Рациональные уравнения /qualihelpy

Рациональные уравнения

Справочник / Школьник / Уравнения /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Рациональными называют уравнения вида LaTeX formula: f(x)=0

и $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0$ , где LaTeX formula: f(x)

– многочлены.

Решение рациональных уравнений

1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: f(x)=0

, где

– многочлен, степень которого выше второй, то, разложив его левую часть на множители, заменяют данное уравнение совокупностью уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю.

2. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=0$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)

3. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}=1$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению LaTeX formula: f(x)=g(x)

4. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g(x)}$ , то при $LaTeX formula: g(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению $LaTeX formula: f_{1}(x)=f_{2}(x)$ .

5. Если уравнение имеет вид $LaTeX formula: \frac{f_{1}(x)}{g_{1}(x)}=\frac{f_{2}(x)}{g_{2}(x)}$ , то при $LaTeX formula: g_{1}(x)\neq 0$ и $LaTeX formula: g_{2}(x)\neq 0$ оно равносильно уравнению $LaTeX formula: f_{1}(x)\cdot g_{2}(x)=f_{2}(x)\cdot g_{1}(x)$ .

6. Метод подстановки.

7. Рассмотрим метод решения одного из видов симметрических уравнений. Так, например, если уравнение имеет вид

, (5.10)

то разделим обе его части $LaTeX formula: x^2\neq 0$ и введем подстановку

$LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=a$ . (5.10.1)

Решение систем рациональных уравнений

Решая системы рациональных уравнений, можно:

1) выражать переменную из одного уравнения и подставлять ее значение в другое уравнение системы;

2) складывать и вычитать уравнения системы;

3) делить и умножать уравнения системы;

4) вводить подстановку.

Пример 1.Найдите произведение всех действительных корней уравнения LaTeX formula: 0,2x^3-1,2x+1=0

Решение. Запишем уравнение в виде LaTeX formula: x^3-6x+5=0

. Если уравнение имеет целые корни, то эти корни найдем среди делителей свободного члена.

Запишем делители числа $LaTeX formula: 5: \pm 1 ; \pm 5 .$

Подберем корень уравнения: если $LaTeX formula: x_{1}=1$ , то LaTeX formula: 1-6+5=0

, следовательно, число LaTeX formula: 1

– корень этого уравнения. Разделим обе части уравнения на двучлен LaTeX formula: (x-1)

Решим уравнение LaTeX formula: x^2+x-5=0

. Так как дискриминант уравнения LaTeX formula: D=21>0

, то это уравнение имеет два корня, произведение которых равно LaTeX formula: -5

Найдем произведение всех корней уравнения LaTeX formula: x^3-6x+5=0

$LaTeX formula: x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}=1\cdot (-5)=-5$ .

Ответ:

Пример 2. Найдите сумму всех корней уравнения $LaTeX formula: \frac{20x}{4x^2-8x+7}+\frac{15x}{4x^2-10x+7}=5$ .

Решение. Так как число нуль не является корнем этого уравнения, то выполним следующее преобразование:

$LaTeX formula: \frac{\frac{20x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{8x}{x}+\frac{7}{x}}+\frac{\frac{15x}{5x}}{\frac{4x^2}{x}-\frac{10x}{x}+\frac{7}{x}}=\frac{5}{5},$ $LaTeX formula: \frac{4}{4x-8+\frac{7}{x}}+\frac{3}{4x-10+\frac{7}{x}}=1.$

В результате подстановки $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=a$ уравнение примет вид: $LaTeX formula: \frac{4}{a+1}+\frac{3}{a-1}=1,\frac{4a-4+3a+3}{a^2-1}=1,$ $LaTeX formula: \frac{7a-1}{a^2-1}=1 (a\neq \pm 1), a^2-1=7a-1, a^2-7a=0,$ откуда $LaTeX formula: a_{1}=0,a_{2}=7.$

Учитывая подстановку, решим два уравнения:

1) $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=0, 4x^2-9x+7=0,$ а поскольку LaTeX formula: D<0

, то $LaTeX formula: x\in \varnothing$ ;

2) $LaTeX formula: 4x+\frac{7}{x}-9=0, 4x^2-16x+7=0,$ а поскольку LaTeX formula: D>0

, то $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=\frac{16}{4}=4$ .

Ответ:

Пример 3. Решите уравнение $LaTeX formula: x^2+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}=\frac{47}{4}$ .

Решение. Имеем уравнение 5.10, которое решим с помощью подстановки 5.10.1.

Запишем уравнение в виде $LaTeX formula: \left (3x+\frac{3}{x} \right )+\left (x^2+\frac{1}{x^2} \right )=\frac{47}{4}$ или $LaTeX formula: 12 \left (x+\frac{1}{x} \right )+4\left ( x^2+\frac{1}{x^2} \right )=47$ .

Выполним следующие преобразования выражение $LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x^2} \right$ :

$LaTeX formula: \left (x^2+\frac{1}{x^2}+2\cdot x \cdot \frac{1}{x} \right )-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}=\left (x+\frac{1}{x} \right )^2-2$ .

Полагая $LaTeX formula: x+\frac{1}{x} \right =a$ и $LaTeX formula: x^2+\frac{1}{x} \right=a^2-2$ , получим: LaTeX formula: 12a+4(a^2-2)=47,4a^2+12a-55=0,

откуда $LaTeX formula: D=12^2+4\cdot 4\cdot 55=4^2(3^2+55)=4^2\cdot 64=(4\cdot 8)^2=32^2;$ $LaTeX formula: a_{1}=\frac{-12-32}{8}=-\frac{11}{2},a_{2}=\frac{-12+32}{8}=\frac{5}{2}.$

Учитывая подстановку, будем иметь:

1) $LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=-\frac{11}{2}, 2x^2+11x+2=0,$ откуда $LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}$ ;

2) $LaTeX formula: x+\frac{1}{x}=\frac{5}{2},$ LaTeX formula: 2x^2-5x+2=0,

откуда $LaTeX formula: x_{1}=2,x_{2}=\frac{1}{2}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{1}{2};2;\frac{-11\pm \sqrt{105}}{4}.$

Пример 4. Найдите произведение наибольшего и наименьшего корней уравнения LaTeX formula: (2x-1)(x+2)^3+(1-2x)(x-1)^3-18x+9=0

Решение.Запишем уравнение в виде: LaTeX formula: (2x-1)(x+2)^3+(2x-1)(1-x)^3-9(2x-1)=0,

$LaTeX formula: (2x-1)\left ((x+2)^3+(1-x)^3-9 \right )=0.$

Решим совокупность уравнений:

, откуда

;

LaTeX formula: x^3+6x^2+12x+8+1-3x+3x^2-x^3-9=0,

откуда

Данное уравнение имеет три корня: LaTeX formula: -1;0;0,5

Найдем произведение наибольшего и наименьшего корней этого уравнения: $LaTeX formula: 0,5\cdot (-1)=-0,5$ .

Ответ:

Пример 5. Найдите сумму квадратов корней уравнения $LaTeX formula: \frac{2x^2+12x+16}{3x+12}=\frac{2}{3}x^2-2x-2$ .

Решение. Умножив обе части уравнения на число $LaTeX formula: \frac{3}{2}$ , получим: $LaTeX formula: \frac{x^2+6x+8}{x+4}=x^2-3x-3$ .

Разложим квадратный трехчлен LaTeX formula: x^2+6x+8

на линейные множители и сократим дробь на $LaTeX formula: x+4\neq 0$ : $LaTeX formula: \frac{(x+4)(x+2)}{x+4}=x^2-3x-3, x+2=x^2-3x-3,$ LaTeX formula: x^2-4x-5=0,

откуда $LaTeX formula: x_{1}=5,x_{2}=-1$ .

Найдем сумму квадратов корней данного уравнения: $LaTeX formula: x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25+1=26$ .

Ответ:

Пример 6. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y+\frac{x}{y}=9,\\ \frac{(x+y)x}{20y}=1.\\ \end{array} \right.$

Решение. Полагая $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=a,\\ \frac{x}{y}=b,\\ \end{array} \right.$ запишем данную систему уравнений в виде $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a+b=9, & \\ a\cdot b=20. & \end{matrix}\right.$

Легко заметить, что решением полученной системы уравнений являются пары чисел $LaTeX formula: a_{1}=4, b_{1}=5$ и $LaTeX formula: a_{2}=5, b_{2}=4$ .

Учитывая подстановку, решим две системы уравнений:

1) $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ \frac{x}{y}=5;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=4,\\ x=5y;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 6y=4,& \\ x =5y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=\frac{2}{3},& \\ x =\frac{10}{3};& \end{matrix}\right.$

2) $LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} x+y=5,\\ \frac{x}{y}=4;\\ \end{array} \right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 5y=5,& \\ x =4y;& \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} y=1,& \\ x =4.& \end{matrix}\right.$

Ответ: $LaTeX formula: \left (\frac{10}{3};\frac{2}{3} \right ), (4;1).$

Пример 7. Решите систему уравнений $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^3+x^3y^2=9, & \\ x^2y^3-x^3y^2=3. & \end{matrix}\right.$

Решение. Систему уравнений запишем в виде $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x^2y^2(y+x)=9, & \\ x^2y^2(y-x)=3. & \end{matrix}\right.$

Разделим первое уравнение системы на второе: $LaTeX formula: \frac{x^2y^2(y+x)}{x^2y^2(y-x)}=\frac{9}{3}, \frac{y+x}{y-x}=3.$

По основному свойству пропорции запишем: LaTeX formula: y+x=3y-3x,

откуда

Подставим значение LaTeX formula: y=2x

в первое уравнение системы и найдем значение переменной LaTeX formula: x

: $LaTeX formula: x^2\cdot 8x^3+x^3\cdot 4x^2=9, 12x^5=9, x^5=0,75$ , $LaTeX formula: x=\sqrt[5]{0,75}.$

Найдем значение переменной LaTeX formula: y

: $LaTeX formula: y=2x, y=2\sqrt[5]{0,75}.$

Ответ: $LaTeX formula: (\sqrt[5]{0,75};2\sqrt[5]{0,75})$ .

Пример 8. Найдите $LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}}$ , если $LaTeX formula: (x_{0};y_{0})$ – координаты точки пересечения кривых $LaTeX formula: 2^{-1}y^{-1}x-2^{-1}x^{-1}y=0,75$ и LaTeX formula: x^6-16x^3+1=0

, причем абсцисса и ордината этой точки имеют противоположные знаки.

Решение. Координаты точек пересечения заданных кривых найдем, решая систему уравнений:

$LaTeX formula: \begin{cases} & \text \\ \frac{x}{2y} -\frac{y}{2x}=\frac{3}{4},\\ & \text \\ x^6-16y^3=-1; \end{cases}$ $LaTeX formula: \begin{cases} & \text \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{3}{2},\\ & \text \\ x^6-16y^3=-1. \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы и применим подстановку $LaTeX formula: \frac{x}{y}=a$ , где $LaTeX formula: a\neq 0$ . Решая уравнение $LaTeX formula: a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$ , получим: LaTeX formula: 2a^2-3a-2=0,

откуда $LaTeX formula: a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=2$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: \frac{x}{y}=a$ , запишем: $LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2}$ или $LaTeX formula: \frac{x}{y}=2$ .

Так как согласно условию задачи $LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}}<0$ , то $LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2}$ , откуда LaTeX formula: y=-2x

Подставляя значение LaTeX formula: y=-2x

во второе уравнение системы, запишем: $LaTeX formula: x^6-16\cdot 8\cdot x^3-1=0$ . Получили квадратное уравнение относительно LaTeX formula: x^3

, дискриминант которого положителен, следовательно, это уравнение имеет корни, а заданные кривые имеют точку пересечения, абсцисса и ордината которой имеют противоположные знаки. А так как $LaTeX formula: \frac{x}{y}=-\frac{1}{2}$ , то $LaTeX formula: \frac{y_{0}}{x_{0}}=-2$ .

Ответ:

1. Линейные и квадратные уравнения являются рациональными.

2. Решая дробно-рациональные уравнения, необходимо учитывать область определения уравнения.

3. Система уравнений симметричная, если в результате замены переменной LaTeX formula: x

на переменную LaTeX formula: y

, а переменной LaTeX formula: y

на переменную LaTeX formula: x

, получаем ту же систему. Если LaTeX formula: (a;b)

– решение этой системы, то и LaTeX formula: (b;a)

также решение системы.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_4_рациональные_уравнения

Рациональные уравнения