Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
; (3.15)
; (3.22)
; (3.16)
; (3.23)
; (3.17)
; (3.24)
; (3.18)
; (3.25)
; (3.19)
. (3.26)
; (3.20)
; (3.21)
. (3.21.1)
(3.27)

.
.
.
.
.
.
.
Логарифмом числа
по основанию
называют показатель степени
, в которую необходимо возвести
, чтобы получить
, и записывают
, что равносильно
.








Например, если
, то
. Поскольку логарифм отрицательного числа и числа нуль не определен, то выражения
и
имеют смысл, а выражения
,
и
не имеют смысла.







Свойства логарифмов:












Свойства 3.15 – 3.26 справедливы при
и
,
и
,
,
, причем числа m, n и k отличны от нуля.






Обратим внимание на свойство логарифма 3.21. Если k – нечетное число, то это равенство справедливо при
,
и
. Если k – четное число, то выражение
определено при
,
и
, т. е. числа а и b могут быть как положительными, так и отрицательными. Следовательно, при
, где
, равенство 3.21 примет вид:










Например,
.

Равенство

называют основным логарифмическим тождеством.
Например,
.

Общепринятые записи:
1) логарифм числа b по основанию 10 (десятичный логарифм) записывают:
;

2) логарифм числа b по основанию e (натуральный логарифм), где е – иррациональное число и
, записывают:
.


Пример 1. Упростите выражение
.
![-log_{3}^{2}log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}} LaTeX formula: -log_{3}^{2}log_{3}\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}](/uploads/formulas/4c98f0854f66eeee79b9fc7a402362d44fdb411b.1.1.png)


Ответ: –4.
Пример 2. Упростите
.

Решение. Применяя свойства логарифмов 3.25, 3.19, 3.20 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим:




Ответ: 800.
Пример 3. Упростите
.

Решение. Запишем ОДЗ: 

Применяя свойство степеней
, свойства логарифмов 3.25, 3.19 и основное логарифмическое тождество 3.27, получим:
.





Ответ:
, где
,
,
,
.





Пример 4. Упростите
.

Решение. Запишем ОДЗ: 

1)
;

2)
.

Полагая,
,
, запишем



Ответ:
.

Пример 5. Вычислите
.

Решение. Применяя последовательно формулы 3.20, 3.21.1, 3.27 и правило раскрытия модуля числа, получим:



Ответ: 6.
Пример 6. Вычислите
.

Решение. Рассмотрим разность
.

Полагая
, запишем:
,
,
. Получим:
.





Сложим результаты двух действий:
.

Ответ: –9.
Пример 7. Вычислите
, если
.
![-log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1} LaTeX formula: -log_{\sqrt[4]{ab}}\left ( \frac{b^{5}}{a^{16}} \right )^{-1}](/uploads/formulas/3708bb7cb348169d0f44de93a8366151fe337119.1.1.png)

Решение. ОДЗ:
,
,
.






Тогда,

Ответ: –8.
Пример 8. Найдите
, если
,
и
.



![a=log_{a}\sqrt[3]{121} LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121}](/uploads/formulas/d0910185274d8b7b7c3e0c6702d86aa1fb390425.1.1.png)
Решение. Если
, то
,
и
. Если
, то
,
и
. Тогда
и
. Равенство
запишем в виде
, или
, или
и получим
.










![a=log_{a}\sqrt[3]{121} LaTeX formula: a=log_{a}\sqrt[3]{121}](/uploads/formulas/d0910185274d8b7b7c3e0c6702d86aa1fb390425.1.1.png)




Ответ: 11.
Пример 9. Вычислите
.

Решение. Применим формулу 3.17:


Зная, что
, а
и что
, а
, найдем значение исходного выражения:
.






Ответ: -1.
При возведении выражения
в степень n записывают:
или
;



Запись
следует понимать так:
.

