Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Натуральными числами называют числа, с помощью которых определяется количество предметов того или иного множества. Ряд натуральных чисел бесконечен: LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 6 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 8 , LaTeX formula: 9 , LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 11 , LaTeX formula: 12 , … Множество всех натуральных чисел обозначают LaTeX formula: N .
Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифрLaTeX formula: 0 , LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 6 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 8 , LaTeX formula: 9 . Цифры LaTeX formula: 0 , LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 6 , LaTeX formula: 8 называют четными, а цифры LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 9 – нечетными
Числа, запись которых оканчивается четной цифрой, называют четными числами
Числа, запись которых оканчивается нечетной цифрой, называют нечетными числами
Например, натуральные числа LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 6 , LaTeX formula: 8 , LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 12 , LaTeX formula: 14 , LaTeX formula: 16 , LaTeX formula: 18 , LaTeX formula: 20 , … – четные, а натуральные числа LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 9 , LaTeX formula: 11 , LaTeX formula: 13 , LaTeX formula: 15 , LaTeX formula: 17 , LaTeX formula: 19 , … – нечетные.
Четные числа записывают в виде LaTeX formula: 2n , где LaTeX formula: n – любое натуральное число. Нечетные числа записывают в виде  LaTeX formula: 2n-1 , если LaTeX formula: n – любое натуральное число, или в виде  LaTeX formula: 2n+1 , если LaTeX formula: n – любое натуральное число и число LaTeX formula: 0 .
Над натуральными числами можно производить арифметические действия
1) сложение:  LaTeX formula: a+b=c, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – слагаемые, LaTeX formula: c – сумма; 
2) вычитание:  LaTeX formula: a-b=d, где LaTeX formula: a – уменьшаемое, LaTeX formula: b – вычитаемое, LaTeX formula: d – разность; 
3) умножение:  LaTeX formula: a\cdot b=m, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – множители, LaTeX formula: m – произведение; 
4) деление:  LaTeX formula: a:b=n, где LaTeX formula: a – делимое, LaTeX formula: b – делитель, LaTeX formula: n – частное.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо из суммы вычесть известное слагаемое. 
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое. 
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность. 
Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель. 
Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель. 
Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное. 
Законы сложения:
1) переместительный: от перестановки слагаемых значение суммы не изменится, т. е.  LaTeX formula: a+b=b+a , 
например,  LaTeX formula: 3+90=90+3=93 ; 
2) сочетательный: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего, т. е.  LaTeX formula: (a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c , 
например,  LaTeX formula: 17+(8+3)=(17+3)+8=20+8=28 .
Законы умножения:
1) переместительный: от перестановки множителей значение произведения не изменится, т. е.  LaTeX formula: a\cdot b=b\cdot a ;
2) сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего, т. е.  LaTeX formula: (ab)c=a(bc)=abc ;
3) распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить, т. е.  LaTeX formula: (a+b)c=ac+bc ;
4) распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы умножить разность на число, можно уменьшаемое и вычитаемое умножить на это число и из первого произведения вычесть второе, т. е.  LaTeX formula: (a-b)c=ac-bc . 
Например:1)  LaTeX formula: 9\cdot 2=2\cdot 9=18 ; 
2)  LaTeX formula: (81\cdot 2)\cdot 5=81\cdot (2\cdot 5)=81\cdot 10=810 ; 
3)  LaTeX formula: 99\cdot 9=(100-1)\cdot 10=100\cdot 9-1\cdot 9=900-9=891 ;
4)  LaTeX formula: 102\cdot 9+8\cdot 9=9\cdot (102+8)=9\cdot 110=990 .
Делимость натуральных чисел
Если натуральное число LaTeX formula: a делится без остатка на натуральное число LaTeX formula: b , то число LaTeX formula: a называют кратным числа LaTeX formula: b , а число LaTeX formula: b – делителем числа LaTeX formula: a . Например,  LaTeX formula: 35:5=7 . Говорят, что число LaTeX formula: 35 кратно числу LaTeX formula: 5 , а число LaTeX formula: 5 является делителем числа LaTeX formula: 35 . 
Если число LaTeX formula: a кратно числу LaTeX formula: b, то записывают:  LaTeX formula: a\vdots b.
Признаки делимости натуральных чисел на LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 9 , LaTeX formula: 10LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 8LaTeX formula: 11 и LaTeX formula: 25 .
1. Число делится на LaTeX formula: 2 , если его запись оканчивается четной цифрой. Например, числа LaTeX formula: 11234 , LaTeX formula: 4500 и LaTeX formula: 56782 делятся на LaTeX formula: 2 .
2. Число делится на LaTeX formula: 3 , если сумма цифр числа делится на LaTeX formula: 3 . Например, LaTeX formula: 195 делится на LaTeX formula: 3 , так как сумма цифр этого числа LaTeX formula: 1+9+5=15  и число LaTeX formula: 15 делится на LaTeX formula: 3 .
3. Число делится на LaTeX formula: 5 , если его запись оканчивается цифрой LaTeX formula: 0 или цифрой LaTeX formula: 5  Например, числа LaTeX formula: 375 и LaTeX formula: 930 делятся на LaTeX formula: 5 .
4. Число делится на LaTeX formula: 9 , если сумма цифр числа делится на LaTeX formula: 9  . Например, число LaTeX formula: 972 делится на LaTeX formula: 9 , так как сумма цифр этого числа LaTeX formula: 9+7+2=18  и число LaTeX formula: 18 делится на LaTeX formula: 9  .
5. Число делится на  LaTeX formula: 10 , если его запись оканчивается цифрой LaTeX formula: 0 . Например, число LaTeX formula: 12370 делится на LaTeX formula: 10 . 
6. Число делится на LaTeX formula: 4 , если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на LaTeX formula: 4 . Например, число LaTeX formula: 2332 делится на LaTeX formula: 4 , так как число LaTeX formula: 32 делится на LaTeX formula: 4 .
7. Число делится на LaTeX formula: 8 , если три последние цифры его записи образуют число, которое делится на LaTeX formula: 8 . Например, число LaTeX formula: 75240 делится на LaTeX formula: 8 , так как число LaTeX formula: 240 делится на LaTeX formula: 8 .
8. Число делится на LaTeX formula: 11 , если разность сумм цифр, стоящих на четных и нечетных местах, делится на LaTeX formula: 11 . Например, число LaTeX formula: 1375 делится на LaTeX formula: 11 , так как  LaTeX formula: (3+5)-(1+7)=0 и число LaTeX formula: 0 делится на LaTeX formula: 11 .
9. Число делится на LaTeX formula: 25 , если две последние цифры его записи образуют число, которое делится на LaTeX formula: 25 . Например, числа LaTeX formula: 650 , LaTeX formula: 43575 , LaTeX formula: 8725 и LaTeX formula: 7600 делятся на LaTeX formula: 25 . 
Деление с остатком
Разделить натуральное число LaTeX formula: n на натуральное число LaTeX formula: m с остатком – значит представить число LaTeX formula: n в виде  LaTeX formula: n=c\cdot m+r , где LaTeX formula: c – неполное частное, а LaTeX formula: r – остаток от деления LaTeX formula: n на LaTeX formula: m и LaTeX formula: r меньше LaTeX formula: m .
Если же остаток равен нулю, то говорят, что число LaTeX formula: n делится нацело на число LaTeX formula: m .
Например, при делении натуральных чисел на LaTeX formula: 5, будем получать один из остатков: или LaTeX formula: 1 , или LaTeX formula: 2 , или LaTeX formula: 3 , или LaTeX formula: 4 .
Простые и составные числа
Числа, которые имеют только два различных делителя (делятся только сами на себя и на число 1), называют простыми.
Например, простыми являются числа LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 11 , LaTeX formula: 13 , LaTeX formula: 17 , LaTeX formula: 19 , LaTeX formula: 23, …. . 
Числа, которые имеют более двух различных делителей, называют составными. Составные числа можно представить в виде произведения двух и более простых множителей. 
Например, число LaTeX formula: 10 составное, так как LaTeX formula: 10=2\cdot5 . 
Натуральные числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, за исключением числа LaTeX formula: 1 . 
Например, числа LaTeX formula: 3 и LaTeX formula: 8 взаимно простые; 
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
Общим делителем нескольких чисел называют число, которое является делителем каждого из этих чисел. Среди всех общих делителей всегда имеется наибольший. Это число называется наибольшим общим делителем (НОД). 
Например, числа LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 и LaTeX formula: 15 являются общими делителями чисел LaTeX formula: 15 и LaTeX formula: 30 , а число LaTeX formula: 15 – их наибольший общий делитель; 
Общим кратным нескольких чисел называют число, которое является кратным каждого из этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее. Это число называется наименьшим общим кратным (НOК). 
Например, числа LaTeX formula: 60 и LaTeX formula: 12 кратны числам LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 6 и LaTeX formula: 12 , а число LaTeX formula: 60 – наименьшее общее кратное чисел LaTeX formula: 12 и LaTeX formula: 60 .
Чтобы найти НОД нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители и найти произведение только тех множителей, которые имеются в разложениях всех чисел. 
Чтобы найти НOК нескольких чисел, необходимо разложить их на простые множители, найти произведение всех множителей, входящих в разложение одного из чисел и недостающих множителей из разложений оставшихся чисел. 
Пример 1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел LaTeX formula: 60LaTeX formula: 110 и LaTeX formula: 154 . 
Решение. Разложим эти числа на простые множители:
Найдем наибольший общий делитель чисел LaTeX formula: 60LaTeX formula: 110 и LaTeX formula: 154 :
НОДLaTeX formula: (60;110;154)=2 .
Найдем наименьшее общее кратное чисел LaTeX formula: 60LaTeX formula: 110 и LaTeX formula: 154:
НОК LaTeX formula: (60;110;154)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=4620 .
ОтветLaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 4620.
Пример 2. При делении пятизначного числа LaTeX formula: \overline{45n2m}  на LaTeX formula: 5 в остатке получается LaTeX formula: 3. Найдите это число, если известно, что оно делится на LaTeX formula: 36.
Решение. Согласно условию задачи число LaTeX formula: \overline{45n2m}  делится на  LaTeX formula: 36, следовательно, оно делится и на LaTeX formula: 4 и на LaTeX formula: 9
Если искомое число делится на LaTeX formula: 4, то число LaTeX formula: \overline{2m}  делится на LaTeX formula: 4. Тогда LaTeX formula: m может принимать одно из значений: или LaTeX formula: 0, или LaTeX formula: 4, или LaTeX formula: 8. Поскольку при делении числа  LaTeX formula: \overline{45n2m} на LaTeX formula: 5 в остатке получается LaTeX formula: 3, то LaTeX formula: m=8
Если же число  LaTeX formula: \overline{45n2m} делится на LaTeX formula: 9, то сумма цифр этого числа делится на LaTeX formula: 9 , то есть  LaTeX formula: 4+5+n+2+8=(19+n)\vdots9. Тогда при условии, что  LaTeX formula: n=8 число будет делиться на LaTeX formula: 9.
Запишем искомое число: LaTeX formula: \overline{45n2m}=45828.
Ответ: LaTeX formula: 45828.
1. Число LaTeX formula: 1 не является ни простым и ни составным
2. В результате сложения и умножения натуральных чисел всегда будем получать натуральное число.
3. В результате вычитания натуральных чисел получим натуральное число только в том случае, если уменьшаемое больше вычитаемого.
4. Деление одного натурального числа на другое не всегда выполнимо. В этом случае имеет место деление с остатком.
5. Множество делителей числа конечно, а множество чисел, кратных числу, бесконечно. Например, число LaTeX formula: 12 имеет LaTeX formula: 4 делителя: LaTeX formula: 1LaTeX formula: 2LaTeX formula: 3LaTeX formula: 4LaTeX formula: 6LaTeX formula: 12. Числу LaTeX formula: 12 кратны числа: LaTeX formula: 12,  LaTeX formula: 24LaTeX formula: 36 и т. д. 
6. Числа, кратные числу LaTeX formula: a, записывают в виде  LaTeX formula: an, где LaTeX formula: n – любое натуральное число. Например, все числа, кратные числу LaTeX formula: 3, можно записать так:  LaTeX formula: 3n где LaTeX formula: n – натуральное число.
7. Рассмотрим буквенную запись чисел в десятичной позиционной системе счисления. Так, например, если LaTeX formula: a – цифра десятков, LaTeX formula: b – цифра единиц некоторого двузначного числа, то запишем:  LaTeX formula: \overline{ab}=10a+b. Аналогично запишем трехзначное число, у которого LaTeX formula: a – цифра сотен, LaTeX formula: b – цифра десятков, LaTeX formula: c – цифра единиц:  LaTeX formula: \overline{abc}=100a+10b+c.
formula