Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Для любых LaTeX formula: a и LaTeX formula: b справедливы следующие равенства: 
квадрат суммы: LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}; (3.1)
квадрат разности: LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}; (3.2)
куб суммы: LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}; (3.3)
куб разности: LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}; (3.4)
разность квадратов: LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ); (3.5)
сумма кубов: LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2}\right ); (3.6)
разность кубов: LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right ). (3.7)
Формулы 3.13.23.33.43.53.63.7 называют формулами сокращенного умножения. 
Бином Ньютона
Биномом Ньютона называют формулу вида:
LaTeX formula: (a+b)^{n}=a^{n}+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1\cdot 2}a^{n-2}b^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3}a^{n-3}b^{3}+\cdots +LaTeX formula: + b^{n}, (3.8) где LaTeX formula: n\epsilon N.
С помощью бинома Ньютона можно возвести двучлен в любую натуральную степень.
Например: если LaTeX formula: n=4 , то согласно 3.8 LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{4}=a^{4}+4a^{3}\left ( -b \right )+\frac{4\cdot 3}{1\cdot 2}a^{2}\left ( -b\right)^{2}+\frac{4\cdot 3\cdot 2}{1\cdot 2\cdot 3}a\left ( -b \right )^{3}LaTeX formula: +\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}\left ( -b \right )^{4}LaTeX formula: =a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.
Биномиальные коэффициенты (коэффициенты при переменных) удобно вычислять, пользуясь треугольником Паскаля:
Например, используя треугольник Паскаля, запишем:
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}
Пример 1. Упростите выражение LaTeX formula: \left ( 2-x \right )^{2}+\left ( x+2 \right )^{2}.
Решение. Применяя формулы квадрата разности 3.2 и квадрата суммы 3.1, получим: LaTeX formula: 4-4x+x^{2}+x^{2}+4x+4=2x^{2}+8.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: (3-a)(9+3a+a^{2})+(a^{2}-a+1)(a+1).
Решение. Применяя формулы 3.7 и 3.6 разности и суммы кубов, получим: LaTeX formula: (27-a^{3})+(a^{3}+1)=28.
Ответ: 28. 
Пример 3. Найдите значение выражения LaTeX formula: \frac{47^{2}-53^{2}}{20}.
Решение. Применяя формулу 3.5 разности квадратов, получим: LaTeX formula: \frac{(47-53)(47+53)}{20}=\frac{-6\cdot 100}{20}=-30.
Ответ: –30.
Формулы сокращенного умножения применяют при упрощении выражений, а также при вычислении значений выражений.
formula