Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
(5.1)
(5.2.1) и
(5.2.2)
и
(5.3)
,
.
Уравнение вида
называют линейным. Любое уравнение первой степени с одной переменной в результате равносильных преобразований можно представить в виде
и, если
найти его решение: 




Например, 

Исследование решений линейных уравнений
Рассмотрим уравнение вида 

1. Если
и
то уравнение имеет только одно решение: 



Например,




2. Если
и
то уравнение
примет вид
или
Поскольку получили верное равенство, не зависящее от значений переменной
то решением уравнения
является любое действительное число. Говорят, что уравнение имеет бесконечное множество решений и записывают: 








Например, уравнение
имеет бесконечное множество решений.

3. Если
и
то
или
Поскольку полученное числовое равенство не верно, то уравнение корней не имеет. Записывают: 





Например, уравнение
не имеет решений.

Решение систем линейных уравнений
Решать системы линейных уравнений можно:
1) складывая или вычитая уравнения системы;
2) выражая переменную из одного уравнения системы, и подставляя ее в другое уравнение.
Исследование систем линейных уравнений
Рассмотрим прямые
и
и систему линейных уравнений 



1. Система имеет одно решение (прямые пересекаются), если

2. Система не имеет решений (прямые параллельны), если


3. Система имеет бесконечное множество решений (прямые совпадают), если


Пример 1. Найдите все значения
и
при которых уравнение
имеет бесконечно много решений.



Решение. Приведем уравнение к виду
Запишем:



Уравнение имеет бесконечно много решений, если
и
то есть если
и 




Ответ:
;
.


Пример 2. Найдите сумму координат точки пересечения прямых
и 


Решение. Координаты точки пересечения заданных прямых найдем, решая систему уравнений 

Выполним ряд преобразований.
1. Умножим первое уравнение системы на
а второе на
Получим: 



2. Сложим уравнения системы:
откуда 


3. Подставим значение
в любое уравнение системы, например, в уравнение
и найдем значение
откуда 





4. Найдем сумму координат точки пересечения заданных прямых: 

Ответ: 

Пример 3. Найдите все значения
при которых система уравнений
не имеет решений.


Решение. Запишем каждое уравнение системы в виде 

Преобразуем первое уравнение системы, предварительно умножив его на 


Получим:




Преобразуем второе уравнение системы, предварительно умножив его на 


Получим: 






Рассмотрим два случая.




2. Рассмотрим исходную систему при условии, что
Подставляя значение
в каждое уравнение этой системы, получим:
Очевидно, что, при условии, что
система не имеет решений, так как 





Ответ:

Линейное уравнение может не иметь решений, иметь только одно решение или иметь бесконечное множество решений. Но не может, например, иметь два или три решения.