Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Пример 1. Найдите сумму корней уравнения
Показательными называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени, то есть уравнения вида , где и , причем, и , .
Если же , то уравнение примет вид , а его решением является любое из чисел, принадлежащих области определения данного уравнения.
Например: 1) решение уравнения образуют все числа, удовлетворяющие условию ;
2) решением уравнения является любое действительное число.
Методы решений уравнений
1. Если уравнение имеет вид
, (5.16)
то при условии, что и , оно равносильно уравнению
. (5.16.1)
2. Если уравнение имеет вид
, (5.17)
то оно равносильно уравнению
. (5.17.1)
3. Метод подстановки.
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел и , при условии, что и , справедливы равенства:
; (1.9)
. (1.10)
Свойства степеней:
; (1.11)
; (1.12)
; (1.13)
; (1.14)
. (1.15)
Пример 1. Найдите сумму корней уравнения
Решение. Применяя свойства степеней 1.13 , 1.11 и 1.14 получим:
Имеем уравнение вида 5.16, которое равносильно уравнению 5.16.1. Тогда:
или , откуда . Найдем сумму корней уравнения: .
Ответ: .
Пример 2. Решите уравнение
Решение. Представим числа и в виде степеней числа
откуда .
Ответ: .
Пример 3. Решите уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде .
В левой и правой части уравнения вынесем степени с показателем . Получим:
.
Разделим обе части уравнения на и на :
Ответ: .
Пример 4. Найдите удвоенное произведение корней уравнения .
Решение. ОДЗ: .
Запишем уравнение в виде и применим подстановку . Тогда исходное уравнение примет вид .
Решив квадратное уравнение , получим . Этим значениям соответствуют два уравнения:
1)
2)
Поскольку числа и принадлежат ОДЗ уравнения, то найдем удвоенное произведение полученных корней уравнения: .
Ответ: .
Пример 5. Найдите модуль разности корней уравнения .
Решение. Запишем уравнение в виде , разделим обе его части на и применим свойство 1.15 :
.
В результате подстановки уравнение примет вид откуда
Учитывая подстановку , решим два уравнения:
1) откуда ;
2) откуда .
Найдем модуль разности корней уравнения: .
Ответ: .
Пример 6. Найдите значение , если .
Решение. Запишем уравнение в виде , .
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
Исходное уравнение примет вид:
Разделим числитель и знаменатель дроби, записанной в левой части уравнения, на и выполним дальнейшие преобразования, применяя свойство 1.15 :
Полагая , последнее уравнение запишем в виде .
Поскольку знаменатель дроби не должен обращаться в нуль, то и а .
Применим основное свойство пропорции и получим: откуда . Так как – посторонний корень уравнения, то .
Ответ: .
Пример 7. Решите уравнение .
Решение. Пусть , тогда , поскольку в результате умножения левых и правых частей этих равенств получим:
Рассмотрим уравнение или , откуда .
Учитывая подстановку , решим уравнения:
1) откуда ;
2) откуда .
Ответ: .
Пример 8. Найдите число корней уравнения .
Решение. Поскольку , то имеем уравнение вида .
Решим три уравнения:
1) , , откуда , ;
2) , откуда , тогда или , тогда ;
3) , откуда . Выполним проверку: подставим значение в исходное уравнение и получим . Так как имеем неопределенность вида , то число не является корнем исходного уравнения.
Уравнение имеет три корня: ; и .
Ответ: .
Если уравнение имеет вид , то его решение образуют корни уравнений:
1) при и ;
2) ;
3) .
Заметим, что необходимо выполнить проверку корней уравнения , так как, подставив полученные числа в уравнение , можем получить неопределенность вида или .
Случай, когда , нами не рассматривается.