Формулы сокращенного умножения /qualihelpy

Формулы сокращенного умножения

Справочник / Школьник / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Для любых

справедливы следующие равенства:

квадрат суммы: $LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ; (3.1)

квадрат разности: $LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ; (3.2)

куб суммы: $LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ ; (3.3)

куб разности: $LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ ; (3.4)

разность квадратов: $LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ ; (3.5)

сумма кубов: $LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2}\right )$ ; (3.6)

разность кубов: $LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ . (3.7)

Формулы 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7 называют формулами сокращенного умножения.

Бином Ньютона

Биномом Ньютона называют формулу вида:

$LaTeX formula: (a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}a^{n-2}b^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots +$ $LaTeX formula: + b^{n}$ , (3.8) где $LaTeX formula: n\epsilon N$ .

С помощью бинома Ньютона можно возвести двучлен в любую натуральную степень.

Например: если LaTeX formula: n=4

, то согласно 3.8 $LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{4}=a^{4}+4a^{3}\left ( -b \right )+\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}a^{2}\left ( -b\right)^{2}+\frac{4\cdot 3\cdot 2}{1\cdot 2\cdot 3}a\left ( -b \right )^{3}$ $LaTeX formula: +\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\left ( -b \right )^{4}$ $LaTeX formula: =a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}$ .

Биномиальные коэффициенты (коэффициенты при переменных) удобно вычислять, пользуясь треугольником Паскаля:

Например, используя треугольник Паскаля, запишем:

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}$

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: \left ( 2-x \right )^{2}+\left ( x+2 \right )^{2}$ .

Решение. Применяя формулы квадрата разности 3.2 и квадрата суммы 3.1, получим: $LaTeX formula: 4-4x+x^{2}+x^{2}+4x+4=2x^{2}+8$ .

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: (3-a)(9+3a+a^{2})+(a^{2}-a+1)(a+1)$ .

Решение. Применяя формулы 3.7 и 3.6 разности и суммы кубов, получим: $LaTeX formula: (27-a^{3})+(a^{3}+1)=28$ .

Ответ: 28.

Пример 3. Найдите значение выражения $LaTeX formula: \frac{47^{2}-53^{2}}{20}$ .

Решение. Применяя формулу 3.5 разности квадратов, получим: $LaTeX formula: \frac{(47-53)(47+53)}{20}=\frac{-6\cdot 100}{20}=-30$ .

Ответ: –30.

Формулы сокращенного умножения применяют при упрощении выражений, а также при вычислении значений выражений.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_3_формулы_умножения