Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Алгебраической дробью называют выражение вида LaTeX formula: \frac{A}{B} , где А и В – многочлены.
Например, выражения LaTeX formula: \frac{x^{2}-y}{2y-5x} и LaTeX formula: \frac{2m}{7+n} являются алгебраическими дробями.
Алгебраическую дробь можно сократить на ненулевой многочлен.
Например, LaTeX formula: \frac{12x-6x^{2}}{2x^{2}-x^{3}}=\frac{6x(2-x)}{x^{2}(2-x)}=\frac{6}{x}.
Арифметические действия с алгебраическими дробями
1. Сложение (вычитание) алгебраических дробей выполняют: 
а) согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot D\pm C\cdot B}{B\cdot D} (3.9),
если многочлены B и D не имеют общих множителей;
б) согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\pm \frac{C}{D}=\frac{A\cdot M\pm C\cdot N}{HOK(B;D)} (3.10),
где LaTeX formula: M=\frac{HOK(B;D)}{B}LaTeX formula: N=\frac{HOK(B;D)}{D}, если многочлены B и D имеют общие множители. 
2. Умножение алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}\cdot \frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D} (3.11). 
3. Деление алгебраических дробей выполняют согласно правилу:
LaTeX formula: \frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C} (3.12).
Пример 1. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{4}{x-1}+\frac{2}{x}.
Решение. Согласно правилу 3.9 LaTeX formula: \frac{4}{x-1}+\frac{2}{x}=\frac{4x+2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{4x+2x-2}{x(x-1)}=\frac{6x-2}{x(x-1)}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{6x-2}{x^{2}-x}.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{4}{3(x-1)}-\frac{2+x}{x(x-1)}.
Решение. Согласно правилу 3.10 LaTeX formula: \frac{4}{3(x-1)}-\frac{2+x}{x(x-1)}=\frac{4x-3(2+x)}{3x(x-1)}=LaTeX formula: \frac{4x-6-3x}{3x(x-1)}=\frac{x-6}{3x(x-1)}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{x-6}{3x^{2}-3x}.
Пример 3. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{x}{x-1}\cdot \frac{2x-2}{x^{2}}.
Решение. Согласно правилу 3.11 LaTeX formula: \frac{x}{x-1}\cdot \frac{2x-2}{x^{2}}=\frac{x\cdot 2(x-1)}{(x-1)x^{2}}=\frac{2}{x}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{2}{x}.
Пример 4. Упростите выражение LaTeX formula: \frac{x-1}{x}:\frac{x}{x+1}.
Решение. Согласно правилу 3.12 LaTeX formula: \frac{x-1}{x}:\frac{x}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x\cdot x}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
Арифметические действия с алгебраическими дробями выполняют аналогично действиям с числами, представленными обыкновенными дробями.
formula