Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных величин.

Например, ,  и  – одночлены. Действительное число, например, число 5 также одночлен, так как его можно записать в виде  или, например, в виде .

Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждая из переменных встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена. 

Если коэффициент одночлена равен 0, то его называют нулевым одночленом. Например,  – нулевой одночлен.

Одночлены, которые имеют одинаковую переменную часть, называются подобными.

Чтобы сложить подобные одночлены, необходимо сложить их коэффициенты, а переменную часть переписать.

Например, одночлены  и  подобные, а их сумма равна . 

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например: степень одночлена  равна 1; степень одночлена  равна 5.

Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна 0.

Например, числа –260 и 0,5 – одночлены, степень которых равна 0.

Нулевым одночленам не приписывают никакую степень. 

Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.

Например,  и  – многочлены. 

Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид, и среди них нет подобных. 

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Например, степень многочлена  равна 4.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 

Например, .

При умножении многочлена на число 1, многочлен не изменится, а при умножении многочлена на число –1, получим многочлен, каждый член которого будет иметь противоположный коэффициент. 

Например, ;.

Это утверждение часто формулируют, как правило раскрытия скобок. Говорят, что если перед скобкой стоит знак «+» (этот знак не ставят), то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, переписывают без изменений. Если перед скобкой стоит знак «–», то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, умножают на число –1.

Например, .

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 

Например: .

Многочленом степени  от одной переменной  называют выражение вида  при  и . 

Числа  называют коэффициентами многочлена, при этом число  называют старшим коэффициентом многочлена, а число  – свободным членом. Коэффициенты многочлена за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.

Например:  – многочлен первой степени, а  – многочлен третьей степени.

Многочлен вида  называют многочленом нулевой степени, а если , то имеем нулевой многочлен.

Например,  – многочлен нулевой степени, а  – нулевой многочлен. 

Корнем многочлена  называют такое число  , что .

Например, число  является корнем многочлена , так как . 

Число  называют корнем кратности  многочлена , если справедливо равенство , где  – многочлен степени ,  и  – натуральные числа  и .

Деление многочленов. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

Например,

Теорема Безу. Остатокот деления многочлена  на двучлен  равен значению многочлена при , то есть .

Следствие 1. Для делимости многочлена  на двучлен  необходимо и достаточно, чтобы число  было корнем многочлена .

Следствие 2. Если  – все корни многочлена , то этот многочлен можно разложить на множители следующим образом: . 

Если – корень кратности  многочлена , то разложение этого многочлена на множители примет вид: .

Теорема о целых корнях. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена. 

Следствие. При отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.