Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Арксинусом числа LaTeX formula: a\epsilon [-1;1] называют такое число LaTeX formula: x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ], синус которого равен LaTeX formula: a, т. е. если LaTeX formula: sinx=a, то LaTeX formula: arcsin a = x.
Арккосинусом числа LaTeX formula: a\epsilon [-1;1] называют такое число LaTeX formula: x\epsilon [0;\pi], косинус которого равен LaTeX formula: a, т. е. если LaTeX formula: cosx=aLaTeX formula: arccosa=x.
Арктангенсом числа LaTeX formula: a\epsilon R называют такое число LaTeX formula: x \epsilon \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ), тангенс которого равен LaTeX formula: a, т. е. если LaTeX formula: tgx=a, то LaTeX formula: arctga=x.
Арккотангенсом числа LaTeX formula: a\epsilon R называют такое число LaTeX formula: x\epsilon (0;\pi), котангенс которого равен LaTeX formula: a, т. е. если LaTeX formula: ctgx=a, то LaTeX formula: arcctga=x
Например: 1) LaTeX formula: arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}, так как LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}}{2}\epsilon [-1;1] и LaTeX formula: sin\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2};
2) LaTeX formula: arccos1,1 не определен, так как LaTeX formula: 1,1\not{\epsilon }[-1;1].
Справедливы равенства:
LaTeX formula: sin(arcsinx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon [-1;1]; (4.35)
LaTeX formula: cos(arccosx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon [-1;1]; (4.36)
LaTeX formula: tg(arctgx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon R; (4.37)
LaTeX formula: ctg(arcctgx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon R; (4.38)
LaTeX formula: arcsin(sinx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]; (4.39)
LaTeX formula: arccos(cosx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon [0;\pi]; (4.40)
LaTeX formula: arctg(tgx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon \left ( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ); (4.41)
LaTeX formula: arcctg(ctgx)=x, если LaTeX formula: x\epsilon (0;\pi). (4.42)
Например:
1) по формуле 4.35 LaTeX formula: sin(arcsin0)=0;
2) по формуле 4.39 LaTeX formula: arcsin(sin(-37^{\circ}))=-37^{\circ}
Преобразования функций отрицательного аргумента
LaTeX formula: arcsin(-\alpha)=-arcsin\alpha(4.43)
LaTeX formula: arccos(-\alpha)=\pi-arccos\alpha(4.44)
LaTeX formula: arctg(-\alpha)=-arctg\alpha(4.45)
LaTeX formula: arcctg(-\alpha)=\pi-arcctg\alpha(4.46)
Например: 1) по формуле 4.43 LaTeX formula: arcsin(-1)=-arcsin1=-\frac{\pi }{2}
2) по формуле 4.45 LaTeX formula: arctg(-1)=-arctg1=-\frac{\pi }{4};
3) по формуле 4.46 LaTeX formula: arcctg(-1)=\pi -arcctg1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4};
4) по формуле 4.44 LaTeX formula: arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})=\pi-arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}
Пример 1. Найдите значение LaTeX formula: tg\left ( arccos\left ( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )-\frac{\pi }{2} \right ).
Решение. Применим формулу 4.44 и введем подстановку:
LaTeX formula: tg\left ( arccos\left ( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )-\frac{\pi }{2} \right )=LaTeX formula: tg\left ( \pi -arccos\left\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\pi }{2} \right )=LaTeX formula: tg\left ( \frac{\pi }{2}-arccos\frac{2\sqrt{5}}{5} \right )LaTeX formula: =\begin{vmatrix} arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}=\alpha & \\ cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}& \end{vmatrix}=ctg\alpha.
Найдем LaTeX formula: ctg\alpha, зная что LaTeX formula: cos\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}
Согласно формуле LaTeX formula: 1+tg^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}, получим: LaTeX formula: 1+tg^{2}\alpha=\left ( \frac{5}{2\sqrt{5}} \right )^{2}, откуда LaTeX formula: tg^{2}\alpha=\frac{5}{4}-1LaTeX formula: tg^{2}\alpha=\frac{1}{4}LaTeX formula: tg\alpha=\frac{1}{2}LaTeX formula: ctg\alpha=2.
Ответ: 2.
Пример 2. Найдите значение выражения LaTeX formula: arccos(cos940^{\circ}).
Решение. Учитывая основной период функции LaTeX formula: y=cosx и область определения функции LaTeX formula: y=arccosxпо формуле 4.40 получим: LaTeX formula: arccos(cos(940^{\circ}-1080^{\circ}))=arccos(cos(-140^{\circ}))LaTeX formula: =arccos(cos140^{\circ})=140^{\circ}.
Ответ: LaTeX formula: 140^{\circ}.
Применяя равенства LaTeX formula: arcsin(sinx)LaTeX formula: =x и LaTeX formula: arccos(cosx)=x, следите за тем, чтобы значение переменной LaTeX formula: x удовлетворяло требованиям: LaTeX formula: x\epsilon \left [ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ] в первом случае и LaTeX formula: x\epsilon \left [ 0;\pi ] во втором случае.
formula