Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Квадратным называют уравнение вида LaTeX formula: ax^2+bx+c=0  при условии, что LaTeX formula: a\neq 0  . Числа LaTeX formula: a LaTeX formula: а,b и LaTeX formula: c называют коэффициентами уравнения, при этом число LaTeX formula: a считают старшим коэффициентом, а число LaTeX formula: c – свободным членом уравнения. 
Если коэффициенты уравнения LaTeX formula: b и (или) LaTeX formula: c равны нулю, то имеем неполные квадратные уравнения
LaTeX formula: ax^2=0,ax^2+c=0 и LaTeX formula: ax^2+bx=0. 
Решение неполных квадратных уравнений
1. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2=0 , то LaTeX formula: x^2=0  и LaTeX formula: x=0  (двукратный корень). 
2. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2+c=0 , то  LaTeX formula: ax^2=-cLaTeX formula: x^2=\frac{-c}{a}  и  LaTeX formula: x=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}, при условии, что LaTeX formula: \frac{-c}{a}\geq 0 . 
Например, уравнение LaTeX formula: x^2+25=0 решений не имеет, так как  LaTeX formula: x^2\neq -25 .
3. Если уравнение имеет вид LaTeX formula: ax^2+bx=0 , то LaTeX formula: x(ax+b)=0  и уравнение равносильно совокупности уравнений:  LaTeX formula: x=0  или  LaTeX formula: ax+b=0. Следовательно, данное уравнение имеет два действительных корня: LaTeX formula: x_{1}=0  и LaTeX formula: x_{1}=-\frac{b}{a} . 
Например, решим уравнение LaTeX formula: 4x^2+6x=0 , откуда  LaTeX formula: x(4x+6)=0,x_{1}=0,x_{2}=-1,5.
Решение полных квадратных уравнений
Рассмотрим решение квадратного уравнения
 LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 , (5.4)
при условии, что ни один из его коэффициентов не равен нулю. 
Дискриминантом квадратного уравнения 5.4 называют выражение вида:
LaTeX formula: D=b^2-4ac . (5.5) 
При этом возможны три случая: LaTeX formula: D>0,D=0,D<0.
1. Если  LaTeX formula: D>0, то уравнение имеет два различных действительных корня, определяемые по формуле:
  LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}. (5.6)
2. Если  LaTeX formula: D=0, то LaTeX formula: x=\frac{-b}{2a}  (двукратный корень).
3. Если  LaTeX formula: D<0, то уравнение не имеет действительных корней.
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 равна  LaTeX formula: -\frac{b}{a}, а произведение его корней равно LaTeX formula: \frac{c}{a} . (при условии, что  LaTeX formula: D>0). 
Если  LaTeX formula: D=0, то учитываем, что  LaTeX formula: x=\frac{-b}{2a} – двукратный корень уравнения.
Например,рассмотрим уравнение LaTeX formula: 3x^2+9x-2=0 . Так как LaTeX formula: D=81+24=105>0 , то по теореме Виета: LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{9}{3}=-3 , а LaTeX formula: x_{1}x_{2}=-\frac{2}{3} .
Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:
 LaTeX formula: x^2+px+q=0 . (5.7)
Согласно теореме Виета сумма корней  уравнения 5.7 равна -LaTeX formula: –p, а произведение его корней равно LaTeX formula: q.
Например, рассмотрим уравнение LaTeX formula: x^2+4x+4=0 . Так как LaTeX formula: D=0 , то: LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-4 , а  LaTeX formula: x_{1}x_{2}=4 .
Теорема,обратная теореме Виета. Числа LaTeX formula: m и LaTeX formula: n являются корнями квадратного уравнения LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 (a\neq 0) , если их сумма равна  LaTeX formula: -\frac{b}{a}, а произведение равно LaTeX formula: \frac{c}{a} .
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратный трехчлен LaTeX formula: f(x)=ax^2+bx+c  можно разложить на линейные множители по формуле: 
LaTeX formula: ax^2+bx+c =a(x-x_{1})(x-x_{2}), (5.8)
где LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2} – корни этого трехчлена.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называют уравнение вида:
LaTeX formula: ax^4+bx^2+c=0, (5.9)
где LaTeX formula: a, b и LaTeX formula: c – действительные числа и   LaTeX formula: a\neq 0
С помощью подстановки  LaTeX formula: x^2=y это уравнение сводится к квадратному уравнению  LaTeX formula: ay^2+by+c=0
Пример 1. Разложите на множители квадратный трехчлен  LaTeX formula: f(x)=2x^2+5x-3
Решение. Решим квадратное уравнение  LaTeX formula: 2x^2+5x-3=0
По формуле 5.5 получим:  LaTeX formula: D=25+24=49.
По формуле 5.6 получим:  LaTeX formula: x_{1}=\frac{-5-7}{4}=-3,  LaTeX formula: x_{2}=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}
Согласно формуле 5.8 запишем:  LaTeX formula: 2x^2+5x-3=2(x+3)\left (x-\frac{1}{2} \right )=(x+3)(2x-1).
Ответ:  LaTeX formula: (x+3)(2x-1).
Пример 2. Решите уравнение  LaTeX formula: x^4-7x^2+12=0
Решение. Имеем биквадратное уравнение 5.9. Полагая  LaTeX formula: x^2=y, запишем это уравнение в виде  LaTeX formula: y^2-7y+12=0
По формуле 5.5 получим:  LaTeX formula: D=49-48=1.
По формуле 5.6 получим:  LaTeX formula: y_{1}=\frac{7-1}{2}=3,  LaTeX formula: y_{1}=\frac{7+1}{2}=4
Тогда:  LaTeX formula: x_{1}=\sqrt{3},  LaTeX formula: x_{2}=-\sqrt{3},  LaTeX formula: x_{3}=2,  LaTeX formula: x_{4}=-2.
Ответ:  LaTeX formula: -2;  LaTeX formula: -\sqrt{3};  LaTeX formula: \sqrt{3}LaTeX formula: 2.
Пример 3. Определите значение LaTeX formula: a, при котором нули квадратичной функции LaTeX formula: y=(3-2a)x^2-ax-1  имеют различные знаки и абсцисса вершины параболы положительна.
Решение. Рассмотрим квадратное уравнение LaTeX formula: (3-2a)x^2-ax-1 =0. Это уравнение имеет два различных корня, если LaTeX formula: D> 0.
По формуле 5.5 получим: LaTeX formula: D=a^{2}+4(3-2a). Тогда LaTeX formula: a^2+4(3-2a)>0LaTeX formula: a^2-8a+12>0.
По формуле 5.5 получим: LaTeX formula: D=64-48=16.
По формуле 5.6 получим:  LaTeX formula: a_{1}=\frac{8-4}{2}=2 , LaTeX formula: a_{2}=\frac{8+4}{2}=6.
Решение неравенства показано на рисунке 5.1:  LaTeX formula: a\in (-\infty ;2)\cup (6;+\infty ) .
Запишем данное уравнение в виде LaTeX formula: x^2+\frac{a}{2a-3}x+\frac{1}{2a-3} =0 при условии, что LaTeX formula: 2a-3\neq 0. Так как согласно условию задачи абсцисса вершины параболы положительна, то положительный корень уравнения по абсолютной величине превосходит отрицательный. Тогда сумма корней этого уравнения положительна, а их произведение отрицательно. 
По теореме Виета  LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{a}{2a-3},  LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{1}{2a-3}.
Решим систему неравенств LaTeX formula: \frac{a}{2a-3}<0 и LaTeX formula: \frac{1}{2a-3}<0 . 
Рассмотрим решение каждого неравенства системы, учитывая, что LaTeX formula: a\in (-\infty ;2)\cup (6;+\infty )
1)  LaTeX formula: \frac{a}{2a-3}<0, откуда LaTeX formula: a\in (0; 1,5) (рис. 5.2);
3) LaTeX formula: \frac{1}{2a-3}<0 ,откуда LaTeX formula: a\in (-\infty ; 1,5) (рис. 5.3).
Очевидно, что решением системы неравенств является промежуток LaTeX formula: (0;1,5) . Следовательно, условия задачи выполняются при всех LaTeX formula: a, принадлежащих этому промежутку.
Ответ: LaTeX formula: (0;1,5) .
Пример 4. Не решая уравнение LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 , найдите значение выражения LaTeX formula: 3^{-2}x_{1}^{-2}+3^{-2}x_{2}^{-2} , где  LaTeX formula: x_{1} и  LaTeX formula: x_{2} – корни данного уравнения.
Решение. Рассмотрим квадратное уравнение LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 . Согласно теореме Виета запишем: LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} , LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} .
Преобразуем выражение LaTeX formula: 3^{-2}x_{1}^{-2}+3^{-2}x_{2}^{-2}. Получим:
 LaTeX formula: \frac{1}{9x_{1}^{2}}+\frac{1}{9x_{2}^{2}}=LaTeX formula: \frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{9(x_{1}x_{2})^2}= \frac{\left (x_{1}+x_{2} \right )^2-2x_{1}x_{2}}{9(x_{1}x_{2})^2} .
Подставляя в полученное выражение значения  LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}  и  LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}, будем иметь:
 LaTeX formula: \frac{\left (\frac{-b}{a} \right )^2-\frac{2c}{a}}{9\cdot \left (\frac{c}{a} \right )^2}= \frac{\frac{b^2}{a^2} -\frac{2c}{a}}{ \frac{9c^2}{a^2} \right )} =LaTeX formula: \frac{b^2-2ac}{9c^2} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{b^2-2ac}{9c^2}.
Пример 5. Составьте квадратное уравнение с корнями  LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}} и LaTeX formula: \frac{2}{x_{2}}, где LaTeX formula: x_{1}  и LaTeX formula: x_{2} – корни уравнения  LaTeX formula: ax^2+bx+c=0.
Решение. Рассмотрим уравнение LaTeX formula: ax^2+bx+c=0 . По теореме Виета запишем: LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}  и  LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.
Пусть искомое уравнение имеет вид 5.7 , а числа  LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}} и LaTeX formula: \frac{2}{x_{2}}  – его корни. Тогда  LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}+\frac{2}{x_{2}}=-p и LaTeX formula: \frac{2}{x_{1}}\cdot \frac{2}{x_{2}}=q .
Найдем коэффициенты LaTeX formula: p  и LaTeX formula: q , учитывая, что LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} и LaTeX formula: x_{1}x_{2}=\frac{c}{a} : 
1) LaTeX formula: p=-2\cdot \left (\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} \right )=-2\cdot \frac{x_{2}+x_{1}}{x_{2}x_{1}}=-2\cdot\frac{\frac{-b}{a}}{\frac{c}{a}} = 2\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{a}{c}=\frac{2b}{c};
2) LaTeX formula: q=\frac{2}{x_{1}}\cdot \frac{2}{x_{2}} =\frac{4}{x_{1}x_{2}}=\frac{4}{\frac{c}{a}}=\frac{4a}{c} .
Подставим значения LaTeX formula: p и LaTeX formula: q в уравнение LaTeX formula: x^2+px+q=0 и получим: LaTeX formula: x^2+\frac{2b}{c}x+\frac{4a}{c}=0  или LaTeX formula: cx^2+2bx+4a=0 .
Ответ:  LaTeX formula: cx^2+2bx+4a=0.
Пример 6. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен LaTeX formula: \frac{6}{3+\sqrt{3}} .
Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: x_{1}=\frac{6}{3+\sqrt{3}} , или  LaTeX formula: x_{1}=\frac{6(3-\sqrt{3})}{6}, или LaTeX formula: x_{1}=3-\sqrt{3} . Тогда LaTeX formula: x_{2}=3+\sqrt{3} .
Пусть искомое уравнение имеет вид  5.7. Тогда по теореме Виета  LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=-p , а  LaTeX formula: x_{1}x_{2}=q. Так как LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=3-\sqrt{3}+3+\sqrt{3}=6 , а LaTeX formula: x_{1}x_{2}=(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})=6, то LaTeX formula: p=-6  и  LaTeX formula: q=6
Запишем искомое уравнение: LaTeX formula: x^2-6x+6=0 .
Ответ: LaTeX formula: x^2-6x+6=0 .
Прежде, чем находить сумму и произведение корней квадратного уравнения по теореме Виета, необходимо убедиться в том, что это уравнение имеет действительные корни, т. е. его дискриминант не отрицателен. 
Например, нельзя записать, что сумма корней квадратного уравнения LaTeX formula: x^2+2,6x+10=0  равна LaTeX formula: -2,6, а произведение его корней равно LaTeX formula: 10, так как дискриминант этого уравнения отрицательный, следовательно, оно вовсе не имеет действительных корней.
formula