Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
; (1.9)
. (1.10)
; (1.11)
; (1.12)
; (1.13)
; (1.14)
. (1.15)
.
Показательным называют выражение вида
, где
– действительное число.


Так как при
всегда будем получать тождество
, а при
выражение
может быть лишено смысла, то показательные выражения целесообразно рассматривать только при условии, что
и
.






Преобразования показательных выражений основано на свойствах степеней и свойствах арифметических корней.
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел
и
, при условии, что
и
, справедливы равенства:






Свойства степеней:





Пример 1. Упростите выражение
.
![\frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\frac{a^{0}}{\sqrt[6]{a^{-1}}} LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\frac{a^{0}}{\sqrt[6]{a^{-1}}}](/uploads/formulas/fcf1137bf64083a9fdd4286b1aa6f5b59658f791.1.1.png)
![\frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\sqrt[6]{a}=\frac{a^{2\cdot \frac{1}{3}}a^{6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}a^{-1\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}}{a^{3\cdot \frac{1}{4}}a^{2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}-a^{\frac{1}{6}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{12}}}{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{6}}}-a^{\frac{1}{6}}= LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{a^{2}\sqrt[4]{a^{6}a^{-1}}}}{\sqrt[4]{a^{3}\sqrt[3]{a^{2}}}}-\sqrt[6]{a}=\frac{a^{2\cdot \frac{1}{3}}a^{6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}a^{-1\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}}}{a^{3\cdot \frac{1}{4}}a^{2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}-a^{\frac{1}{6}}=\frac{a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{1}{2}}a^{-\frac{1}{12}}}{a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{1}{6}}}-a^{\frac{1}{6}}=](/uploads/formulas/580c8504f0620d16aa3688340725f692e96d1c93.1.1.png)

Ответ: 0.
Пример 2. Упростите выражение
.
![\frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+2^{2}a^{\frac{m+n}{mn}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )\left ( \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}} \right )} LaTeX formula: \frac{\left ( a^{\frac{1}{m}}-a^{\frac{1}{n}} \right )^{2}+2^{2}a^{\frac{m+n}{mn}}}{\left ( a^{\frac{2}{m}}-a^{\frac{2}{n}} \right )\left ( \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}} \right )}](/uploads/formulas/e35b8c9e45eb90c871b826a15d61424d9b212397.1.1.png)
Решение. На основании свойства степеней 1.11 выполним следующие преобразования:
1)
;

2)
.
![\sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}=a^{\frac{m+1}{m}}+a^{\frac{n+1}{n}}=a^{\frac{m}{m}+\frac{1}{m}}+a^{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=a^{1+\frac{1}{m}}+a^{1+\frac{1}{n}}= LaTeX formula: \sqrt[m]{a^{m+1}}+\sqrt[n]{a^{n+1}}=a^{\frac{m+1}{m}}+a^{\frac{n+1}{n}}=a^{\frac{m}{m}+\frac{1}{m}}+a^{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}=a^{1+\frac{1}{m}}+a^{1+\frac{1}{n}}=](/uploads/formulas/ef28b1c11f037b0ebdebf36413ddc70a1d00d44e.1.1.png)

Заданное выражение примет вид
.

Полагая
и
, запишем
.



Применяя формулы сокращенного умножения, получим:
.

Учитывая, что
и
, запишем:
.


![A=\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})} LaTeX formula: A=\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}](/uploads/formulas/c1eb7eff287ff3c3a696fb0bb3dccf963f4ed1b5.1.1.png)
Ответ:
.
![\frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})} LaTeX formula: \frac{1}{a(\sqrt[m]{a}-\sqrt[n]{a})}](/uploads/formulas/1e705b8e4827e50c1d578241c138950baa32cb39.1.1.png)
Если
, то
. Выражение
не имеет смысла.



По определению
,
.
![\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}](/uploads/formulas/89d296a3d4438201e22973da63abda647df30754.2.1.png)
![\sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}} LaTeX formula: \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}](/uploads/formulas/c57bd72d313d100f478da821723cfb26be593f3c.2.1.png)