Тождественные преобразования логарифмических выражений /qualihelpy

Тождественные преобразования логарифмических выражений

Справочник / Школьник / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Логарифмом числа LaTeX formula: b>0

по основанию LaTeX formula: a

$LaTeX formula: (a>0; a\neq 1)$ называют показатель степени LaTeX formula: c

, в которую необходимо возвести LaTeX formula: a

, чтобы получить LaTeX formula: b

, и записывают $LaTeX formula: log_{a}b=c$ , что равносильно $LaTeX formula: b=a^{c}$ .

Например, если $LaTeX formula: log_{5}x=2$ , то $LaTeX formula: x=5^{2}=25$ . Поскольку логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен, то выражения $LaTeX formula: log_{2}7$ и $LaTeX formula: log_{2}(\sqrt{3}-1)$ имеют смысл, а выражения $LaTeX formula: log_{2}(-7)$ , $LaTeX formula: log_{2}(1-\sqrt{3})$ и $LaTeX formula: log_{2}0$ не имеют смысла.

Свойства логарифмов:

$LaTeX formula: log_{a}a=1$ ; (3.15) $LaTeX formula: log_{a}^{k}{b^{n}}=n^{k}log_{a}^{k}b$ ; (3.22)

$LaTeX formula: log_{a}1=0$ ; (3.16) $LaTeX formula: log_{a^{m}}^{k}b=\frac{1}{m^{k}}log_{a}^{k}b$ ; (3.23)

$LaTeX formula: log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c$ ; (3.17) $LaTeX formula: log_{a}b=\frac{log_{d}b}{log_{d}a}$ ; (3.24)

$LaTeX formula: log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c$ ; (3.18) $LaTeX formula: log_{a}d=\frac{1}{log_{d}a}$ ; (3.25)

$LaTeX formula: log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b$ ; (3.19) $LaTeX formula: a^{log_{d}b}=b^{log_{d}a}$ . (3.26)

$LaTeX formula: log_{a^{m}}b=\frac{1}{m} log_{a}b$ ; (3.20)

$LaTeX formula: log_{a^{k}}{b^{k}}=log_{a}b$ ; (3.21)

Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ , LaTeX formula: d>0

и $LaTeX formula: d\neq 1$ , LaTeX formula: b>0

, причем числа m, n и k отличны от нуля.

Обратим внимание на свойство логарифма 3.21. Если k – нечетное число, то это равенство справедливо при LaTeX formula: b>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ . Если k – четное число, то выражение $LaTeX formula: log_{a^{2n}}b^{2n}$ определено при $LaTeX formula: \left | b \right |>0$ , $LaTeX formula: \left | a \right |>0$ и $LaTeX formula: \left | a \right |\neq 1$ , т. е. числа а и b могут быть как положительными, так и отрицательными. Следовательно, при LaTeX formula: k=2n

, где $LaTeX formula: n\epsilon N$ , равенство 3.21 примет вид:

$LaTeX formula: log_{a^{2n}}b^{2n}=log_{\left | a \right |}\left | b \right |$ . (3.21.1)

Например, $LaTeX formula: log_{3^{4}}-(20^{4})=log_{3^{4}}20^{4}=log_{3}20$ .

Равенство

$LaTeX formula: a^{log_{a}b}=b$ (3.27)

называют основным логарифмическим тождеством.

Например, $LaTeX formula: 7^{log_{7}5}=5$ .

Общепринятые записи:

1) логарифм числа b по основанию 10 (десятичный логарифм) записывают: $LaTeX formula: log_{10}b=lgb$ ;

2) логарифм числа b по основанию e (натуральный логарифм), где е – иррациональное число и LaTeX formula: e=2,7182818284 59045...

, записывают: $LaTeX formula: log_{e}b=lnb$ .

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: -log_{3}^{2}log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}$ .

Решение. Применяя свойства логарифмов 3.15 и 3.19, получим:

$LaTeX formula: -log^{2}_{3}(log_{3}3^{\frac{1}{9}})=-log^{2}_{3}\left ( \frac{1}{9}log_{3}3 \right )=-(log_{3}3^{-2}\cdot 1)^{2}$ $LaTeX formula: =-(-2)^{2}=-4$ .

Ответ: –4.

Пример 2. Упростите $LaTeX formula: 9^{\frac{2}{log_{5}3}}+27^{log_{9}36}+\sqrt{9}^{\frac{4}{log_{7}9}}-e^{ln90}$ .

Решение. Применяя свойства логарифмов 3.25, 3.19, 3.20 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим:

$LaTeX formula: 3^{4log_{3}5}+3^{3log_{3^{2}}6^{2}}+3^{4log_{3^{2}}7}-90$ $LaTeX formula: = 3^{log_{3}5^{4}}+3^{3log_{3}6}+3^{2log_{3}7}-90$ $LaTeX formula: = 5^{4}+3^{log_{3}6^{3}}+3^{log_{3}7^{2}}-90$ $LaTeX formula: = 5^{4}+6^{3}+7^{2}-90=800$ .

Ответ: 800.

Пример 3. Упростите $LaTeX formula: a^{\frac{2}{log_{b}a}+1}b+a^{log_{a}b+1}b^{log_{b}a+1}-ab^{\frac{2}{log_{a}b}+1}$ .

Решение. Запишем ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a> 0, a\neq 1; & \\ b> 0, b\neq 1.& \end{matrix}\right.$

Применяя свойство степеней $LaTeX formula: a^{n+m}=a^{n}a^{m}$ , свойства логарифмов 3.25, 3.19 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим: $LaTeX formula: a^{2log_{a}b}\cdot a\cdot b+a^{log_{a}b}\cdot a\cdot b^{log_{b}a}\cdot b-a\cdot b^{2log_{b}a}\cdot b$ $LaTeX formula: = a^{log_{a}b^{2}}\cdot a\cdot b+b\cdot a\cdot a\cdot b-a\cdot b^{log_{b}a^{2}}\cdot b$ $LaTeX formula: = ab^{3}+a^{2}b^{2}-a^{3}b$ $LaTeX formula: = ab(b^{2}+ab-a^{2})$ .

Ответ: $LaTeX formula: ab(b^{2}+ab-a^{2})$ , где LaTeX formula: a> 0

, $LaTeX formula: a\neq 1$ , LaTeX formula: b> 0

, $LaTeX formula: a\neq 1$ .

Пример 4. Упростите $LaTeX formula: \frac{3log_{b^{3}}b-log_{a}^{3}b}{\left ( log_{a}b+log_{b}a+1 \right )log_{a}\frac{a}{b}}$ .

Решение. Запишем ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a> 0, a\neq 1; & \\ b> 0, b\neq 1.& \end{matrix}\right.$

На основании свойств логарифмов 3.20, 3.18 и 3.15 выполним следующие преобразования:

1) $LaTeX formula: log_{b^{3}}b=3\cdot \frac{1}{3}\cdot log_{b}b=1$ ;

2) $LaTeX formula: log_{a}\frac{a}{b}=log_{a}a-log_{a}b=1-log_{a}b$ .

Полагая, $LaTeX formula: log_{a}b=x$ , $LaTeX formula: log_{b}a=\frac{1}{x}$ , запишем

$LaTeX formula: \frac{1-x^{3}}{\left ( x+\frac{1}{x}+1 \right )(1-x)}=\frac{(1-x)(1+x+x^{2})}{\frac{(x^{2}+1+x)(1-x)}{x}}=x$ .

Ответ: $LaTeX formula: log_{a}b$ .

Пример 5. Вычислите $LaTeX formula: 5^{log_{\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{3}}}+5^{log_{25}\left ( \sqrt{3}-3 \right )^{2}}$ .

Решение. Применяя последовательно формулы 3.20, 3.21.1, 3.27 и правило раскрытия модуля числа, получим:

$LaTeX formula: 5^{2log_{5}\sqrt{3+\sqrt{3}}}+5^{log_{5}\left | \sqrt{3}-3 \right |}$ LaTeX formula: =

$LaTeX formula: \left | 3+\sqrt{3} \right |+\left | \sqrt{3}-3 \right |=3+\sqrt{3}-\sqrt{3}+3=6$ .

Ответ: 6.

Пример 6. Вычислите $LaTeX formula: 4^{\sqrt{log_{4}3}}-3^{\sqrt{log_{3}4}}-3^{lg25}\cdot 4^{lg3}$ .

Решение. Рассмотрим разность $LaTeX formula: 4^{\sqrt{log_{4}3}}-3^{\sqrt{log_{3}4}}=A$ .

Полагая $LaTeX formula: \sqrt{log_{4}3}=a$ , запишем: $LaTeX formula: log_{4}3=a^{2}$ , $LaTeX formula: 3=4^{a^{2}}$ , $LaTeX formula: \sqrt{log_{3}4}=\frac{1}{a}$ . Получим: $LaTeX formula: A=4^{a}-(4^{a^{2}})^{\frac{1}{a}}=4^{a}-4^{\frac{a^{2}}{a}}=4^{a}-4^{a}=0$ .

Рассмотрим произведение $LaTeX formula: 3^{lg25}\cdot 4^{lg3}$ и применим формулы 3.26, 3.17, 3.19, 3.15. Получим: $LaTeX formula: 3^{lg25}\cdot 4^{lg3}=3^{lg25}\cdot 3^{lg4}=3^{lg25+lg4}=3^{lg25\cdot 4}=3^{lg100}=3^{lg10^{2}}=3^{2}=$ LaTeX formula: 9

Сложим результаты двух действий: LaTeX formula: 0-9=-9

Ответ: –9.

Пример 7. Вычислите $LaTeX formula: -log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1}$ , если $LaTeX formula: log_{b^{2}}a=2^{-2}$ .

Решение. ОДЗ: LaTeX formula: a> 0

, $LaTeX formula: ab\neq 1$ .

На основании свойства 3.19 запишем $LaTeX formula: -log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1}=log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )$ .

Применяя формулы 3.20, 3.24, 3.18, 3.17, 3.19, 3.15, получим:

$LaTeX formula: log_{(ab)^{\frac{1}{4}}}\frac{b^{5}}{a^{16}}=4log_{ab}\frac{b^{5}}{a^{16}}=4\frac{log_{b}\frac{b^{5}}{a^{16}}}{log_{b}ab}=$ $LaTeX formula: 4\frac{log_{b}b^{5}-log_{b}a^{16}}{log_{b}a+log_{b}b}=\frac{4(5log_{b}b-16log_{b}a)}{log_{b}a+1}$ $LaTeX formula: = \frac{4(5-log_{b}a)}{log_{b}a+1}$ .

Преобразуем выражение $LaTeX formula: log_{b^{2}}a=2^{-2}$ . По формуле 3.20 получим: $LaTeX formula: \frac{1}{2}log_{b}a=\frac{1}{4}$ , откуда $LaTeX formula: log_{b}a=0,5$ .

Тогда,

$LaTeX formula: \frac{4(5-16\cdot 0,5)}{0,5+1}=\frac{4(5-8)}{1,5}=\frac{-12}{1,5}=-\frac{12\cdot 2}{3}=-8$ .

Ответ: –8.

Пример 8. Найдите $LaTeX formula: a^{c}$ , если $LaTeX formula: log_{b}81=a$ , $LaTeX formula: b^{c}=729$ и $LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121}$ .

Решение. Если $LaTeX formula: log_{b}81=a$ , то $LaTeX formula: log_{b}3^{4}=a$ , $LaTeX formula: 4log_{b}3=a$ и $LaTeX formula: log_{b}3=\frac{a}{4}$ . Если $LaTeX formula: b^{c}=729$ , то $LaTeX formula: c=log_{b}3^{6}$ , $LaTeX formula: 6log_{b}3=c$ и $LaTeX formula: log_{b}3=\frac{c}{6}$ . Тогда $LaTeX formula: \frac{a}{4}=\frac{c}{6}$ и $LaTeX formula: a=\frac{2c}{3}$ . Равенство $LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121}$ запишем в виде $LaTeX formula: a^{a}=11^{\frac{2}{3}}$ , или $LaTeX formula: a^{\frac{2c}{3}}=11^{\frac{2}{3}}$ , или $LaTeX formula: a^{c}=11^{\frac{2}{3}\frac{3}{2}}$ и получим $LaTeX formula: a^{c}=11$ .

Ответ: 11.

Пример 9. Вычислите $LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}tg30^{\circ}+log_{\sqrt{3}}tg31^{\circ}+log_{\sqrt{3}}tg32^{\circ}+...+log_{\sqrt{3}}tg59^{\circ}$ .

Решение. Применим формулу 3.17:

$LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(tg30^{\circ}\cdot tg31^{\circ}\cdot tg32^{\circ}\cdot...\cdot tg45^{\circ}\cdot ...\cdot tg58^{\circ}\cdot tg59^{\circ})=$ $LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(tg30^{\circ}tg45^{\circ}(tg31^{\circ} tg59^{\circ}\cdot tg32^{\circ}tg58^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ} tg46^{\circ}))$ .

Зная, что $LaTeX formula: tg45^{\circ}=1$ , а $LaTeX formula: tg30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и что $LaTeX formula: tg(90^{\circ}-\alpha )=ctg\alpha$ , а $LaTeX formula: tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$ , найдем значение исходного выражения: $LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot tg31^{\circ}ctg31^{\circ}\cdot tg32^{\circ}ctg32^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}ctg44^{\circ})$ $LaTeX formula: =log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)=-log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=-1$ .

Ответ: -1.

При возведении выражения $LaTeX formula: log_{a}b$ в степень n записывают: $LaTeX formula: (log_{a}b)^{n}$ или $LaTeX formula: log_{a}^{n}b$ ;

Запись $LaTeX formula: log_{a}log_{b}c$ следует понимать так: $LaTeX formula: log_{a}(log_{b}c)$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_8_логарифмические_выражения