Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Уравнение вида LaTeX formula: ax+b=0  называют линейным. Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде  LaTeX formula: ax+b=0 и,  если LaTeX formula: a\neq 0, найти его решение: LaTeX formula: x=\frac{b}{a}.
Например,  LaTeX formula: 5-31x=-57,-31x=-62,x=2.
Исследование решений линейных уравнений
Рассмотрим уравнение вида LaTeX formula: ax=b.
1. Если  LaTeX formula: a\neq 0 и LaTeX formula: b\in R, то уравнение имеет только одно решение: LaTeX formula: x=\frac{b}{a}.
Например, LaTeX formula: x(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2},  LaTeX formula: x(\sqrt{2}-1) =\sqrt{2} (\sqrt{2}-1) ,  LaTeX formula: x=\sqrt{2}.
2. Если LaTeX formula: a=0  и  LaTeX formula: b=0, то уравнение LaTeX formula: ax=b  примет вид  LaTeX formula: 0\cdot x=0 или LaTeX formula: 0=0. Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной LaTeX formula: x, то решением уравнения LaTeX formula: ax=b  является любое действительное число. Говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений и записывают:  LaTeX formula: x\in R.
Например, уравнение LaTeX formula: 2x-5=x+x-5  имеет бесконечное множество решений. 
3. Если  LaTeX formula: a=0 и LaTeX formula: b\neq 0, то LaTeX formula: 0\cdot x=b  или LaTeX formula: 0=b.Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет. Записывают:  LaTeX formula: x\in \O .
Например, уравнение  LaTeX formula: 2x-5=x+x не имеет решений. 
Решение систем линейных уравнений
Решать системы линейных уравнений можно:
1) складывая или вычитая уравнения системы;
2) выражая переменную из одного уравнения системы, и подставляя ее в другое уравнение.
Исследование систем линейных уравнений
Рассмотрим прямые LaTeX formula: y=k_{1}x+b_{1}  и  LaTeX formula: y=k_{2}x+b_{2} и систему линейных уравнений  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} y=k_{1}x+b_{1} ;& \\ y=k_{2}x+b_{2}.& \end{matrix}\right.
1. Система имеет одно решение (прямые пересекаются), если 
LaTeX formula: k_{1}\neq k_{2}.   (5.1)
2. Система не имеет решений (прямые параллельны), если 
LaTeX formula: k_{1}= k_{2}   (5.2.1)  и  LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2}.   (5.2.2)
3. Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если
 LaTeX formula: k_{1}= k_{2}  и LaTeX formula: b_{1}= b_{2}.   (5.3)
Пример 1. Найдите все значения LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, при которых уравнение LaTeX formula: 5ax-2b=x  имеет бесконечно много решений.
Решение. Приведем уравнение к виду LaTeX formula: kx = b. Запишем:
LaTeX formula: 5ax-x=2b , LaTeX formula: x(5a-1)=2b
Уравнение имеет бесконечно много решений, если LaTeX formula: 5a-1=0  и LaTeX formula: 2b=0, то есть если LaTeX formula: a=0,2  и  LaTeX formula: b=0.
Ответ: LaTeX formula: a=0,2;  LaTeX formula: b=0.
Пример 2. Найдите сумму координат точки пересечения прямых LaTeX formula: 3x-5y=27  и  LaTeX formula: 2x+3y=18.
Решение. Координаты точки пересечения заданных прямых найдем, решая систему уравнений  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 3x-5y=27 , & \\ 2x+3y=18. & \end{matrix}\right.
Выполним ряд преобразований.
1. Умножим первое уравнение системы на LaTeX formula: 3, а второе на LaTeX formula: 5.Получим:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 9x- 15y=81,& \\ 10x+15y=90. & \end{matrix}\right.
2. Сложим уравнения системы: LaTeX formula: 19x=171, откуда  LaTeX formula: x=9.
3. Подставим значение LaTeX formula: x=9  в любое уравнение системы, например, в уравнение LaTeX formula: 3x-5y=27, и найдем значениеLaTeX formula: y: LaTeX formula: 27-5y=27, откуда  LaTeX formula: y=0.
4. Найдем сумму координат точки пересечения заданных прямых: LaTeX formula: 9+0=9.
Ответ: LaTeX formula: 9.
Пример 3. Найдите все значения LaTeX formula: a, при которых система уравнений LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} -1,4x+0,4ay+1=0,\\ (1-0,75a)x+ay-1,75=0\\ \end{array} \right.  не имеет решений.
Решение. Запишем каждое уравнение системы в виде  LaTeX formula: y=kx+b.
Преобразуем первое уравнение системы, предварительно умножив его на LaTeX formula: 5:
LaTeX formula: -7x+2ay+5=0,2ay=7x-5,y=\frac{7}{2a}x-\frac{5}{2a}. 
Получим:  LaTeX formula: k_{1}= \frac{7}{2a}, LaTeX formula: b_{1}= LaTeX formula: -\frac{5}{2a}.
Преобразуем второе уравнение системы, предварительно умножив его на LaTeX formula: 4:
 LaTeX formula: (4-3a)x+4ay=7,4ay=(3a-4)x+7,y=\frac{3a-4}{4a}x+\frac{7}{4a}. 
Получим:  LaTeX formula: k_{2}=LaTeX formula: \frac{3a-4}{4a}, LaTeX formula: b_{2}=LaTeX formula: \frac{7}{4a}.
Рассмотрим два случая.
1. Если LaTeX formula: a\neq 0,то исходная система не имеет решений, если выполняются условия 5.2.1 и 5.2.2:
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} & \frac{7}{2a}=\frac{3a-4}{4a},\\ & -\frac{5}{2a}\neq \frac{7}{4a}; \end{matrix}\right.    LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} & 7=\frac{3a-4}{2},\\ & -5\neq \frac{7}{2}; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} 3a-4=14,\\ -5\neq 3,5;\\ \end{array} \right. LaTeX formula: \left\{ \begin{array}{lcl} a=6,\\ -5\neq 3,5.\\ \end{array} \right.
2. Рассмотрим исходную систему при условии, чтоLaTeX formula: a=0. Подставляя значение LaTeX formula: a=0  в каждое уравнение этой системы, получим:  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 7x=5,& \\ 4x=7; & \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x=\frac{5}{7} ,& \\ x=\frac{7}{4}. & \end{matrix}\right.  Очевидно, что, при условии, что LaTeX formula: a=0 система не имеет решений, так как  LaTeX formula: \frac{5}{7}\neq \frac{7}{4}.
Ответ:LaTeX formula: \left \{ 0; 6 \right.\left. \right \}.
Линейное уравнение может не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечное множество решений. Но не может, например, иметь два или три решения.
formula