Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Тождеством называют равенство, верное при всех значениях переменных, принадлежащих области его определения.
Например, равенства , являются тождествами, так как они справедливы на множестве всех действительных чисел.
Рациональным выражением называют выражение, в котором, относительно входящих в него переменных и чисел, не выполняется никаких других операций кроме операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.
Например, выражения , и являются рациональными.
Целые рациональные выражения не содержат переменную в знаменателе дроби.
Дробные рациональные выражения содержат переменную в знаменателе дроби.
Например, выражения и – целые, а выражение – дробное.
Все значения переменных, при которых выражение имеет смысл, образуют область определения (или область допустимых значений) переменных выражения.
В процессе преобразований рациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.
Формулы сокращенного умножения:
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Арифметические действия с алгебраическими дробями
1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют:
а) согласно правилу:
, (3.9)
если многочлены B и D не имеют общих множителей;
б) согласно правилу:
, (3.10)
где , , если многочлены B и D имеют общие множители.
Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
. (3.11)
Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
. (3.12)
Формула разложения квадратного трехчлена на линейные множители: ,
, (3.13)
где и – корни квадратного трехчлена.
Корни квадратного уравнения находят по формулам:
, (3.14)
где . (3.14.1)
Пример 1. Упростите выражение .
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Ответ: 4.
Пример 2. Упростите выражение .
Решение. Согласно правилу разложения квадратного трехчлена на линейные множители 3.13, запишем: , , .
Тогда исходное выражение примет вид: : .
Приводя дроби к общему знаменателю по правилу 3.10 и применяя формулы сокращенного умножения 3.2 и 3.1, получим:
.
Ответ: 0,5.
Пример 3. Сократите дробь .
Решение. Рассмотрим относительно квадратный трехчлен . Зная, что и (см. теорему Виета во вкладке Обратите внимание!), получим , . Аналогично найдем корни квадратного трехчлена : , . По формуле 3.13 разложим трехчлены на линейные множители и выполним сокращение дроби: .
Ответ: .
Пример 4. Упростите выражение . .
Решение. Выполним последовательно действия с многочленами:
1) разложение на множители:
;
2) вычитание многочленов по формуле 3.10
;
3) преобразование по формуле 3.1 и сокращение дроби
;
4) деление многочленов по формуле 3.12
;
5) разложение многочлена на множители
;
6) умножение многочленов по формуле 3.11
.
Ответ: .
Целые рациональные выражения имеют смысл при любых значениях переменных. Дробные рациональные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают в нуль знаменатель дроби.
В результате некоторых преобразований может измениться область определения рационального выражения, например, в результате сокращения дроби на выражение, содержащее переменную.
Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна , а произведение его корней равно (при условии, что ).
Если , то учитываем, что – двукратный корень уравнения.
Приведенным квадратным уравнением называют уравнение вида: . Согласно теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна , а произведение его корней равно .
Теорема, обратная теореме Виета. Числа и являются корнями квадратного уравнения , если их сумма равна , а произведение равно .