Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Вынесение за скобки общего множителя многочлена
Чтобы вынести за скобки общий множитель, необходимо каждое слагаемое алгебраической суммы разделить на этот множитель.
Например, LaTeX formula: 10a^{3}+20b-5=5\cdot \left ( 2a^{3}+4b-1 \right ).
Чтобы вынести общий множитель многочлена, возведенного в некоторую степень, необходимо этот множитель возвести в ту же степень, в которую возведен многочлен.
Например, LaTeX formula: \left ( 15a-10b-5\right )^{2}=25\cdot \left ( 3a-2b-1\right )^{2}.
2. Группировка членов многочлена
Группировку членов многочлена применяют, как правило, в сочетании со способом вынесения общего множителя за скобки. Под группировкой членов многочлена понимают объединение нескольких слагаемых алгебраической суммы, то есть заключение их в скобки. При этом слагаемые объединяют так, чтобы они имели общий множитель, а после вынесения общих множителей за скобки, слагаемые снова должны иметь общий множитель.
Например, LaTeX formula: 7ab+14a+2b+b^{2}=(7ab+b^{2})+(14a+2b)LaTeX formula: =b(7a+b)+2(7a+b)=(7a+b)(b+2).
3. Применение формул сокращенного умножения
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} (3.1)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} (3.2)
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} (3.3)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} (3.4)
LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) (3.5)
LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) (3.6)
LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right ) (3.7)
Например, разложим на множители выражение LaTeX formula: 16-x^{4} , дважды применяя формулу разности квадратов 3.5LaTeX formula: (4-x^{2})(4+x^{2})=(2-x)(2+x)(4+x^{2}).
4. Выделение полного квадрата 
Чтобы выделить полный квадрат, необходимо, как правило, дополнить многочлен до квадрата суммы или квадрата разности и применить одну из формул: 3.1 или 3.2
Например, разложим трехчлен LaTeX formula: a^{2}+6a+5 на множители, дополнив его до квадрата суммы 3.1, и применим формулу разности квадратов 3.5LaTeX formula: a^{2}+2\cdot 3\cdot a+5=a^{2}+2\cdot 3\cdot a+3^{2}-3^{2}+5=LaTeX formula: \left ( a^{2}+2\cdot 3\cdot a+3^{2} \right )-9+5=\left ( a+3 \right )^{2}-4= LaTeX formula: (a+3-2)(a+3+2)=(a+1)(a+5).
Пример 1. Разложите на множители выражение LaTeX formula: x^{1,2}+1
Решение. Применим формулу сумы кубов 3.6LaTeX formula: \left (x^{0,4} \right )^{3}+1^{3}=\left ( x^{0,4}+1 \right )\left ( x^{0,8}-x^{0,4}+1 \right ).
Пример 2. Разложите на множители выражение LaTeX formula: x^{3}+2y^{3}-xy^{2}-2x^{2}y.
Решение. Применим метод группировки и формулу разности квадратов 3.5LaTeX formula: \left ( x^{3}-2x^{2}y \right )+\left ( 2y^{3}-xy^{2} \right )=x^{2}\left ( x-2y \right )+y^{2}\left ( 2y-x \right )=
LaTeX formula: = LaTeX formula: x^{2}\left ( x-2y \right )-y^{2}\left ( x-2y \right )=\left (x-2y \right )\left ( x^{2}-y^{2} \right )= LaTeX formula: \left ( x-2y \right )\left ( x-y \right )\left ( x+y \right ).
Пример 3. Разложите на множители выражение LaTeX formula: a^{2}-4ab+4b^{2}-a^{4}.
Решение. Применяя формулы квадрата разности 3.2 и разности квадратов 3.5, получим: LaTeX formula: \left ( a^{2}-4ab+4b^{2} \right )-a^{4}=\left ( a-2b \right )^{2}-a^{4}= LaTeX formula: \left ( a-2b-a^{2} \right )\left ( a-2b+a^{2} \right ).
Пример 4. Разложите на множители выражение LaTeX formula: x^{2}-3xy-28y^{2}.
Решение. Запишем трехчлен в виде LaTeX formula: x^{2}-2\cdot x\cdot \frac{3y}{2}-28y^{2}, дополним его до квадрата разности 3.2 и применим формулу разности квадратов 3.5LaTeX formula: \left (x^{2}-2\cdot x\cdot \frac{3y}{2}+\frac{9y^{2}}{4} \right )-\frac{9y^{2}}{4}-28y^{2}= LaTeX formula: \left ( x-\frac{3y}{2} \right )^{2}-\frac{121y^{2}}{4}LaTeX formula: =\left ( x-\frac{3y}{2}-\frac{11y}{2} \right )\left ( x-\frac{3y}{2}+\frac{11y}{2} \right )= LaTeX formula: (x-7y)(x+4y).
1. Для всех LaTeX formula: n\epsilon N справедливы следующие равенства: LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2n}=\left ( -a-b \right )^{2n}LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2n+1}=-\left ( -a-b \right )^{2n+1}.
Например: LaTeX formula: \left ( 7-a \right )^{4}=\left ( a-7 \right )^{4}LaTeX formula: \left ( 7-a \right )^{5}=-\left ( a-7 \right )^{5}.
2. Как правило, при разложении многочлена на множители возникает необходимость в применении нескольких из рассмотренных способов. 
3. Существуют и другие способы разложения многочленов на множители. Например: 
1) квадратный трехчлен LaTeX formula: ax^{2}+bx+c можно разложить на линейные множители следующим образом:
LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}),
где LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2} – корни этого трехчлена;
2) многочлен LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0} можно разложить на множители следующим образом:
LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}),
где LaTeX formula: c_{1}LaTeX formula: c_{2}, … , LaTeX formula: c_{n} все корни этого многочлена. 
Если LaTeX formula: c_{1} – корень кратности LaTeX formula: k многочлена LaTeX formula: P_{n}(x), то разложение этого многочлена на множители примет вид:
LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}\left ( x-c_{1} \right )^{k}\left ( x-c_{2} \right )\cdots \left ( x-c_{n-k+1} \right ).
formula