Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рациональными называют уравнения вида LaTeX formula: f(x)=0  и  LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0, где LaTeX formula: f(x)  и LaTeX formula: g(x) – многочлены. 
Решение рациональных уравнений
1. Если уравнение имеет вид  LaTeX formula: f(x)=0, где  LaTeX formula: f(x) – многочлен, степень которого выше второй, то, разложив его левую часть на множители, заменяют данное уравнение совокупностью уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю.
2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0 , то при LaTeX formula: g(x)\neq 0 оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)LaTeX formula: =0 .
3. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=1, то при LaTeX formula: g(x)\neq 0 оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)=g(x) .
4. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g(x)}, то при LaTeX formula: g(x)\neq 0 оно равносильно уравнению  LaTeX formula: f_{1}(x)=f_{2}(x).
5. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g_{2}(x)} , то при LaTeX formula: g_{1}(x)\neq 0  и LaTeX formula: g_{2}(x)\neq 0  оно равносильно уравнению LaTeX formula: f_{1}(x)\cdot g_{2}(x)=f_{2}(x)\cdot g_{1}(x) .
6. Метод подстановки.
7. Рассмотрим метод решения одного из видов симметрических уравнений. Так, например, если уравнение имеет вид
 LaTeX formula: ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0 ,       (5.10)
то разделим обе его части  LaTeX formula: x^2\neq 0 и введем подстановку
 LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=a .     (5.10.1)
Решение систем рациональных уравнений
Решая системы рациональных уравнений, можно:
1) выражать переменную из одного уравнения и подставлять ее значение в другое уравнение системы;
2) складывать и вычитать уравнения системы;
3) делить и умножать уравнения системы;
4) вводить подстановку.
Пример 1.Найдите произведение всех действительных корней уравнения LaTeX formula: 0,2x^3-1,2x+1=0.
Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: x^3-6x+5=0 . Если уравнение имеет целые корни, то эти корни найдем среди делителей свободного члена. 
Запишем делители числа LaTeX formula: 5: \pm 1 ; \pm 5 .
Подберем корень уравнения: если LaTeX formula: x_{1}=1 , то LaTeX formula: 1-6+5=0 , следовательно, число LaTeX formula: 1– корень этого уравнения. Разделим обе части уравнения на двучлен LaTeX formula: (x-1) :
Решим уравнение LaTeX formula: x^2+x-5=0 . Так как дискриминант уравнения LaTeX formula: D=21>0 , то это уравнение имеет два корня, произведение которых равно LaTeX formula: -5.
Найдем произведение всех корней уравнения LaTeX formula: x^3-6x+5=0 : 
 LaTeX formula: x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=1\cdot (-5)=-5.
Ответ:LaTeX formula: -5.
Пример 2. Найдите сумму всех корней уравнения LaTeX formula: \frac{20x}{4x^2-8x+7}+\frac{15x}{4x^2-10x+7}=5 .
Решение. Так как число нуль не является корнем этого уравнения, то выполним следующее преобразование:
LaTeX formula: \frac{\frac{20x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{8x}{x}+\frac{7}{x}}+\frac{\frac{15x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{10x}{x}+\frac{7}{x}}=\frac{5}{5}, LaTeX formula: \frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1.
В результате подстановки  LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=a уравнение примет вид:  LaTeX formula: \frac{4}{a+1}+\frac{3}{a-1}=1,\frac{4a-4+3a+3}{a^2-1}=1,LaTeX formula: \frac{7a-1}{a^2-1}=1 (a\neq \pm 1), a^2-1=7a-1, a^2-7a=0, откуда  LaTeX formula: a_{1}=0,a_{2}=7.
Учитывая подстановку, решим два уравнения:
1)  LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=0, 4x^2-9x+7=0, а поскольку LaTeX formula: D<0 , то LaTeX formula: x\in \varnothing ;
2) LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=0, 4x^2-16x+7=0, а поскольку LaTeX formula: D>0 , то  LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=\frac{16}{4}=4.
Ответ:  LaTeX formula: 4.
Пример 3. Решите уравнение LaTeX formula: x^2+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{47}{4}.
Решение. Имеем уравнение 5.10, которое решим с помощью подстановки 5.10.1.
Запишем уравнение в виде LaTeX formula: \left (3x+\frac{3}{x} \right )+\left (x^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{47}{4} или  LaTeX formula: 12 \left (x+\frac{1}{x} \right )+4\left ( x^2+\frac{1}{x^2} \right )=47.
Выполним следующие преобразования выражение  LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x^2} \right
 LaTeX formula: \left (x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot x \cdot \frac{1}{x} \right )-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=\left (x+\frac{1}{x} \right )^2-2 .
Полагая LaTeX formula: x+\frac{1}{x} \right =a  и LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x} \right=a^2-2 , получим: LaTeX formula: 12a+4(a^2-2)=47,4a^2+12a-55=0, откуда  LaTeX formula: D=12^2+4\cdot 4\cdot 55=4^2(3^2+55)=4^2\cdot 64=(4\cdot 8)^2=32^2; LaTeX formula: a_{1}=\frac{-12-32}{8}=-\frac{11}{2},a_{2}=\frac{-12+32}{8}=\frac{5}{2}.
Учитывая подстановку, будем иметь: 
1)  LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}, 2x^2+11x+2=0, откуда  LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4};
2) LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2}, LaTeX formula: 2x^2-5x+2=0, откуда  LaTeX formula: x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{1}{2};2;\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}. 
Пример 4. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения LaTeX formula: (2x-1)(x+2)^3+(1-2x)(x-1)^3-18x+9=0 .
Решение.Запишем уравнение в виде: LaTeX formula: (2x-1)(x+2)^3+(2x-1)(1-x)^3-9(2x-1)=0,LaTeX formula: (2x-1)\left ((x+2)^3+(1-x)^3-9 \right )=0.
Решим совокупность уравнений:
1) LaTeX formula: 2x-1=0, , откуда LaTeX formula: x=0,5 ;
2)  LaTeX formula: x^3+6x^2+12x+8+1-3x+3x^2-x^3-9=0, LaTeX formula: 9x^2+9x=0, откуда LaTeX formula: x=0  и  LaTeX formula: x=-1.
Данное уравнение имеет три корня: LaTeX formula: -1;0;0,5 .
Найдем произведение наибольшего и наименьшего корней этого уравнения: LaTeX formula: 0,5\cdot (-1)=-0,5  .
Ответ:LaTeX formula: -0,5 .
Пример 5. Найдите сумму квадратов корней уравнения LaTeX formula: \frac{2x^2+12x+16}{3x+12}=\frac{2}{3}x^2-2x-2 .
Решение. Умножив обе части уравнения на число LaTeX formula: \frac{3}{2} , получим: LaTeX formula: \frac{x^2+6x+8}{x+4}=x^2-3x-3 .
Разложим квадратный трехчлен LaTeX formula: x^2+6x+8  на линейные множители и сократим дробь на LaTeX formula: x+4\neq 0:LaTeX formula: \frac{(x+4)(x+2)}{x+4}=x^2-3x-3, x+2=x^2-3x-3,LaTeX formula: x^2-4x-5=0, откуда  LaTeX formula: x_{1}=5,x_{2}=-1.
Найдем сумму квадратов корней данного уравнения: LaTeX formula: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25+1=26 .
Ответ: LaTeX formula: 26 .
Пример 6. Решите систему уравнений  LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y+\frac{x}{y}=9,\\ \frac{(x+y)x}{20y}=1.\\ \end{array} \right.
Решение. Полагая LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=a,\\ \frac{x}{y}=b,\\ \end{array} \right.  запишем данную систему уравнений в виде LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b=9, & \\ a\cdot b=20. & \end{matrix}\right.
Легко заметить, что решением полученной системы уравнений являются пары чисел LaTeX formula: a_{1}=4, b_{1}=5  и  LaTeX formula: a_{2}=5, b_{2}=4  .
Учитывая подстановку, решим две системы уравнений:
1)   LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ \frac{x}{y}=5;\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ x=5y;\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 6y=4,& \\ x =5y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=\frac{2}{3},& \\ x =\frac{10}{3};& \end{matrix}\right. 
2)   LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=5,\\ \frac{x}{y}=4;\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 5y=5,& \\ x =4y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=1,& \\ x =4.& \end{matrix}\right.
Ответ: LaTeX formula: \left (\frac{10}{3};\frac{2}{3} \right ), (4;1).
Пример 7. Решите систему уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^3+x^3y^2=9, & \\ x^2y^3-x^3y^2=3. & \end{matrix}\right. 
Решение. Систему уравнений запишем в виде LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^2(y+x)=9, & \\ x^2y^2(y-x)=3. & \end{matrix}\right.
Разделим первое уравнение системы на второе: LaTeX formula: \frac{x^2y^2(y+x)}{x^2y^2(y-x)}=\frac{9}{3}, \frac{y+x}{y-x}=3.
По основному свойству пропорции запишем: LaTeX formula: y+x=3y-3x, откуда LaTeX formula: y=2x .
Подставим значение LaTeX formula: y=2x  в первое уравнение системы и найдем значение переменной LaTeX formula: xLaTeX formula: x^2\cdot 8x^3+x^3\cdot 4x^2=9, 12x^5=9, x^5=0,75  ,  LaTeX formula: x=\sqrt[5]{0,75}.
Найдем значение переменной LaTeX formula: y:  LaTeX formula: y=2x, y=2\sqrt[5]{0,75}.
Ответ: LaTeX formula: (\sqrt[5]{0,75};2\sqrt[5]{0,75}) .
Пример 8. Найдите LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}} , если LaTeX formula: (x_{0};y_{0}) – координаты точки пересечения кривых LaTeX formula: 2^{-1}y^{-1}x-2^{-1}x^{-1}y=0,75 и LaTeX formula: x^6-16x^3+1=0 , причем абсцисса и ордината этой точки имеют противоположные знаки.
Решение. Координаты точек пересечения заданных кривых найдем, решая систему уравнений:  
LaTeX formula: \begin{cases} & \text \\ \frac{x}{2y} -\frac{y}{2x}=\frac{3}{4},\\ & \text \\ x^6-16y^3=-1; \end{cases}  LaTeX formula: \begin{cases} & \text \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{3}{2},\\ & \text \\ x^6-16y^3=-1. \end{cases}
Рассмотрим первое уравнение системы и применим подстановку  LaTeX formula: \frac{x}{y}=a, где LaTeX formula: a\neq 0 . Решая уравнение LaTeX formula: a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2} , получим: LaTeX formula: 2a^2-3a-2=0, откуда LaTeX formula: a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=2  .
Учитывая подстановку LaTeX formula: \frac{x}{y}=a , запишем: LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2}  или LaTeX formula: \frac{x}{y}=2 .
Так как согласно условию задачи LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}}<0 , то  LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2}, откуда LaTeX formula: y=-2x.
Подставляя значение LaTeX formula: y=-2x во второе уравнение системы, запишем: LaTeX formula: x^6-16\cdot 8\cdot x^3-1=0 . Получили квадратное уравнение относительно LaTeX formula: x^3 , дискриминант которого положителен, следовательно, это уравнение имеет корни, а заданные кривые имеют точку пересечения, абсцисса и ордината которой имеют противоположные знаки. А так как LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2} , то  LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}}=-2.
Ответ: LaTeX formula: -LaTeX formula: –2.
1. Линейные и квадратные уравнения являются рациональными.
2. Решая дробно-рациональные уравнения, необходимо учитывать область определения уравнения.
3. Система уравнений симметричная, если в результате замены переменной LaTeX formula: x на переменную LaTeX formula: y, а переменной LaTeX formula: y на переменную LaTeX formula: x, получаем ту же систему. Если  LaTeX formula: (a;b) – решение этой системы, то и LaTeX formula: (b;a)  также решение системы.
formula