Основные формулы тригонометрии
Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
; (4.1)
; (4.2)
; (4.3)
; (4.4)
; (4.5)
; (4.6)
; (4.7)
; (4.8)
; (4.9)
; (4.10)
; (4.11)
. (4.12)
; (4.13)
; (4.14)
; (4.15)
. (4.16)
; (4.17)
; (4.18)
; (4.19)
; (4.20)
; (4.21)
. (4.22)
; (4.23)
; (4.24)
. (4.25)
; (4.26)
; (4.27) 
. (4.28) 
; (4.29)
; (4.31)
; (4.30)
. (4.32)
.
.
. 
.
.
. 
.
. 
.
. 
.
.
.
.
, откуда 
.
; 
или 
; 
;
; или ; 
;
; 
или 
; 
;
. или . 
.
Координатная окружность
Координатной окружностью (тригонометрической или единичной) называют окружность, на которой выбрано начало отсчета и указано направление обхода. На рисунке 4.1 изображена координатная окружность с центром в точке 
, радиус которой равен 1, а точка А – начало отсчета.
, радиус которой равен 1, а точка А – начало отсчета.
Против часовой стрелки выбрано положительное направление обхода, следовательно, по часовой стрелке – отрицательное. Оси координат делят координатную плоскость на I, II, III и IV координатные четверти, а окружность – на четыре дуги, которые называют I, II, III и IV четвертями окружности.
Основной единицей измерения углов считают угол в 1 градус (обозначают 
).
). Радиан определяется как угловая величина дуги, длина которой равна ее радиусу.
Один радиан равен 
градусов, а один градус равен 
радиан. Следовательно, n рад = 
, 
рад.
градусов, а один градус равен радиан. Следовательно, n рад = , рад.Например: 
рад, рад = .
рад, рад = .Рассмотрим координатную окружность радиуса 
с центром в точке О (рис. 4.2). Ординату 
точки 
, полученной при повороте точки 
вокруг начала координат на 
радиан, называют синусом числа . Абсциссу 
точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют косинусом числа . Записывают: 
, 
.
с центром в точке О (рис. 4.2). Ординату точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют синусом числа . Абсциссу точки , полученной при повороте точки вокруг начала координат на радиан, называют косинусом числа . Записывают: , .Если 
– угол первой координатной четверти, то точка имеет положительные координаты и, следовательно, 
и 
, а также 
и 
.
– угол первой координатной четверти, то точка имеет положительные координаты и, следовательно, и , а также и . Если точка 
находится во второй координатной четверти, то абсцисса этой точки отрицательна, а ордината – положительна и, следовательно, , а 
, тогда 
и 
. Аналогично определяют знаки тригонометрических функций углов третьей и четвертой координатных четвертей. Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических величин.
находится во второй координатной четверти, то абсцисса этой точки отрицательна, а ордината – положительна и, следовательно, , а , тогда и . Аналогично определяют знаки тригонометрических функций углов третьей и четвертой координатных четвертей. Для некоторых углов можно записать точные значения их тригонометрических величин. На рисунке 4.3 приведены значения функций синус, косинус и тангенс аргументов 0, 
, 
, 
, 
, и 
.
, , , , и .Основные тригонометрические тождества
К основным тригонометрическим тождествам относят формулы, устанавливающие связь между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента:
; (4.1); (4.2); (4.3); (4.4); (4.5); (4.6)Формула 4.1 справедлива при любых значениях х. Формулы 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс и котангенс определены.
Формулы сложения
Формулы 4.7 – 4.12 позволяют представить тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов через функции этих аргументов или найти тригонометрическую функцию суммы и разности двух аргументов, зная значения функций каждого аргумента.
; (4.7); (4.8); (4.9); (4.10); (4.11). (4.12)Формулы 4.7, 4.8, 4.9, 4.10 справедливы при любых значениях х и у. Формулы 4.11 и 4.12 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы двойного аргумента
Формулы 4.13 и 4.14 позволяют уменьшить или увеличить аргумент тригонометрической функции в два раза.
; (4.13); (4.14)Формулы понижения степени
Формулы 4.15 и 4.16 позволяют понизить степень функций косинус и синус. Часто эти формулы называют формулами половинного аргумента.
; (4.15). (4.16)Формулы преобразования суммы в произведение
; (4.17); (4.18); (4.19); (4.20); (4.21). (4.22)Формулы 4.21 и 4.22 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Формулы преобразования произведения в сумму
; (4.23); (4.24). (4.25)Универсальная тригонометрическая подстановка
; (4.26); (4.27) . (4.28) Формулы 4.26, 4.27, 4.28 позволяют выразить функции синус, косинус и тангенс некоторого аргумента через тангенс половинного аргумента. Формулы 4.26, 4.27, 4.28 верны только при тех значениях аргумента, для которых функция тангенс определена.
Преобразование функций отрицательных аргументов
Преобразования отрицательных аргументов тригонометрических функций основано на том, что функция косинус является четной, а функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными.
; (4.29); (4.31); (4.30). (4.32)Формулы приведения
Формулы приведения позволяют каждую тригонометрическую функцию некоторого аргумента записать как функцию острого угла .
. Формула П 1. Если аргумент функции имеет вид 
, то необходимо:
, то необходимо: 1) поставить знак исходной функции, считая угол острым;
острым; 2) функцию переписать;
3) 
отбросить, переписать.
отбросить, переписать.Формула П 2. Если аргумент функции имеет вид 
или 
, то необходимо:
или , то необходимо: 1) поставить знак исходной функции, считая угол острым;
острым; 2) функцию заменить на кофункцию;
3) или отбросить, переписать.
или отбросить, переписать.Поставить знак исходной функции – значит установить – положительная эта функция или отрицательная. Если функция положительная, то после знака равно поставить «+», а если отрицательная, то поставить знак «–».
Функции синус и косинус, а также тангенс и котангенс называют кофункциями.
Например: 1) Покажем, что 
. Так как аргумент функции косинус 
находится в третьей координатной четверти (угол 
считаем острым) и 
(рис 4.4), то мы поставили после знака равно «–» и согласно формуле П 1 записали: 
.
. Так как аргумент функции косинус находится в третьей координатной четверти (угол считаем острым) и (рис 4.4), то мы поставили после знака равно «–» и согласно формуле П 1 записали: .2) Покажем, что 
. Так как аргумент функции синус 
находится во второй координатной четверти (рис. 4.4) и 
, то согласно формуле П 2 записали: 
.
. Так как аргумент функции синус находится во второй координатной четверти (рис. 4.4) и , то согласно формуле П 2 записали: .Если функция возведена в четную степень, то, применяя формулы приведения, можем не определять знак значения функции: 
.
.Пример 1. Преобразуйте в произведение сумму 
.
.Решение. Запишем выражение в виде 
.
...Ответ: 
.
.Пример 2. Упростите выражение 
.
.Решение. Применяя формулу 4.2, получим:
. .Ответ: 
.
.Пример 3. Докажите тождество 
.
.Решение. Выполним преобразования левой части тождества, применяя формулу разности кубов и формулу 4.14:
.Преобразуем выражение, стоящее в скобке. Выделив квадрат двучлена и, применяя формулы 4.1 и 4.13, получим:
. Тогда 
.
.Ответ: Тождество доказано.
Пример 4. Докажите тождество 
Решение. 1. Выполним преобразования левой части тождества, последовательно применяя формулы 4.16, 4.14, 4.13, формулы приведения П 1 и П 2, формулы сокращенного умножения и вычитая из аргументов функций синус и косинус их основные периоды:
.2. Выполним преобразования правой части тождества. Вычитая из аргумента функции тангенс ее основной период и применяя формулы 4.2, 4.8 и 4.10, получим:
. Ответ: тождество доказано.
Пример 5. Упростите выражение 
.
.Решение. Выполним преобразования данного выражения, вычитая из аргументов тригонометрических функций их основные периоды, применяя формулы приведения П 1, П 2 и формулы 4.5, 4.6, 4.17, 4.18. Получим:
.Ответ: 
.
.Пример 6. Преобразуйте в произведение 
.
.Решение. Применяя формулу 4.4, формулу приведения П 2, формулу 4.3 и формулу разности квадратов, получим:
. Введем вспомогательный аргумент, предварительно умножив числитель и знаменатель дроби на 
:
:. Так как 
, а 
, то 
.
, а , то .Ответ: 
.
.Пример 7. Докажите справедливость равенства 
.
..Ответ: Равенство справедливо.
Пример 8. Вычислите 
, если 
.
, если .Решение. Вычтем из аргумента функции косинус ее два основных периода и применим формулу 4.10. Получим:
.Так как 
и , то 
.
и , то .
Тогда 
.
.Ответ: 
.
.Пример 9. Вычислите 
, если 
.
, если .
.Тогда 
, 
.
, .Подставляя значения 
и 
в выражение , получим:
и в выражение , получим:.Ответ: 2.
Пример 10. Найдите 
, если 
, 
и 
, 
.
, если , и , .Решение. Если , то 
, 
.
, то , . По формуле 4.12 получим:
, откуда .Так как и , то при 
получим: 
.
и , то при получим: .Ответ: 
.
.Пример 11. Найдите 
, если 
и 
.
, если и .Решение. Запишем 
.
. Пусть 
. Возводя обе части равенства в квадрат, получим: 
.
. Возводя обе части равенства в квадрат, получим: .Зная, что 
, а 
, запишем 
, 
, откуда 
.
, а , запишем , , откуда .Поскольку , то 
и 
. Следовательно, 
и 
.
, то и . Следовательно, и .Ответ: –3.
Выполняя преобразования и вычисления тригонометрических выражений необходимо помнить, что целое количество основных периодов функции можно вычитать из аргумента функции или прибавлять к ее аргументу:
ФУНКЦИЯ ОСНОВНОЙ ПЕРИОД ФОРМУЛА ( 
)
); или ; ;; или ; ;; или ; ;. или . .