Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Показательными называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени, то есть уравнения вида LaTeX formula: a^{f(x)}=b^{g(x)}  , где LaTeX formula: a\in R и LaTeX formula: b\in R, причем, LaTeX formula: a>0, a\neq 1   и LaTeX formula: b>0 , LaTeX formula: b\neq 1 . 
Если же LaTeX formula: a=1 , то уравнение  LaTeX formula: a^{f(x)}=a^{g(x)} примет вид  LaTeX formula: 1=1, а его решением является любое из чисел, принадлежащих области определения данного уравнения. 
Например: 1) решение уравнения LaTeX formula: 1^{\sqrt{2x-3}}=1^{x^{3}}  образуют все числа, удовлетворяющие условию LaTeX formula: 2x-3\geq 0 ; 
2) решением уравнения LaTeX formula: 1^{2x-3}=1^{x^{3}} является любое действительное число.
Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид
LaTeX formula: a^{f(x)}=a^{g(x)} , (5.16)
то при условии, что LaTeX formula: a>0  и  LaTeX formula: a\neq 1, оно равносильно уравнению
LaTeX formula: f(x)=g(x). (5.16.1)
2. Если уравнение имеет вид
 LaTeX formula: a^{f(x)}=b , (5.17)
то оно равносильно уравнению
 LaTeX formula: f(x)=log_{a}b . (5.17.1)
3. Метод подстановки.
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, при условии, что LaTeX formula: a\neq 0  и LaTeX formula: b\neq 0 , справедливы равенства: 
LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^n} ; (1.9)
LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^{-n}=\left (\frac{b}{a} \right )^n . (1.10)
Свойства степеней:
 LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ; (1.11)
 LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ; (1.12)
 LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ; (1.13) 
LaTeX formula: (ab)^n=a^nb^n  ; (1.14)
LaTeX formula: \left (\frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}  . (1.15)

Пример 1. Найдите сумму корней уравнения LaTeX formula: 0,5 \left (\sqrt{2}\right )^{2x+4} \cdot 3^{x+1}=36\cdot \left (\sqrt{6} \right )^{\frac{2x+6}{x}} .
Решение. Применяя свойства степеней 1.13 , 1.11 и 1.14 получим:

 LaTeX formula: 2^{-1}\cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot (2x+4)} \cdot 3^x\cdot 3=36\cdot 6^{\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+6}{x} },

LaTeX formula: 2^x\cdot 2\cdot 3^x\cdot 3=36\cdot 6^{\frac{x+3}{x}},

LaTeX formula: 2^x\cdot 3^x=6\cdot 6^{\frac{x+3}{x}} ,6^x= 6^{\frac{x+3}{x}+1}.
Имеем уравнение вида 5.16, которое равносильно уравнению 5.16.1. Тогда:

 LaTeX formula: x={\frac{x+3}{x}+1}, x^2=x+3+x  или LaTeX formula: x^2-2x-3=0 , откуда LaTeX formula: x_{1}=-1, x_{2}=3  . Найдем сумму корней уравнения: LaTeX formula: -1+3=2 .

Ответ: LaTeX formula: 2.


Пример 2. Решите уравнение  LaTeX formula: (2^3)^{\frac{x-3}{3x-7}} LaTeX formula: \sqrt[3]{\sqrt{0,25^{\frac{3x-1}{x-1}}}} =(-1,0(3))^0. 

Решение. Представим числа LaTeX formula: 0,25 и LaTeX formula: (-1,0(3))^0  в виде степеней числа LaTeX formula: 2:  
LaTeX formula: 0,25=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}, LaTeX formula: (-1,0(3))^0 =1=2^0.
Применяя свойства 1.13 и 1.11, получим:
LaTeX formula: (2^3)^{\frac{x-3}{3x-7}}\cdot 2^{-2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3x-1}{x-1}}=2^0, LaTeX formula: 2^{\frac{3\cdot (x-3)}{3x-7}}\cdot 2^{-\frac{3x-1}{3\cdot (x-1)}}=2^0,2^{\frac{3x-9}{3x-7}-{\frac{3x-1}{3x-3}}}=2^0.
Имеем уравнение вида 5.16, которое равносильно уравнению 5.16.1. Следовательно:
LaTeX formula: \frac{3x-9}{3x-7}-{\frac{3x-1}{3x-3}}=0, \frac{3x-9}{3x-7}={\frac{3x-1}{3x-3}}, LaTeX formula: (3x-9)(3x-3)=(3x-7)(3x-1), LaTeX formula: 9x^2-36x+27=9x^2-24x+7, LaTeX formula: 12x=20, откуда LaTeX formula: x=\frac{20}{12}=\frac{5}{3} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{5}{3} .
Пример 3. Решите уравнение
LaTeX formula: 2\cdot 5^{x+6}-2\cdot 3^{x+7}-86\cdot 5^{x+4}+38\cdot 3^{x+5}=0 .
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 5^{x+6}-43\cdot 5^{x+4}=3^{x+7}-19\cdot 3^{x+5}.
В левой и правой части уравнения вынесем степени с показателем LaTeX formula: x+4 . Получим:  
LaTeX formula: 5^{x+4}(5^2-43)=3^{x+4}(3^3-19\cdot 3^1), 5^{x+4}(-18)=3^{x+4}(-30),LaTeX formula: 3\cdot 5^{x+4}=5\cdot 3^{x+4} .
Разделим обе части уравнения на LaTeX formula: 3 и на LaTeX formula: 3^{x+4}
LaTeX formula: \frac{3\cdot 5^{x+4}}{3\cdot 3^{x+4}}=\frac{5\cdot 3^{x+4}}{3\cdot 3^{x+4}}, \frac{5^{x+4}}{ 3^{x+4}}=\frac{5}{3}. 
По свойству степеней 1.15 запишем LaTeX formula: \left (\frac{5}{3} \right )^{x+4}=\left (\frac{5}{3} \right )^1 , откуда  LaTeX formula: x+4=1, x=-3  .
Ответ: LaTeX formula: -3.
Пример 4. Найдите удвоенное произведение корней уравнения LaTeX formula: 2^{2\sqrt{x+5}}+2^2=2^{\sqrt{{x+5}}+2}+2^{\sqrt{{x+5}} } .
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: x+5\geq 0 .
Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 2^{2\sqrt{x+5}}+4=2^{\sqrt{{x+5}}}\cdot 2^2+2^{\sqrt{{x+5}} }  и применим подстановку  LaTeX formula: 2^{\sqrt{{x+5}} }=a>0. Тогда исходное уравнение примет вид LaTeX formula: a^2+4=4a+a . 
Решив квадратное уравнение  LaTeX formula: a^2-5a+4=0 , получим  LaTeX formula: a_{1}=4, a_{2}=1  . Этим значениям LaTeX formula: a соответствуют два уравнения: 
1)  LaTeX formula: 2^{\sqrt{{x+5}} } =4, 2^{\sqrt{{x+5}} } =2^2, \sqrt{x+5}=2, x+5=4, x=-1;
2)  LaTeX formula: 2^{\sqrt{{x+5}} } =1,2^{\sqrt{{x+5}} } =2^0,\sqrt{{x+5}} =0,x+5=0,x=-5.
Поскольку числа LaTeX formula: -5 и LaTeX formula: -1 принадлежат ОДЗ уравнения, то найдем удвоенное произведение полученных корней уравнения: LaTeX formula: 2\cdot (-1)\cdot (-5)=10 .
Ответ: LaTeX formula: 10 .
Пример 5. Найдите модуль разности корней уравнения LaTeX formula: 9\cdot 3^{2x}-13\cdot 6^x+2^{2x+2}=0 .
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: 9\cdot 9^{x}+4\cdot 4^{x}=13\cdot 6^{x} , разделим обе его части на LaTeX formula: 6^x\neq 0  и применим свойство 1.15 :
LaTeX formula: \frac{9^x\cdot 9}{6^x}+\frac{4x\cdot 4}{6^x}=\frac{13\cdot 6^x}{6^x}, LaTeX formula: 9\cdot \left ( \frac{9}{6}\right )^x+4\cdot \left ( \frac{4}{6}\right )^x=9\cdot \left ( \frac{3}{2}\right )^x+4\cdot \left ( \frac{2}{3}\right )^x=13.
В результате подстановки LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=a>0  уравнение примет вид  LaTeX formula: 9a+\frac{4}{a}=13, 9a^2-13a+4=0, откуда LaTeX formula: a_{1}=\frac{4}{9}, a_{2}=1.  
Учитывая подстановку LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=a, решим два уравнения: 
1)  LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=\frac{4}{9}, \left (\frac{3}{2} \right )^x= \left (\frac{3}{2} \right )^{-2} откуда  LaTeX formula: x=-2
2)  LaTeX formula: \left (\frac{3}{2} \right )^x=1, \left (\frac{3}{2} \right )^x= \left (\frac{3}{2} \right )^0, откуда LaTeX formula: x=0  .
Найдем модуль разности корней уравнения: LaTeX formula: \left | -2-0 \right |=2  .
Ответ: LaTeX formula: 2 .
Пример 6. Найдите значение LaTeX formula: 1,5^a , если LaTeX formula: \frac{0,4\cdot3^{2a+1} -0,2\cdot 6^a-3\cdot 4^a}{5,4\cdot9^{a-1} +0,2\cdot 6^a- 2^{2a+1}} =1,6 .
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: \frac{(0,4\cdot3^{2a+1} -0,2\cdot 6^a-3\cdot 4^a)\cdot 5}{(5,4\cdot9^{a-1} +0,2\cdot 6^a- 2^{2a+1}) \cdot 5} =\frac{16}{10} , LaTeX formula: \frac{2\cdot 3^{2a+1}-6^a-15\cdot 4^a}{27\cdot 9^{a-1}+6^a-5\cdot 2^{2a+1}}=\frac{8}{5}
По свойствам степеней 1.111.121.131.14 выполним преобразования: 
1) LaTeX formula: 3^{2a+1}=3\cdot 3^{2a} ; 2) LaTeX formula: 4^a=2^{2a} ; 3) LaTeX formula: 9^{a-1}=\frac{9^a}{9}=\frac{1}{9}\cdot 3^{2a} ;  4) LaTeX formula: 6^a=2^a\cdot 3^a ; 5) LaTeX formula: 2^{2a+1}=2\cdot 2^{2a} . 
Исходное уравнение примет вид: LaTeX formula: \frac{2\cdot 3\cdot 3^{2a}-2^a\cdot 3^a-15\cdot 2^{2a}}{27\cdot \frac{1}{9}\cdot 3^{2a}+2^a\cdot 3^a-5\cdot 2\cdot 2^{2a}}=\frac{8}{5}, \frac{6\cdot 3^{2a}-2^a\cdot 3^a-15\cdot 2^{2a}}{3\cdot 3^{2a}+2^a\cdot 3^a-10\cdot 2^{2a}}=\frac{8}{5}.
Разделим числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части уравнения, на LaTeX formula: 2^{2a} и выполним дальнейшие преобразования, применяя свойство 1.15 
LaTeX formula: \frac{6\cdot \frac{3^{2a}}{2^{2a}}-\frac{2^a\cdot 3^a}{2^{2a}}-15\cdot \frac{2^{2a}}{2^{2a}}}{3\cdot \frac{3^{2a}}{2^{2a}}+\frac{2^a\cdot 3^a}{2^{2a}}-10\cdot \frac{2^{2a}}{2^{2a}}} =\frac{8}{5}, LaTeX formula: \frac{6\cdot (1,5)^{2a} -(1,5)^a-15}{3\cdot (1,5)^{2a} +(1,5)^a-10}=\frac{8}{5}
Полагая LaTeX formula: (1,5)^{a}=x , последнее уравнение запишем в виде LaTeX formula: \frac{6x^2-x-15}{3x^2+x-10}=\frac{8}{5} . 
Поскольку знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то LaTeX formula: 3x^2+x-10\neq 0  и LaTeX formula: x_{1}\neq -2, а LaTeX formula: x_{1}\neq \frac{5}{3} .
Применим основное свойство пропорции и получим: LaTeX formula: 30x^2-5x-75=24x^2+8x-80, 6x^2-13x+5=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=\frac{1}{2}, x_{2}=\frac{5}{3} . Так как LaTeX formula: x_{2}=\frac{5}{3}  – посторонний корень уравнения, то LaTeX formula: (1,5)^a=0,5 .
Ответ: LaTeX formula: 0,5.
Пример 7. Решите уравнение  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x+\left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=12.
Решение. Пусть LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=a , тогда  LaTeX formula: \left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=\frac{1}{a}, поскольку в результате умножения левых и правых частей этих равенств получим: 
LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x \left (\sqrt{6-\sqrt{35}} \right )^x=a\cdot \frac{1}{a}, LaTeX formula: \left ( \sqrt{{\left (6+\sqrt{35} \right )} {\left (6-\sqrt{35} \right )} \right )} \right )^x=1, \left (\sqrt{36-35} \right )^x=1, 1^x=1, 1=1.
Рассмотрим уравнение LaTeX formula: a+\frac{1}{a}=12  или LaTeX formula: a^2-12a+1=0 , откуда  LaTeX formula: D=12^2-4=4(36-1)=4\cdot 35, a_{1,2}=\frac{12\pm 2\sqrt{35}}{2}=6\pm \sqrt{35}  .
Учитывая подстановку LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=a , решим уравнения: 
1)  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x=LaTeX formula: 6+\sqrt{35} , LaTeX formula: \left (6+ \sqrt{35} \right )^{\frac{x}{2}}=\left (6+ \sqrt{35} \right )^1, откуда LaTeX formula: \frac{x}{2}=1, x=2 ; 
2)  LaTeX formula: \left (\sqrt{6+\sqrt{35}} \right )^x= 6-\sqrt{35} , откуда LaTeX formula: \left (6+ \sqrt{35} \right )^{\frac{x}{2}}=\left (6+ \sqrt{35} \right )^{-1},  LaTeX formula: \frac{x}{2}=-1, x=-2 .
Ответ: LaTeX formula: -2; 2 .
Пример 8. Найдите число корней уравнения  LaTeX formula: \left | 1-x \right |^{x^{2}-5x-3}=\left | x-1 \right |^{-7x}.
Решение. Поскольку  LaTeX formula: \left | 1-x \right |=\left | x-1 \right |, то имеем уравнение вида  LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=(f(x))^{\phi (x)}.
Решим три уравнения:
1)  LaTeX formula: x^{2}-5x-3=-7xLaTeX formula: x^{2}+2x-3=0 , откуда  LaTeX formula: x_{1}=-3,  LaTeX formula: x_{2}=1
2)  LaTeX formula: \left | x-1 \right |=1, откуда  LaTeX formula: x-1=1, тогда  LaTeX formula: x=2 или  LaTeX formula: x-1=-1, тогда  LaTeX formula: x=0;
3)  LaTeX formula: \left | x-1 \right |=0, откуда  LaTeX formula: x=1. Выполним проверку: подставим значение LaTeX formula: x=1  в исходное уравнение и получим  LaTeX formula: 0^{1-5-3}=0^{-7}. Так как имеем неопределенность вида  LaTeX formula: 0^{-n}, то число LaTeX formula: 1 не является корнем исходного уравнения.
Уравнение  LaTeX formula: \left | 1-x \right |^{x^{2}-5x-3}=\left | x-1 \right |^{-7x} имеет три корня: LaTeX formula: -3;  LaTeX formula: 0 и LaTeX formula: 2.
Ответ: LaTeX formula: 3.

Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \left (f(x) \right )^{g(x)}=\left (f(x) \right )^{\phi (x)} , то его решение образуют корни уравнений: 
1)  LaTeX formula: g(x)=\phi (x) при LaTeX formula: f(x)>0  и LaTeX formula: f(x)\neq 1 ; 
2) LaTeX formula: f(x)= 1 ; 
3) LaTeX formula: f(x)=0 . 
Заметим, что необходимо выполнить проверку корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0 , так как, подставив полученные числа в уравнение  LaTeX formula: \left (f(x) \right )^{g(x)}=\left (f(x) \right )^{\phi (x)}, можем получить неопределенность вида  LaTeX formula: 0^0 или LaTeX formula: 0^{-n}=\frac{1}{0} . 
Случай, когда LaTeX formula: f(x)<0 , нами не рассматривается. 

formula