Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Координатная окружность
Координатной окружностью (тригонометрической или единичной) называют окружность, на которой выбрано начало отсчета и указано направление обхода. На рисунке 4.1 изображена координатная окружность с центром в точке LaTeX formula: O(0;0) , радиус которой равен 1, а точка А – начало отсчета.
Против часовой стрелки выбрано положительное направление обхода, следовательно, по часовой стрелке – отрицательное. Оси координат делят координатную плоскость на I, II, III и IV координатные четверти, а окружность – на четыре дуги, которые называют I, II, III и IV четвертями окружности. 
Основной единицей измерения углов считают угол в 1 градус (обозначают LaTeX formula: 1^{\circ}). 
Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна ее радиусу. 
Один радиан равен LaTeX formula: \frac{180}{\pi } градусов, а один градус равен LaTeX formula: \frac{\pi}{180} радиан. Следовательно, n рад = LaTeX formula: \frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi }LaTeX formula: n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180}рад.
Например: LaTeX formula: 90^{\circ}= 0,5 рад, LaTeX formula: 2\pi рад = LaTeX formula: 360^{\circ}.
Рассмотрим координатную окружность радиуса LaTeX formula: R=1 с центром в точке О (рис. 4.2). Ординату LaTeX formula: y_{\alpha } точки LaTeX formula: P_{\alpha }, полученной при повороте точки LaTeX formula: P_{0}(1;0) вокруг начала координат на LaTeX formula: \alpha радиан, называют синусом числа LaTeX formula: \alpha. Абсциссу LaTeX formula: x_{\alpha } точки LaTeX formula: P_{\alpha }, полученной при повороте точки LaTeX formula: P_{0}(1;0) вокруг начала координат на LaTeX formula: \alpha радиан, называют косинусом числа LaTeX formula: \alpha. Записывают: LaTeX formula: y_{\alpha }=sin_{\alpha }LaTeX formula: x_{\alpha }=cos_{\alpha }.
Если LaTeX formula: \alpha – угол первой координатной четверти, то точка LaTeX formula: P_{\alpha } имеет положительные координаты и, следовательно, LaTeX formula: sin\alpha>0 и LaTeX formula: cos\alpha>0, а также LaTeX formula: tg\alpha>0 и LaTeX formula: ctg\alpha>0
Если точка LaTeX formula: P_{\beta } находится во второй координатной четверти, то абсцисса этой точки отрицательна, а ордината – положительна и, следовательно, LaTeX formula: sin\alpha>0, а LaTeX formula: cos\alpha<0, тогда LaTeX formula: tg\alpha<0 и LaTeX formula: ctg\alpha<0. Аналогично определяют знаки тригонометрических функций углов третьей и четвертой координатных четвертей. Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических величин. 
На рисунке 4.3 приведены значения функций синус, косинус и тангенс аргументов 0, LaTeX formula: \frac{\pi }{6}LaTeX formula: \frac{\pi }{4}LaTeX formula: \frac{\pi }{3}LaTeX formula: \frac{\pi }{2}LaTeX formula: \pi и LaTeX formula: \frac{3\pi }{2}.
Основные тригонометрические тождества
К основным тригонометрическим тождествам относят формулы, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
LaTeX formula: sin^{2}x +cos^{2}x =1(4.1)
LaTeX formula: tgx=\frac{sinx}{cosx}; (4.2)
LaTeX formula: ctgx=\frac{cosx}{sinx}; (4.3)
LaTeX formula: tgx\cdot ctgx=1; (4.4)
LaTeX formula: 1+tg^{2}x=\frac{1}{cos^{2}x}; (4.5)
LaTeX formula: 1+ctg^{2}x=\frac{1}{sin^{2}x}; (4.6)
Формула 4.1 справедлива при любых значениях х. Формулы 4.24.34.44.54.6 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс и котангенс определены. 
Формулы сложения
Формулы 4.7 – 4.12 позволяют представить тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов через функции этих аргументов или найти тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов, зная значения функций каждого аргумента.
LaTeX formula: sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny(4.7)
LaTeX formula: sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny; (4.8)
LaTeX formula: cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny(4.9)
LaTeX formula: cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny(4.10)
LaTeX formula: tg(x+y)=\frac{tgx+tgy}{1-tgx\cdot tgy}(4.11)
LaTeX formula: tg(x-y)=\frac{tgx-tgy}{1+tgx\cdot tgy}(4.12)
Формулы 4.74.84.94.10 справедливы при любых значениях х и у. Формулы 4.11 и 4.12 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы двойного аргумента
Формулы 4.13 и 4.14 позволяют уменьшить или увеличить аргумент тригонометрической функции в два раза.
LaTeX formula: sin2x=2sinxcosx(4.13)
LaTeX formula: cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x(4.14)
Формулы понижения степени
Формулы 4.15 и 4.16 позволяют понизить степень функций косинус и синус. Часто эти формулы называют формулами половинного аргумента.
LaTeX formula: cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x)(4.15)
LaTeX formula: sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x)(4.16)
Формулы преобразования суммы в произведение
LaTeX formula: sinx+siny=2sin\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}(4.17)
LaTeX formula: sinx-siny=2sin\frac{x-y}{2}cos\frac{x+y}{2}(4.18)
LaTeX formula: cosx+cosy=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}(4.19)
LaTeX formula: cosx-cosy=-2sin\frac{x+y}{2}sin\frac{x-y}{2}(4.20)
LaTeX formula: tgx+tgy=\frac{sin(x+y)}{cosxcosy}(4.21)
LaTeX formula: tgx-tgy=\frac{sin(x-y)}{cosxcosy}(4.22)
Формулы 4.21 и 4.22 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы преобразования произведения в сумму
LaTeX formula: sinxsiny=\frac{1}{2}(cos(x-y)-cos(x+y))(4.23)
LaTeX formula: cosxcosy=\frac{1}{2}(cos(x-y)+cos(x+y))(4.24)
LaTeX formula: sinxcosy=\frac{1}{2}(sin(x-y)+sin(x+y))(4.25)
Универсальная тригонометрическая подстановка 
LaTeX formula: sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}(4.26)
LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}; (4.27)
LaTeX formula: tgx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1-tg^{2}\frac{x}{2}}(4.28)
Формулы 4.264.274.28 позволяют выразить функции синус, косинус и тангенс некоторого аргумента через тангенс половинного аргумента. Формулы 4.264.274.28 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Преобразование функций отрицательных аргументов
Преобразования отрицательных аргументов тригонометрических функций основано на том, что функция косинус является четной, а функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными.
LaTeX formula: sin(-\alpha )=-sin\alpha(4.29)
LaTeX formula: cos(-\alpha )=cos\alpha; (4.31)
LaTeX formula: tg(-\alpha )=-tg\alpha(4.30)
LaTeX formula: ctg(-\alpha )=-ctg\alpha. (4.32)
Формулы приведения
Формулы приведения позволяют каждую тригонометрическую функцию некоторого аргумента записать как функцию острого угла LaTeX formula: \alpha
Формула П 1. Если аргумент функции имеет вид LaTeX formula: (\pi \pm \alpha ), то необходимо: 
1) поставить знак исходной функции, считая угол LaTeX formula: \alpha острым; 
2) функцию переписать; 
3) LaTeX formula: \pi отбросить, LaTeX formula: \alpha переписать.
Формула П 2. Если аргумент функции имеет вид LaTeX formula: \left ( \frac{\pi }{2}\pm \alpha \right ) или LaTeX formula: \left ( \frac{3\pi }{2}\pm \alpha \right ), то необходимо: 
1) поставить знак исходной функции, считая угол LaTeX formula: \alpha острым; 
2) функцию заменить на кофункцию; 
3) LaTeX formula: \frac{\pi }{2} или LaTeX formula: \frac{3\pi }{2} отбросить, LaTeX formula: \alpha переписать.
Поставить знак исходной функции – значит установить – положительная эта функция или отрицательная. Если функция положительная, то после знака равно поставить «+», а если отрицательная, то поставить знак «–». 
Функции синус и косинус, а также тангенс и котангенс называют кофункциями.
Например: 1) Покажем, что LaTeX formula: cos(\pi +3\alpha )=-cos3\alpha. Так как аргумент функции косинус LaTeX formula: (\pi +3\alpha ) находится в третьей координатной четверти (угол LaTeX formula: 3\alpha считаем острым) и LaTeX formula: cos(\pi +3\alpha )< 0 (рис 4.4), то мы поставили после знака равно «–» и согласно формуле П 1 записали: LaTeX formula: -cos3\alpha.
2) Покажем, что LaTeX formula: sin(0,5\pi +4\beta ) =cos4\beta. Так как аргумент функции синус LaTeX formula: (0,5\pi +4\beta ) находится во второй координатной четверти (рис. 4.4) и LaTeX formula: sin(0,5\pi +4\beta )>0, то согласно  формуле П 2 записали: LaTeX formula: cos4\beta.
Если функция возведена в четную степень, то, применяя формулы приведения, можем не определять знак значения функции: LaTeX formula: cos^{2}\frac{5\pi }{4}=cos^{2}\left ( \pi +\frac{\pi }{4} \right )=cos^{2}\frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}.
Пример 1. Преобразуйте в произведение сумму LaTeX formula: cos2\alpha -cos3\alpha -cos4\alpha +cos5\alpha.
Решение. Запишем выражение в виде LaTeX formula: A=(cos2\alpha-cos4\alpha )+(cos5\alpha-cos3\alpha).
Применяя формулы 4.20 и 4.29, получим:
LaTeX formula: A=-2sin\frac{2\alpha +4\alpha }{2}sin\frac{2\alpha -4\alpha }{2}-2sin\frac{5\alpha -3\alpha }{2}sin\frac{5\alpha +3\alpha }{2}=LaTeX formula: -2sin3\alpha sin(-\alpha )-2sin\alpha sin4\alpha =2sin3\alpha sin\alpha -2sin\alpha sin4\alpha =2sin\alpha (sin3\alpha -sin4\alpha )LaTeX formula: (sin3\alpha-sin4\alpha).
Применяя формулы 4.18 и 4.29, получим:
LaTeX formula: A=2sin\alpha \cdot 2sin\frac{3\alpha -4\alpha }{2}cos\frac{3\alpha +4\alpha }{2}=4sin\alpha sin\left ( -\frac{\alpha }{2} \right )cos\frac{7\alpha }{2}LaTeX formula: =-4sin\frac{\alpha }{2}sin\alpha cos\frac{7\alpha }{2}.
Ответ: LaTeX formula: -4sin\frac{\alpha }{2}sin\alpha cos\frac{7\alpha }{2}.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{ctg^{-1}2\alpha cos^{-1}2\beta -ctg^{-1}2\beta cos^{-1}2\alpha }{cos^{-1}2\alpha +cos^{-1}2\beta }.
Решение. Применяя формулу 4.2, получим:
LaTeX formula: \frac{\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha cos2\beta }-\frac{sin2\beta }{cos2\beta cos2\alpha }}{\frac{1}{cos2\alpha }+\frac{1}{cos2\beta }}=\frac{\frac{sin2\alpha -sin2\beta }{cos2\alpha cos2\beta }}{\frac{cos2\beta +cos2\alpha }{cos2\alpha cos2\beta }}=LaTeX formula: \frac{sin2\alpha -sin2\beta }{cos2\alpha cos2\beta }\cdot \frac{cos2\alpha cos2\beta }{cos2\beta +cos2\alpha }=\frac{sin2\alpha-sin2\beta }{cos2\alpha +cos2\beta }
Применим формулы 4.184.19:
LaTeX formula: \frac{2sin\frac{2\alpha -2\beta }{2}cos\frac{2\alpha +2\beta }{2}}{2cos\frac{2\alpha +2\beta }{2}cos\frac{2\alpha -2\beta }{2}}=\frac{sin(\alpha -\beta )}{cos(\alpha -\beta )}=tg(\alpha -\beta ).
Ответ: LaTeX formula: tg(\alpha -\beta ).
Пример 3. Докажите тождество LaTeX formula: sin^{6}\frac{\alpha }{2}-cos^{6}\frac{\alpha }{2}=-\frac{1}{4}cos\alpha (4-sin^{2}\alpha ).
Решение. Выполним преобразования левой части тождества, применяя формулу разности кубов и формулу 4.14:
LaTeX formula: sin^{6}\frac{\alpha }{2}-cos^{6}\frac{\alpha }{2}LaTeX formula: =\left ( sin^{2}\frac{\alpha }{2} -cos^{2}\frac{\alpha }{2}\right )\left ( sin^{4}\frac{\alpha }{2}+sin^{2}\frac{\alpha }{2} cos^{2}\frac{\alpha }{2}+cos^{4}\frac{\alpha }{2}\right )=LaTeX formula: -cos\alpha \left ( sin^{4}\frac{\alpha }{2} +sin^{2}\frac{\alpha }{2}cos^{2}\frac{\alpha }{2}+cos^{4}\frac{\alpha }{2}\right )=A.
Преобразуем выражение, стоящее в скобке. Выделив квадрат двучлена и, применяя формулы 4.1 и 4.13, получим:
LaTeX formula: sin^{4}\frac{\alpha }{2}+2sin^{2}\frac{\alpha }{2}cos^{2}\frac{\alpha }{2}+cos^{4}\frac{\alpha }{2}-sin^{2}\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}=LaTeX formula: \left ( sin^{2} \frac{\alpha }{2}+cos^{2}\frac{\alpha }{2}\right )^{2}-\left ( \frac{1}{2}\cdot 2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2} \right )^{2}=1-\frac{1}{4}sin^{2}\alpha
Тогда LaTeX formula: A=-cos\alpha \frac{4-sin^{2}\alpha }{4}=-\frac{1}{4}cos\alpha (4-sin^{2}\alpha ).
Ответ: Тождество доказано.
Пример 4. Докажите тождество LaTeX formula: \frac{0,5cos(2\alpha -3\pi )}{sin^{2}\left ( \alpha +\frac{5\pi }{4} \right )}=ctg^{-1}\left ( \alpha -\frac{5\pi }{4} \right )
Решение. 1. Выполним преобразования левой части тождества, последовательно применяя формулы 4.164.144.13, формулы приведения П 1 и П 2, формулы сокращенного умножения и вычитая из аргументов функций синус и косинус их основные периоды:
LaTeX formula: \frac{cos(3\pi -2\alpha )}{2sin^{2}\left ( \frac{5\pi }{4} +\alpha \right )}=\frac{cos(\pi -2\alpha )}{2\cdot \frac{1}{2}\left ( 1-cos2\cdot \left ( \frac{5\pi }{4}+\alpha \right ) \right )}=-\frac{cos2\alpha }{1-cos\left ( \frac{5\pi }{2}+2\alpha \right )}LaTeX formula: =\frac{-cos2\alpha }{1-cos\left ( \frac{\pi }{2}+2\alpha \right )}=\frac{-cos2\alpha }{1+sin2\alpha }=\frac{-cos^{2}\alpha +sin^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha cos\alpha }LaTeX formula: =LaTeX formula: =\frac{-(cos\alpha -sin\alpha )(cos\alpha +sin\alpha) }{(sin\alpha +cos\alpha )^{2}}=\frac{sin\alpha -cos\alpha }{sin\alpha+ cos\alpha }.
2. Выполним преобразования правой части тождества. Вычитая из аргумента функции тангенс ее основной период и применяя формулы 4.24.8 и 4.10, получим:
LaTeX formula: tg\left ( \alpha -\frac{5\pi }{4} \right )=tg\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right )=\frac{sin\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right )}{cos\left ( \alpha -\frac{\pi }{4} \right )}LaTeX formula: =\frac{sin\alpha \frac{\sqrt{2}}{2}-cos\alpha \frac{\sqrt{2}}{2}}{cos\alpha \frac{\sqrt{2}}{2}+sin\alpha \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}(sin\alpha -cos\alpha )}{\frac{\sqrt{2}}{2}(cos\alpha +sin\alpha )}LaTeX formula: =\frac{sin\alpha -cos\alpha }{cos\alpha +sin\alpha }
Ответ: тождество доказано.
Пример 5. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{cos^{2}\left ( \pi +\frac{\alpha }{4} \right )\left ( 1+tg^{2} \left ( \frac{3\alpha }{4} -\frac{3\pi }{2}\right )\right )sin\left ( \frac{9\pi }{2} +\frac{\alpha }{2}\right )}{tg^{2}\left ( \frac{\alpha }{4}-\frac{15\pi }{2} \right )-tg^{2}\left ( \frac{3\alpha }{4} -\frac{17\pi }{2}\right )}.
Решение. Выполним преобразования данного выражения, вычитая из аргументов тригонометрических функций их основные периоды, применяя формулы приведения П 1, П 2 и формулы 4.54.64.174.18. Получим:
LaTeX formula: \frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}\left ( 1+tg^{2} \left ( \frac{3\alpha }{4}-\frac{\pi }{2} \right )\right )sin\left ( \frac{\pi }{2} +\frac{\alpha }{2}\right )}{tg^{2}\left ( \frac{\pi }{2}-\frac{\alpha }{4} \right )-tg^{2}\left ( \frac{\pi }{2} -\frac{3\alpha }{4}\right )}LaTeX formula: =\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}\left ( 1+ctg^{2}\left ( \frac{3\alpha }{4} \right ) \right )cos\frac{\alpha }{2}}{ctg^{2}\frac{\alpha }{4}-ctg^{2}\frac{3\alpha }{4}+1-1}LaTeX formula: =\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}\cdot \frac{1}{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}\cdot cos\frac{\alpha }{2}}{\frac{1}{sin^{2}\frac{\alpha }{4}}-\frac{1}{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}}LaTeX formula: =\frac{\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{2}}{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}}{\frac{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}-sin^{2}\frac{\alpha }{4}}{sin^{2}\frac{\alpha }{4}sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}}LaTeX formula: =\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{4}}{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}\cdot \frac{sin^{2}\frac{\alpha }{4}sin^{2}\frac{3\alpha }{4}}{sin^{2}\frac{3\alpha }{4}-sin^{2}\frac{\alpha }{4}}LaTeX formula: =\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{2}sin^{2}\frac{\alpha }{4}}{\left ( sin\frac{3\alpha }{4} -sin\frac{\alpha }{4}\right )\left ( sin\frac{3\alpha }{4}+sin\frac{\alpha }{4} \right )}LaTeX formula: =LaTeX formula: =\frac{cos^{2}\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{2}sin^{2}\frac{\alpha }{4}}{4sin\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{2}sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{4}}LaTeX formula: =\frac{cos\frac{\alpha }{4}sin\frac{\alpha }{4}}{4sin\frac{\alpha }{2}}=\frac{cos\frac{\alpha }{4}sin\frac{\alpha }{4}}{8sin\frac{\alpha }{4}cos\frac{\alpha }{4}}=\frac{1}{8}.
ОтветLaTeX formula: \frac{1}{8}.
Пример 6. Преобразуйте в произведение LaTeX formula: 1-3ctg^{-2}(\alpha +270^{\circ}).
Решение. Применяя формулу 4.4, формулу приведения П 2, формулу 4.3 и формулу разности квадратов, получим:
LaTeX formula: 1-\frac{3}{ctg^{2}(\alpha +270^{\circ})}=1-3tg^{2}(\alpha +270^{\circ})=LaTeX formula: 1-3ctg^{2}\alpha=1-\frac{3cos^{2 }\alpha}{sin^{2}\alpha }=\frac{sin^{2}\alpha -3cos^{2}\alpha }{sin^{2}\alpha }=LaTeX formula: \frac{(sin\alpha-\sqrt{3}cos\alpha )(sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha )}{sin^{2}\alpha }
Введем вспомогательный аргумент, предварительно умножив числитель и знаменатель дроби на LaTeX formula: \frac{1}{4}:
LaTeX formula: \frac{\frac{1}{2}(sin\alpha -\sqrt{3}cos\alpha )\frac{1}{2}(sin\alpha +\sqrt{3}cos\alpha )}{\frac{1}{4}sin^{2}\alpha }LaTeX formula: =\frac{4\left ( \frac{1}{2}sin\alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha \right )\left ( \frac{1}{2}sin\alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}cos\alpha \right )}{sin^{2}\alpha }=A
Так как LaTeX formula: cos60^{\circ}=\frac{1}{2}, а LaTeX formula: sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}, то LaTeX formula: A=\frac{4sin(\alpha -60^{\circ})sin(\alpha +60^{\circ})}{sin^{2}\alpha }.
Ответ: LaTeX formula: \frac{4sin(\alpha -60^{\circ})sin(\alpha +60^{\circ})}{sin^{2}\alpha }.

Пример 7. Докажите справедливость равенства LaTeX formula: \frac{cos28^{\circ}cos56^{\circ}}{sin178^{\circ}}+\frac{cos2^{\circ}cos4^{\circ}}{sin152^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}sin38^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}.
Решение. Выполним преобразования левой части равенства, применяя формулы П 1, П 2, 4.134.17:
LaTeX formula: \frac{cos28^{\circ}cos56^{\circ}}{sin(180^{\circ}-2^{\circ})}+\frac{cos2^{\circ}cos4^{\circ}}{sin(180^{\circ}-28^{\circ})}LaTeX formula: =\frac{cos28^{\circ}cos56^{\circ}}{sin2^{\circ}}+\frac{cos2^{\circ}cos4^{\circ}}{sin28^{\circ}}LaTeX formula: =\frac{2sin28^{\circ}cos28^{\circ}cos56^{\circ}}{2sin2^{\circ}sin28^{\circ}}+\frac{2sin2^{\circ}cos2^{\circ}cos4^{\circ}}{2sin2^{\circ}sin28^{\circ}}LaTeX formula: =\frac{sin56^{\circ}cos56^{\circ}}{2sin2^{\circ}sin28^{\circ}}+\frac{sin4^{\circ}cos4^{\circ}}{2sin2^{\circ}sin28^{\circ}}LaTeX formula: =\frac{2sin56^{\circ}cos56^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}+\frac{2sin4^{\circ}cos4^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}LaTeX formula: =LaTeX formula: =\frac{sin112^{\circ}+sin8^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}=\frac{2sin60^{\circ}cos52^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}LaTeX formula: =\frac{\frac{2\sqrt{3}}{2}cos(90^{\circ}-38^{\circ})}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}sin38^{\circ}}{4sin2^{\circ}sin28^{\circ}}.
Ответ: Равенство справедливо.
Пример 8. Вычислите LaTeX formula: cos\left ( 2\alpha +\frac{15\pi }{4} \right ), если LaTeX formula: ctg\alpha =\frac{2}{3}.
Решение. Вычтем из аргумента функции косинус ее два основных периода и применим формулу 4.10. Получим:
LaTeX formula: A=cos\left ( 2\alpha +\frac{15\pi }{4} -4\pi\right )=cos\left ( 2\alpha -\frac{\pi }{4} \right )=LaTeX formula: cos2\alpha cos\frac{\pi }{4}+sin2\alpha sin\frac{\pi }{4}=cos2\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+sin2\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}}{2}(cos2\alpha +sin2\alpha ).
Так как LaTeX formula: tg\alpha \cdot ctg\alpha =1 и LaTeX formula: ctg\alpha =\frac{2}{3}, то LaTeX formula: tg\alpha =\frac{3}{2}.
Согласно фор-мулам 4.27 и 4.26 найдем значения LaTeX formula: cos2\alpha =\frac{1-\frac{9}{4}}{1+\frac{9}{4}}=\frac{-\frac{5}{4}}{\frac{13}{4}}=-\frac{5}{13} и LaTeX formula: sin2\alpha=\frac{3}{\frac{13}{4}}=\frac{12}{13}.
Тогда LaTeX formula: A=\frac{\sqrt{2}}{2}\left ( -\frac{5}{13}+\frac{12}{13} \right )=\frac{7\sqrt{2}}{26}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{7\sqrt{2}}{26}.
Пример 9. Вычислите LaTeX formula: 1+5sin2\alpha -\frac{3}{cos2\alpha }, если LaTeX formula: ctg\alpha =-\frac{1}{2}.
Решение. Применяя формулы 4.26 и 4.27, найдем LaTeX formula: sin2\alpha и LaTeX formula: cos2\alpha, зная, что LaTeX formula: tg\alpha=-2.
Тогда LaTeX formula: sin2\alpha=\frac{2\cdot (-2)}{1+(-2)^{2}}=-\frac{4}{5}LaTeX formula: cos2\alpha=\frac{1- (-2)^{2}}{1+(-2)^{2}}=-\frac{3}{5}.
Подставляя значения LaTeX formula: sin2\alpha и LaTeX formula: cos2\alpha в выражение LaTeX formula: 1+5sin2\alpha -\frac{3}{cos2\alpha }, получим:
LaTeX formula: 1+5\cdot \left ( -\frac{4}{5} \right )+3\cdot \frac{5}{3}=1-4+5=2.
Ответ: 2.
Пример 10. Найдите LaTeX formula: \beta -\alpha, если LaTeX formula: ctg\alpha =4, LaTeX formula: ctg\beta =\frac{5}{3} и LaTeX formula: 0< \alpha < \frac{\pi }{2}LaTeX formula: 0< \beta < \frac{\pi }{2}.
Решение. Если LaTeX formula: ctg\alpha =4LaTeX formula: ctg\beta =\frac{5}{3} то LaTeX formula: tg\alpha =\frac{1}{4}LaTeX formula: tg \beta =\frac{3}{5}
По формуле 4.12 получим:
LaTeX formula: tg(\beta -\alpha )=\frac{\frac{3}{5}-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}}=\frac{7}{23}, откуда LaTeX formula: \beta -\alpha=arctg\frac{7}{23}+\pi n, n\epsilon Z.
Так как LaTeX formula: 0< \alpha < \frac{\pi }{2} и LaTeX formula: 0< \beta < \frac{\pi }{2}, то при LaTeX formula: n=0 получим: LaTeX formula: \beta -\alpha =arctg\frac{7}{23}.
Ответ: LaTeX formula: arctg\frac{7}{23}.
Пример 11. Найдите LaTeX formula: ctg^{-1}\alpha +tg^{-1}\alpha, если LaTeX formula: tg^{2}\alpha +ctg^{2}\alpha =7 и LaTeX formula: \alpha \epsilon (270^{\circ};360^{\circ}).
Решение. Запишем LaTeX formula: ctg^{-1}\alpha +tg^{-1}\alpha =tg\alpha +ctg\beta
Пусть LaTeX formula: tg\alpha +ctg\alpha=x. Возводя обе части равенства в квадрат, получим: LaTeX formula: tg^{2}\alpha +2tg\alpha ctg\alpha+ctg^{2}\alpha =x^{2}.
Зная, что LaTeX formula: tg\alpha ctg\alpha =1, а LaTeX formula: tg^{2}\alpha + ctg^{2}\alpha =7, запишем LaTeX formula: x^{2}=7+2LaTeX formula: x^{2}=9, откуда LaTeX formula: x=\pm 3.
Поскольку LaTeX formula: \alpha \epsilon (270^{\circ};360^{\circ}), то LaTeX formula: tg\alpha < 0 и LaTeX formula: ctg\alpha < 0. Следовательно, LaTeX formula: tg\alpha+ctg\alpha < 0 и LaTeX formula: tg\alpha+ctg\alpha =-3.
Ответ: –3.
Выполняя преобразования и вычисления тригонометрических выражений необходимо помнить, что целое количество основных периодов функции можно вычитать из аргумента функции или прибавлять к ее аргументу:
ФУНКЦИЯ ОСНОВНОЙ ПЕРИОД ФОРМУЛА ( LaTeX formula: n\epsilon Z )
LaTeX formula: y=sinx;        LaTeX formula: 2\pi или LaTeX formula: 360^{\circ};                   LaTeX formula: sin(\alpha \pm 2\pi n)=sin\alpha;
LaTeX formula: y=cosx;        LaTeX formula: 2\pi или LaTeX formula: 360^{\circ};                   LaTeX formula: cos(\alpha \pm 2\pi n)=cos\alpha;
LaTeX formula: y=tgx;           LaTeX formula: \pi или LaTeX formula: 180^{\circ};                    LaTeX formula: tg(\alpha \pm \pi n)=tg\alpha;
LaTeX formula: y=ctgx.        LaTeX formula: \pi или LaTeX formula: 180^{\circ}.                     LaTeX formula: ctg(\alpha \pm \pi n)=ctg\alpha.
formula