Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
и
, (5.4)
. (5.5)
. (5.6)
. (5.7)
(5.8)
, (5.9)


. 
Квадратным называют уравнение вида
при условии, что
. Числа
и
называют коэффициентами уравнения, при этом число
считают старшим коэффициентом, а число
– свободным членом уравнения.







Если коэффициенты уравнения
и (или)
равны нулю, то имеем неполные квадратные уравнения:




Решение неполных квадратных уравнений
1. Если уравнение имеет вид
, то
и
(двукратный корень).



2. Если уравнение имеет вид
, то
,
и
, при условии, что
.





Например, уравнение
решений не имеет, так как
.


3. Если уравнение имеет вид
, то
и уравнение равносильно совокупности уравнений:
или
. Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня:
и
.






Например, решим уравнение
откуда 


Решение полных квадратных уравнений
Рассмотрим решение квадратного уравнения

при условии, что ни один из его коэффициентов не равен нулю.
Дискриминантом квадратного уравнения 5.4 называют выражение вида:

При этом возможны три случая: 

1. Если
, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемые по формуле:


2. Если
, то
(двукратный корень).


3. Если
, то уравнение не имеет действительных корней.

Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения
равна
, а произведение его корней равно
. (при условии, что
).




Если
, то учитываем, что
– двукратный корень уравнения.


Например,рассмотрим уравнение
. Так как
, то по теореме Виета:
, а
.




Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:

Например, рассмотрим уравнение
. Так как
, то:
, а
.




Теорема,обратная теореме Виета. Числа
и
являются корнями квадратного уравнения
, если их сумма равна
, а произведение равно
.





Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен
можно разложить на линейные множители по формуле:


где
и
– корни этого трехчлена.


Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида:

где
и
– действительные числа и
.



С помощью подстановки
это уравнение сводится к квадратному уравнению
.


Пример 1. Разложите на множители квадратный трехчлен
.

Решение. Решим квадратное уравнение
.

Ответ:
.

Пример 2. Решите уравнение
.

Тогда:
,
,
,
.




Ответ:
;
;
;
.




Пример 3. Определите значение
, при котором нули квадратичной функции
имеют различные знаки и абсцисса вершины параболы положительна.


Решение. Рассмотрим квадратное уравнение
. Это уравнение имеет два различных корня, если
.


Решение неравенства показано на рисунке 5.1:
.


Запишем данное уравнение в виде
при условии, что
. Так как согласно условию задачи абсцисса вершины параболы положительна, то положительный корень уравнения по абсолютной величине превосходит отрицательный. Тогда сумма корней этого уравнения положительна, а их произведение отрицательно.


По теореме Виета



Решим систему неравенств
и
.


Рассмотрим решение каждого неравенства системы, учитывая, что
:

1)
, откуда
(рис. 5.2);


3)
,откуда
(рис. 5.3).



Очевидно, что решением системы неравенств является промежуток
. Следовательно, условия задачи выполняются при всех
, принадлежащих этому промежутку.


Ответ:
.

Пример 4. Не решая уравнение
, найдите значение выражения
, где
и
– корни данного уравнения.




Решение. Рассмотрим квадратное уравнение
. Согласно теореме Виета запишем:
,
.



Преобразуем выражение
. Получим:



Подставляя в полученное выражение значения
и
, будем иметь:




Ответ:
.

Пример 5. Составьте квадратное уравнение с корнями
и
, где
и
– корни уравнения
.





Решение. Рассмотрим уравнение
. По теореме Виета запишем:
и
.



Найдем коэффициенты
и
, учитывая, что
и
:




1)
;

2)
.

Подставим значения
и
в уравнение
и получим:
или
.





Ответ:
.

Пример 6. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен
.

Решение. Согласно условию задачи
, или
, или
. Тогда
.




Запишем искомое уравнение:
.

Ответ:
.

Прежде, чем находить сумму и произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета, необходимо убедиться в том, что это уравнение имеет действительные корни, т. е. его дискриминант не отрицателен.
Например, нельзя записать, что сумма корней квадратного уравнения
равна
, а произведение его корней равно
, так как дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно вовсе не имеет действительных корней.


