Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения. 
Например, равенства LaTeX formula: a^{2}+1=(-a)^{2}+1LaTeX formula: -a\cdot b=a\cdot (-b) являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.
Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. 
Например, выражения LaTeX formula: 0,25+x, и LaTeX formula: \frac{x^{2}+5xy}{25} являются рациональными. 
Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби. 
Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби. 
Например, выражения LaTeX formula: 0,25+x и LaTeX formula: \frac{x^{2}+5xy}{25} – целые, а выражение LaTeX formula: \frac{3x-2}{x-2} – дробное. 
Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.
В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения:
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} (3.1)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} (3.2)
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} (3.3)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} (3.4)
LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) (3.5)
LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) (3.6)
LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right ) (3.7)
Арифметические действия с алгебраическими дробями
1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют: 
а) согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D}, (3.9)
если многочлены B и D не имеют общих множителей;
б) согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot M\pm C\cdot N}{HOK \left ( B;D \right )}, (3.10)
где LaTeX formula: M=\frac{HOK\left ( B;D \right )}{B}LaTeX formula: N=\frac{HOK\left ( B;D \right )}{D}, если многочлены B и D имеют общие множители. 
Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}. (3.11)
Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}: \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}(3.12)
Формула разложения квадратного трехчлена   на линейные множители: LaTeX formula: f(x)=ax^{2}+bx+c,
LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}), (3.13)
где LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2} – корни квадратного трехчлена.
Корни квадратного уравнения LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0 находят по формулам:
LaTeX formula: x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}, (3.14)
где LaTeX formula: D=b^{2}-4ac\geq 0. (3.14.1)
Пример 1. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{1}{b+c^{-1}}}:\frac{1}{a+b^{-1}}-\frac{1}{4^{-1}b(abc+a+c)}.
Решение. Выполним действия 3.9 и 3.12 с алгебраическими дробями:
1) LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{c}{c(b+\frac{1}{c})}}= LaTeX formula: \frac{4}{a+\frac{c}{bc+1}} LaTeX formula: =\frac{4(bc+1)}{(bc+1)(a+\frac{c}{bc+1})} LaTeX formula: =\frac{4(bc+1)}{abc+a+c};
2) LaTeX formula: \frac{1}{a+\frac{1}{b}}=\frac{b}{b(a+\frac{1}{b})}=\frac{b}{ab+1};
3) LaTeX formula: \frac{4(bc+1)}{abc+a+c}:\frac{b}{ab+1}=\frac{4(ab^{2}c+bc+ab+1)}{b(abc+a+c)};
4) LaTeX formula: \frac{4(ab^{2}c+bc+ab+1)-4}{b(abc+a+c)}=\frac{4b(abc+c+a)}{b(abc+a+c)}=4.
Ответ: 4.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: \left ( \frac{1}{x^{2}+3x+2}+\frac{2x}{x^{2}+4x+3}+\frac{1}{x^{2}+5x+6} \right )^{-2}LaTeX formula: :\frac{(3-x)^{2}+12x}{2}.
Решение. Согласно правилу разложения квадратного трехчлена на линейные множители 3.13запишем: LaTeX formula: x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)LaTeX formula: x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3)LaTeX formula: x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Корни квадратных уравнений мы нашли по формулам 3.14 и 3.14.1.
Тогда исходное выражение примет вид: LaTeX formula: \left ( \frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{2x}{(x+1)(x+3)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)} \right )^{-2}: LaTeX formula: \frac{(x-3)^{2}+12x}{2}
Приводя дроби к общему знаменателю по правилу 3.10 и применяя формулы сокращенного умножения 3.2 и 3.1, получим:
LaTeX formula: \left ( \frac{x+3+2x^{2}+4x+x+1}{(x+1)(x+2)(x+3)} \right )^{-2}LaTeX formula: \cdot \frac{2}{x^{2}-6x+9+12x} LaTeX formula: =\left ( \frac{(x+1)(x+2)(x+3)}{2x^{2}+6x+4} \right )^{2}\cdot \frac{2}{x^{2}+6x+9}LaTeX formula: =\frac{(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}\cdot 2}{\left ( 2x^{2}+6x+4\right )^{2}\left ( x^{2}+6x+9 \right )}= LaTeX formula: \frac{2(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}}{4(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}}=\frac{1}{2}.
Ответ: 0,5.
Пример 3. Сократите дробь LaTeX formula: \frac{x^{2}-11xy+30y^{2}}{x^{2}-9xy+20y^{2}}.
Решение. Рассмотрим относительно LaTeX formula: x квадратный трехчлен LaTeX formula: f(x)=x^{2}-11xy+30y^{2}. Зная, что LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=11y и LaTeX formula: x_{1}x_{2}=30y^{2} (см. теорему Виета во вкладке Обратите внимание!), получим LaTeX formula: x_{1}=5yLaTeX formula: x_{2}=6y. Аналогично найдем корни квадратного трехчлена LaTeX formula: f(x)=x^{2}-9xy+20y^{2}LaTeX formula: x_{1}=4yLaTeX formula: x_{2}=5y. По формуле 3.13 разложим трехчлены на линейные множители и выполним сокращение дроби: LaTeX formula: \frac{(x-5y)(x-6y)}{(x-4y)(x-5y)}=\frac{x-6y}{x-4y}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{x-6y}{x-4y}.
Пример 4. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{\frac{a-b}{2a-b}-\frac{a^{2}+b^{2}+a}{2a^{2}+ab-b^{2}}}{(4b^{4}+4ab^{2}+a^{2}):(2b^{2}+a)} . LaTeX formula: \frac{b^{2}+b+ab+a}{b+1}.
Решение. Выполним последовательно действия с многочленами:
1) разложение на множители:
LaTeX formula: 2a^{2}+ab-b^{2}=a^{2}+ab+a^{2}-b^{2}=a(a+b)+(a-b)(a+b)LaTeX formula: =(a+b)(2a-b);
2) вычитание многочленов по формуле 3.10 
LaTeX formula: \frac{a-b}{2a-b}-\frac{a^{2}+b^{2}+a}{(a+b)(2a-b)}=LaTeX formula: \frac{(a-b)(a+b)-(a^{2}+b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)}=LaTeX formula: \frac{a^{2}-b^{2}-a^{2}-b^{2}-a}{(a+b)(2a-b)}=LaTeX formula: \frac{-2b^{2}-a}{(a+b)(2a-b)}=\frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)};
3) преобразование по формуле 3.1 и сокращение дроби 
LaTeX formula: \frac{4b^{4}+4ab^{2}+a^{2}}{2b^{2}+a}=\frac{(2b^{2}+a)^{2}}{2b^{2}+a}=2b^{2}+a;
4) деление многочленов по формуле 3.12
LaTeX formula: \frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)}:(2b^{2}+a)=\frac{-(2b^{2}+a)}{(a+b)(2a-b)(2b^{2}+a)}LaTeX formula: =\frac{-1}{(a+b)(2a-b)};
5) разложение многочлена на множители
LaTeX formula: b^{2}+b+ab+a=b(b+1)+a(b+1)=(b+1)(b+a);
6) умножение многочленов по формуле 3.11
LaTeX formula: \frac{-(b+1)(b+a)}{(a+b)(2a-b)(b+1)}=-\frac{1}{2a-b}=\frac{1}{b-2a}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{1}{b-2a}.
Целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Дробные рациональные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают в нуль знаменатель дроби. 
В результате некоторых преобразований может измениться область определения рационального выражения, например, в результате сокращения дроби на выражение, содержащее переменную. 
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0 равна LaTeX formula: -\frac{b}{a}, а произведение его корней равно LaTeX formula: \frac{c}{a} (при условии, что LaTeX formula: D> 0).
Если LaTeX formula: D=0, то учитываем, что LaTeX formula: -\frac{b}{2a} – двукратный корень уравнения.
Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида: LaTeX formula: x^{2}+px+q=0. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна LaTeX formula: -p, а произведение его корней равно LaTeX formula: q
Теорема, обратная теореме Виета. Числа LaTeX formula: m и LaTeX formula: n являются корнями квадратного уравнения LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=0 LaTeX formula: \left ( a\neq 0 \right ), если их сумма равна LaTeX formula: -\frac{b}{a}, а произведение равно LaTeX formula: \frac{c}{a}.

formula