдем значение LaTeX formula: x

из уравнения $LaTeX formula: log_{2}x-2log_{2}y=-4$ . Получим: $LaTeX formula: log_{2}x=-4+\frac{18}{7},log_{2}x=-\frac{10}{7},$ откуда $LaTeX formula: x=2^{-\frac{10}{7}}$ .

Найдем произведение полученных значений LaTeX formula: x

: $LaTeX formula: xy=2^{-\frac{10}{7}}\cdot 2^{\frac{9}{7}}=2^{-\frac{1}{7}}=\sqrt[7]{0,5} .$

Ответ: $LaTeX formula: \sqrt[7]{0,5}$ .

Пример 7. Найдите решения системы уравнений $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt[6]{x^{x+y}}=y^2,\\ \sqrt[3]{y^{x+y}}=x\\ \end{array} \right.$ при условии, что LaTeX formula: y>0

Решение. Применим определение логарифма и запишем систему уравнений в виде $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{x+y}{6}=log_{x}y^2,\\ \frac{x+y}{3}=log_{y}x; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=12log_{x}y,\\ x+y=\frac{3}{log_{x}y}.\\ \end{array} \right.$

Тогда $LaTeX formula: 12log_{x}y=\frac{3}{log_{x}y},12log^2_{x}y=3,log^2_{x}y=\frac{1}{4},$ откуда $LaTeX formula: log_{x}y=\frac{1}{2}$ или $LaTeX formula: log_{x}y=-\frac{1}{2}$ , а значит $LaTeX formula: y=\sqrt{x}$ или $LaTeX formula: y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ .

Рассмотрим два случая.

1. Если $LaTeX formula: y=\sqrt{x}$ , то, подставляя значение

в любое уравнение исходной системы, например в уравнение $LaTeX formula: x^{x+y}=y^{12}$ , найдем значение переменной

, решая показательно-степенное уравнение $LaTeX formula: x^{x+\sqrt{x}}=x^6$ :

1) $LaTeX formula: x+\sqrt{x}=6, x+\sqrt{x}-6=0,$ откуда $LaTeX formula: \sqrt{x}=2,$ а LaTeX formula: x=4

, тогда

;

, тогда

2. Если $LaTeX formula: y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ , то решим уравнение $LaTeX formula: x^{x+\frac{1}{\sqrt{x}}}=x^{-6}$ . Так как LaTeX formula: x>0

, то уравнение $LaTeX formula: x+\frac{1}{\sqrt{x}}=-6$ корней не имеет, а случай LaTeX formula: x=1

нами уже рассмотрен.

Ответ:

1. Аргумент логарифмической функции всегда положительный, а ее основание положительное и к тому же не равно числу LaTeX formula: 1

2. Значение логарифма может быть положительным числом, отрицательным числом и числом LaTeX formula: 0

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_логарифмические_уравнения