Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
, (3.9)
, (3.10)
. (3.11)
. (3.12)
, (3.13)
, (3.14)


.
;


;
;
;
;
.
Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения.
Например, равенства
,
являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.


Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
Например, выражения
, и
являются рациональными.


Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби.
Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби.
Например, выражения
и
– целые, а выражение
– дробное.



Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.
В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения:







Арифметические действия с алгебраическими дробями
1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют:
а) согласно правилу:

если многочлены B и D не имеют общих множителей;
б) согласно правилу:

где
,
, если многочлены B и D имеют общие множители.


Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:

Формула разложения квадратного трехчлена на линейные множители:
,


где
и
– корни квадратного трехчлена.


Корни квадратного уравнения
находят по формулам:


где
. (3.14.1)

Пример 1. Упростите выражение
.

1)
;




2)
;

3)
;

4)
.

Ответ: 4.
Пример 2. Упростите выражение 
.


Решение. Согласно правилу разложения квадратного трехчлена на линейные множители 3.13, запишем:
,
,
.



Тогда исходное выражение примет вид:
:
.


Приводя дроби к общему знаменателю по правилу 3.10 и применяя формулы сокращенного умножения 3.2 и 3.1, получим:





Ответ: 0,5.
Пример 3. Сократите дробь
.

Решение. Рассмотрим относительно
квадратный трехчлен
. Зная, что
и
(см. теорему Виета во вкладке Обратите внимание!), получим
,
. Аналогично найдем корни квадратного трехчлена
:
,
. По формуле 3.13 разложим трехчлены на линейные множители и выполним сокращение дроби:
.










Ответ:
.

Пример 4. Упростите выражение
.
.


Решение. Выполним последовательно действия с многочленами:
1) разложение на множители:


2) вычитание многочленов по формуле 3.10




3) преобразование по формуле 3.1 и сокращение дроби

4) деление многочленов по формуле 3.12


5) разложение многочлена на множители

6) умножение многочленов по формуле 3.11

Ответ:
.

Целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Дробные рациональные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают в нуль знаменатель дроби.
В результате некоторых преобразований может измениться область определения рационального выражения, например, в результате сокращения дроби на выражение, содержащее переменную.
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения
равна
, а произведение его корней равно
(при условии, что
).




Если
, то учитываем, что
– двукратный корень уравнения.


Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида:
. Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна
, а произведение его корней равно
.



Теорема, обратная теореме Виета. Числа
и
являются корнями квадратного уравнения
, если их сумма равна
, а произведение равно
.





