Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Логарифмом числа LaTeX formula: b>0 по основанию  LaTeX formula: a LaTeX formula: (a>0; a\neq 1) называют показатель степени LaTeX formula: c, в которую необходимо возвести LaTeX formula: a, чтобы получить LaTeX formula: b, и записывают LaTeX formula: log_{a}b=c, что равносильно LaTeX formula: b=a^{c}
Например, если LaTeX formula: log_{5}x=2, то LaTeX formula: x=5^{2}=25. Поскольку логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен, то выражения LaTeX formula: log_{2}7 и LaTeX formula: log_{2}(\sqrt{3}-1) имеют смысл, а выражения LaTeX formula: log_{2}(-7)LaTeX formula: log_{2}(1-\sqrt{3}) и LaTeX formula: log_{2}0 не имеют смысла. 
Свойства логарифмов:
LaTeX formula: log_{a}a=1; (3.15)                             LaTeX formula: log_{a}^{k}{b^{n}}=n^{k}log_{a}^{k}b; (3.22) 
LaTeX formula: log_{a}1=0(3.16)                             LaTeX formula: log_{a^{m}}^{k}b=\frac{1}{m^{k}}log_{a}^{k}b; (3.23)
LaTeX formula: log_{a}bc=log_{a}b+log_{a}c; (3.17)        LaTeX formula: log_{a}b=\frac{log_{d}b}{log_{d}a}; (3.24)
LaTeX formula: log_{a}\frac{b}{c}=log_{a}b-log_{a}c; (3.18)         LaTeX formula: log_{a}d=\frac{1}{log_{d}a}; (3.25)
LaTeX formula: log_{a}b^{n}=n\cdot log_{a}b; (3.19)                LaTeX formula: a^{log_{d}b}=b^{log_{d}a}. (3.26)
LaTeX formula: log_{a^{m}}b=\frac{1}{m} log_{a}b; (3.20)
LaTeX formula: log_{a^{k}}{b^{k}}=log_{a}b; (3.21)
Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при LaTeX formula: a>0 и LaTeX formula: a\neq 1LaTeX formula: d>0 и LaTeX formula: d\neq 1LaTeX formula: b>0LaTeX formula: c>0, причем числа m, n и k отличны от нуля. 
Обратим внимание на свойство логарифма 3.21. Если k – нечетное число, то это равенство справедливо при LaTeX formula: b>0LaTeX formula: a>0 и LaTeX formula: a\neq 1. Если k – четное число, то выражение LaTeX formula: log_{a^{2n}}b^{2n} определено при LaTeX formula: \left | b \right |>0LaTeX formula: \left | a \right |>0 и LaTeX formula: \left | a \right |\neq 1, т. е. числа а и b могут быть как положительными, так и отрицательными. Следовательно, при LaTeX formula: k=2n, где LaTeX formula: n\epsilon N, равенство 3.21 примет вид:
LaTeX formula: log_{a^{2n}}b^{2n}=log_{\left | a \right |}\left | b \right |. (3.21.1)
Например, LaTeX formula: log_{3^{4}}-(20^{4})=log_{3^{4}}20^{4}=log_{3}20.
Равенство 
LaTeX formula: a^{log_{a}b}=b (3.27)
называют основным логарифмическим тождеством
Например, LaTeX formula: 7^{log_{7}5}=5.
Общепринятые записи:
1) логарифм числа b по основанию 10 (десятичный логарифм) записывают: LaTeX formula: log_{10}b=lgb;
2) логарифм числа b по основанию e (натуральный логарифм), где е – иррациональное число и LaTeX formula: e=2,7182818284 59045..., записывают: LaTeX formula: log_{e}b=lnb.
Пример 1. Упростите выражение  LaTeX formula: -log_{3}^{2}log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}.
Решение. Применяя свойства логарифмов 3.15 и 3.19, получим:
LaTeX formula: -log^{2}_{3}(log_{3}3^{\frac{1}{9}})=-log^{2}_{3}\left ( \frac{1}{9}log_{3}3 \right )=-(log_{3}3^{-2}\cdot 1)^{2}LaTeX formula: =-(-2)^{2}=-4.
Ответ: –4.
Пример 2. Упростите LaTeX formula: 9^{\frac{2}{log_{5}3}}+27^{log_{9}36}+\sqrt{9}^{\frac{4}{log_{7}9}}-e^{ln90}.
Решение. Применяя свойства логарифмов 3.253.193.20 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим:
LaTeX formula: 3^{4log_{3}5}+3^{3log_{3^{2}}6^{2}}+3^{4log_{3^{2}}7}-90 LaTeX formula: = 3^{log_{3}5^{4}}+3^{3log_{3}6}+3^{2log_{3}7}-90 LaTeX formula: = 5^{4}+3^{log_{3}6^{3}}+3^{log_{3}7^{2}}-90 LaTeX formula: = 5^{4}+6^{3}+7^{2}-90=800.
Ответ: 800.
Пример 3. Упростите LaTeX formula: a^{\frac{2}{log_{b}a}+1}b+a^{log_{a}b+1}b^{log_{b}a+1}-ab^{\frac{2}{log_{a}b}+1}.
Решение. Запишем ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a> 0, a\neq 1; & \\ b> 0, b\neq 1.& \end{matrix}\right.
Применяя свойство степеней LaTeX formula: a^{n+m}=a^{n}a^{m} , свойства логарифмов 3.253.19 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим: LaTeX formula: a^{2log_{a}b}\cdot a\cdot b+a^{log_{a}b}\cdot a\cdot b^{log_{b}a}\cdot b-a\cdot b^{2log_{b}a}\cdot b LaTeX formula: = a^{log_{a}b^{2}}\cdot a\cdot b+b\cdot a\cdot a\cdot b-a\cdot b^{log_{b}a^{2}}\cdot b LaTeX formula: = ab^{3}+a^{2}b^{2}-a^{3}b LaTeX formula: = ab(b^{2}+ab-a^{2}).
Ответ: LaTeX formula: ab(b^{2}+ab-a^{2}), где LaTeX formula: a> 0LaTeX formula: a\neq 1LaTeX formula: b> 0, LaTeX formula: a\neq 1.
Пример 4. Упростите LaTeX formula: \frac{3log_{b^{3}}b-log_{a}^{3}b}{\left ( log_{a}b+log_{b}a+1 \right )log_{a}\frac{a}{b}}.
Решение. Запишем ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a> 0, a\neq 1; & \\ b> 0, b\neq 1.& \end{matrix}\right.
На основании свойств логарифмов 3.203.18 и 3.15 выполним следующие преобразования:
1) LaTeX formula: log_{b^{3}}b=3\cdot \frac{1}{3}\cdot log_{b}b=1;
2) LaTeX formula: log_{a}\frac{a}{b}=log_{a}a-log_{a}b=1-log_{a}b.
Полагая, LaTeX formula: log_{a}b=xLaTeX formula: log_{b}a=\frac{1}{x}, запишем 
LaTeX formula: \frac{1-x^{3}}{\left ( x+\frac{1}{x}+1 \right )(1-x)}=\frac{(1-x)(1+x+x^{2})}{\frac{(x^{2}+1+x)(1-x)}{x}}=x.
Ответ: LaTeX formula: log_{a}b.
Пример 5. Вычислите LaTeX formula: 5^{log_{\sqrt{5}}\sqrt{3+\sqrt{3}}}+5^{log_{25}\left ( \sqrt{3}-3 \right )^{2}}.
Решение. Применяя последовательно формулы 3.203.21.13.27 и правило раскрытия модуля числа, получим:
LaTeX formula: 5^{2log_{5}\sqrt{3+\sqrt{3}}}+5^{log_{5}\left | \sqrt{3}-3 \right |} LaTeX formula: = LaTeX formula: \left | 3+\sqrt{3} \right |+\left | \sqrt{3}-3 \right |=3+\sqrt{3}-\sqrt{3}+3=6.
Ответ: 6.
Пример 6. Вычислите LaTeX formula: 4^{\sqrt{log_{4}3}}-3^{\sqrt{log_{3}4}}-3^{lg25}\cdot 4^{lg3}.
Решение. Рассмотрим разность LaTeX formula: 4^{\sqrt{log_{4}3}}-3^{\sqrt{log_{3}4}}=A
Полагая LaTeX formula: \sqrt{log_{4}3}=a, запишем: LaTeX formula: log_{4}3=a^{2}LaTeX formula: 3=4^{a^{2}}LaTeX formula: \sqrt{log_{3}4}=\frac{1}{a}. Получим: LaTeX formula: A=4^{a}-(4^{a^{2}})^{\frac{1}{a}}=4^{a}-4^{\frac{a^{2}}{a}}=4^{a}-4^{a}=0.
Рассмотрим произведение LaTeX formula: 3^{lg25}\cdot 4^{lg3} и применим формулы 3.263.173.193.15. Получим: LaTeX formula: 3^{lg25}\cdot 4^{lg3}=3^{lg25}\cdot 3^{lg4}=3^{lg25+lg4}=3^{lg25\cdot 4}=3^{lg100}=3^{lg10^{2}}=3^{2}= LaTeX formula: 9.
Сложим результаты двух действий: LaTeX formula: 0-9=-9.
Ответ: –9.
Пример 7. Вычислите LaTeX formula: -log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1}, если LaTeX formula: log_{b^{2}}a=2^{-2}.
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: a> 0LaTeX formula: b> 0LaTeX formula: ab\neq 1.
На основании свойства 3.19 запишем LaTeX formula: -log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1}=log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right ).
Применяя формулы 3.203.243.183.173.193.15, получим:
LaTeX formula: log_{(ab)^{\frac{1}{4}}}\frac{b^{5}}{a^{16}}=4log_{ab}\frac{b^{5}}{a^{16}}=4\frac{log_{b}\frac{b^{5}}{a^{16}}}{log_{b}ab}= LaTeX formula: 4\frac{log_{b}b^{5}-log_{b}a^{16}}{log_{b}a+log_{b}b}=\frac{4(5log_{b}b-16log_{b}a)}{log_{b}a+1} LaTeX formula: = \frac{4(5-log_{b}a)}{log_{b}a+1}.
Преобразуем выражение LaTeX formula: log_{b^{2}}a=2^{-2}. По формуле 3.20 получим: LaTeX formula: \frac{1}{2}log_{b}a=\frac{1}{4}, откуда LaTeX formula: log_{b}a=0,5.
Тогда,
LaTeX formula: \frac{4(5-16\cdot 0,5)}{0,5+1}=\frac{4(5-8)}{1,5}=\frac{-12}{1,5}=-\frac{12\cdot 2}{3}=-8.
Ответ: –8.
Пример 8. Найдите LaTeX formula: a^{c}, если LaTeX formula: log_{b}81=aLaTeX formula: b^{c}=729 и LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121}.
Решение. Если LaTeX formula: log_{b}81=a, то LaTeX formula: log_{b}3^{4}=aLaTeX formula: 4log_{b}3=a и LaTeX formula: log_{b}3=\frac{a}{4}. Если LaTeX formula: b^{c}=729то LaTeX formula: c=log_{b}3^{6}LaTeX formula: 6log_{b}3=c и LaTeX formula: log_{b}3=\frac{c}{6}. Тогда LaTeX formula: \frac{a}{4}=\frac{c}{6} и LaTeX formula: a=\frac{2c}{3}. Равенство LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121} запишем в виде LaTeX formula: a^{a}=11^{\frac{2}{3}}, или LaTeX formula: a^{\frac{2c}{3}}=11^{\frac{2}{3}}, или LaTeX formula: a^{c}=11^{\frac{2}{3}\frac{3}{2}} и получим LaTeX formula: a^{c}=11.
Ответ: 11.
Пример 9. Вычислите LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}tg30^{\circ}+log_{\sqrt{3}}tg31^{\circ}+log_{\sqrt{3}}tg32^{\circ}+...+log_{\sqrt{3}}tg59^{\circ}.
Решение. Применим формулу 3.17:
LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(tg30^{\circ}\cdot tg31^{\circ}\cdot tg32^{\circ}\cdot...\cdot tg45^{\circ}\cdot ...\cdot tg58^{\circ}\cdot tg59^{\circ})= LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(tg30^{\circ}tg45^{\circ}(tg31^{\circ} tg59^{\circ}\cdot tg32^{\circ}tg58^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ} tg46^{\circ}))
Зная, что LaTeX formula: tg45^{\circ}=1, а LaTeX formula: tg30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}} и что LaTeX formula: tg(90^{\circ}-\alpha )=ctg\alpha, а LaTeX formula: tg\alpha \cdot ctg\alpha =1, найдем значение исходного выражения: LaTeX formula: log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot tg31^{\circ}ctg31^{\circ}\cdot tg32^{\circ}ctg32^{\circ}\cdot ...\cdot tg44^{\circ}ctg44^{\circ}) LaTeX formula: =log_{\sqrt{3}}(1\cdot \sqrt{3^{-1}}\cdot 1\cdot 1\cdot ...\cdot 1)=-log_{\sqrt{3}}\sqrt{3}=-1.
Ответ: -1.
При возведении выражения LaTeX formula: log_{a}b в степень n записывают: LaTeX formula: (log_{a}b)^{n} или LaTeX formula: log_{a}^{n}b;
Запись LaTeX formula: log_{a}log_{b}c следует понимать так: LaTeX formula: log_{a}(log_{b}c).
formula