Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Показательным называют выражение вида LaTeX formula: a^{f(x)}, где LaTeX formula: a – действительное число. 
Так как при LaTeX formula: a=1 всегда будем получать тождество LaTeX formula: 1^{f(x)}=1, а при LaTeX formula: a< 0 выражение LaTeX formula: (-a)^{f(x)} может быть лишено смысла, то показательные выражения целесообразно рассматривать только при условии, что LaTeX formula: a> 0 и LaTeX formula: a\neq 1.
Преобразования показательных выражений основано на свойствах степеней и свойствах арифметических корней. 
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, при условии, что LaTeX formula: a\neq 0 и LaTeX formula: b\neq 0, справедливы равенства:
LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} ; (1.9)
LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}. (1.10)
Свойства степеней:
 LaTeX formula: a^{n}a^{m}=a^{n+m}; (1.11)
 LaTeX formula: \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}; (1.12) 
LaTeX formula: (a^{n})^{m}=a^{nm}; (1.13) 
LaTeX formula: (ab)^{n}=a^{n}b^{n}; (1.14)
LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}. (1.15)
Пример 1. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\frac{a^{0}}{\sqrt[6]{a^{-1}}}.
Решение. Учитывая, что LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} и применяя свойства степеней 1.91.131.111.12, получим:
LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\sqrt[6]{a}=\frac{a^{2\cdot \frac{1}{3}}a^{6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}a^{-1\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}}{a^{3\cdot \frac{1}{4}}a^{2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}-a^{\frac{1}{6}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{12}}}{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{6}}}-a^{\frac{1}{6}}= LaTeX formula: a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}-\frac{3}{4}-\frac{1}{6}}-a^{\frac{1}{6}}=a^{\frac{1}{6}}-a^{\frac{1}{6}}=0.
Ответ: 0.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+2^{2}a^{\frac{m+n}{mn}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )\left ( \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}} \right )}.
Решение. На основании свойства степеней 1.11 выполним следующие преобразования: 
1) LaTeX formula: a^{\frac{m+n}{mn}}=a^{\frac{m}{mn}+\frac{n}{mn}}=a^{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}=a^{\frac{1}{n}}\cdot a^{\frac{1}{m}};
2) LaTeX formula: \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}=a^{\frac{m+1}{m}}+a^{\frac{n+1}{n}}=a^{\frac{m}{m}+\frac{1}{m}}+a^{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=a^{1+\frac{1}{m}}+a^{1+\frac{1}{n}}= LaTeX formula: a\cdot a^{\frac{1}{m}}+a\cdot a^{\frac{1}{n}}=a\left ( a^{\frac{1}{m}} +a^{\frac{1}{n}}\right ).
Заданное выражение примет вид LaTeX formula: \frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+4a^{\frac{1}{m}}a^{\frac{1}{n}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )a\left ( a^{\frac{1}{m}}+a^{\frac{1}{n}} \right )}=A
Полагая LaTeX formula: a^{\frac{1}{m}}=x и LaTeX formula: a^{\frac{1}{n}}=y, запишем LaTeX formula: A=\frac{(x-y)^{2}+4xy}{a(x^{2}-y^{2})(x+y)}
Применяя формулы сокращенного умножения, получим:LaTeX formula: A=\frac{x^{2}-2xy+y^{2}+4xy}{a(x^{2}-y^{2})(x+y)}=\frac{(x+y)^{2}}{a(x-y)(x+y)(x+y)}=\frac{1}{a(x-y)}
Учитывая, что LaTeX formula: a^{\frac{1}{m}}=x и LaTeX formula: a^{\frac{1}{n}}=y, запишем: LaTeX formula: A=\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}.
Ответ:  LaTeX formula: \frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}.
Если LaTeX formula: a\neq 0, то LaTeX formula: a^{0}=1. Выражение LaTeX formula: 0^{0} не имеет смысла.
По определению LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}.
formula