Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
и 
, (5.4)
. (5.5) 
. (5.6) 
. (5.7)
(5.8)
, (5.9)
. 
Квадратным называют уравнение вида при условии, что 
. Числа 
и 
называют коэффициентами уравнения, при этом число считают старшим коэффициентом, а число – свободным членом уравнения.
при условии, что . Числа и называют коэффициентами уравнения, при этом число считают старшим коэффициентом, а число – свободным членом уравнения. Если коэффициенты уравнения 
и (или) равны нулю, то имеем неполные квадратные уравнения:
и (или) равны нулю, то имеем неполные квадратные уравнения: и Решение неполных квадратных уравнений
1. Если уравнение имеет вид 
, то 
и 
(двукратный корень).
, то и (двукратный корень). 2. Если уравнение имеет вид 
, то 
, 
и 
, при условии, что 
.
, то , и , при условии, что . Например, уравнение 
решений не имеет, так как 
.
решений не имеет, так как .3. Если уравнение имеет вид 
, то 
и уравнение равносильно совокупности уравнений: или 
. Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня: 
и 
.
, то и уравнение равносильно совокупности уравнений: или . Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня: и . Например, решим уравнение 
откуда 
откуда Решение полных квадратных уравнений
Рассмотрим решение квадратного уравнения
, (5.4)при условии, что ни один из его коэффициентов не равен нулю.
Дискриминантом квадратного уравнения 5.4 называют выражение вида:
. (5.5) При этом возможны три случая: 
1. Если 
, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемые по формуле:
, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемые по формуле:. (5.6)2. Если 
, то 
(двукратный корень).
, то (двукратный корень).3. Если 
, то уравнение не имеет действительных корней.
, то уравнение не имеет действительных корней.Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна 
, а произведение его корней равно 
. (при условии, что ).
равна , а произведение его корней равно . (при условии, что ). Если , то учитываем, что – двукратный корень уравнения.
, то учитываем, что – двукратный корень уравнения.Например,рассмотрим уравнение 
. Так как 
, то по теореме Виета: 
, а 
.
. Так как , то по теореме Виета: , а .Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:
. (5.7)
Например, рассмотрим уравнение 
. Так как , то: 
, а 
.
. Так как , то: , а .Теорема,обратная теореме Виета. Числа 
и 
являются корнями квадратного уравнения 
, если их сумма равна , а произведение равно .
и являются корнями квадратного уравнения , если их сумма равна , а произведение равно .Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен 
можно разложить на линейные множители по формуле:
можно разложить на линейные множители по формуле: (5.8)где 
и 
– корни этого трехчлена.
и – корни этого трехчлена.Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида:
, (5.9)где 
и – действительные числа и .
и – действительные числа и . С помощью подстановки 
это уравнение сводится к квадратному уравнению 
.
это уравнение сводится к квадратному уравнению . Пример 1. Разложите на множители квадратный трехчлен 
.
. Решение. Решим квадратное уравнение 
.
. 
.Ответ: 
.
.Пример 2. Решите уравнение 
.
. 
Тогда: 
, 
, 
, 
.
, , , .Ответ: 
; 
; 
; 
.
; ; ; .Пример 3. Определите значение , при котором нули квадратичной функции 
имеют различные знаки и абсцисса вершины параболы положительна.
, при котором нули квадратичной функции имеют различные знаки и абсцисса вершины параболы положительна.Решение. Рассмотрим квадратное уравнение 
. Это уравнение имеет два различных корня, если 
.
. Это уравнение имеет два различных корня, если .
, 
.
Решение неравенства показано на рисунке 5.1: 
.
.Запишем данное уравнение в виде 
при условии, что 
. Так как согласно условию задачи абсцисса вершины параболы положительна, то положительный корень уравнения по абсолютной величине превосходит отрицательный. Тогда сумма корней этого уравнения положительна, а их произведение отрицательно.
при условии, что . Так как согласно условию задачи абсцисса вершины параболы положительна, то положительный корень уравнения по абсолютной величине превосходит отрицательный. Тогда сумма корней этого уравнения положительна, а их произведение отрицательно. По теореме Виета 
Решим систему неравенств 
и 
.
и . Рассмотрим решение каждого неравенства системы, учитывая, что :
: 1) , откуда 
(рис. 5.2);
, откуда (рис. 5.2);3) ,откуда 
(рис. 5.3).
,откуда (рис. 5.3).Очевидно, что решением системы неравенств является промежуток 
. Следовательно, условия задачи выполняются при всех , принадлежащих этому промежутку.
. Следовательно, условия задачи выполняются при всех , принадлежащих этому промежутку.Ответ: .
.Пример 4. Не решая уравнение , найдите значение выражения 
, где и – корни данного уравнения.
, найдите значение выражения , где и – корни данного уравнения.Решение. Рассмотрим квадратное уравнение . Согласно теореме Виета запишем: 
, 
.
. Согласно теореме Виета запишем: , .Преобразуем выражение . Получим:
. Получим: .Подставляя в полученное выражение значения и , будем иметь:
и , будем иметь:Ответ: 
.
.Пример 5. Составьте квадратное уравнение с корнями 
и 
, где и – корни уравнения .
и , где и – корни уравнения .Решение. Рассмотрим уравнение . По теореме Виета запишем: и .
. По теореме Виета запишем: и .
Найдем коэффициенты 
и 
, учитывая, что и :
и , учитывая, что и : 1) 
;
;2) 
.
.Подставим значения и в уравнение и получим: 
или 
.
и в уравнение и получим: или .Ответ: .
.Пример 6. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 
.
.Решение. Согласно условию задачи 
, или 
, или 
. Тогда 
.
, или , или . Тогда .
Запишем искомое уравнение: 
.
.Ответ: .
.Прежде, чем находить сумму и произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета, необходимо убедиться в том, что это уравнение имеет действительные корни, т. е. его дискриминант не отрицателен.
Например, нельзя записать, что сумма корней квадратного уравнения 
равна 
, а произведение его корней равно 
, так как дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно вовсе не имеет действительных корней.
равна , а произведение его корней равно , так как дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно вовсе не имеет действительных корней.