Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
,
. 
.
Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных величин.
Например,
,
и
– одночлены. Действительное число, например, число 5 также одночлен, так как его можно записать в виде
или, например, в виде
.





Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждая из переменных встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена.
Если коэффициент одночлена равен 0, то его называют нулевым одночленом. Например,
– нулевой одночлен.

Одночлены, которые имеют одинаковую переменную часть, называются подобными.
Чтобы сложить подобные одночлены, необходимо сложить их коэффициенты, а переменную часть переписать.
Например, одночлены
и
подобные, а их сумма равна
.



Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Например: степень одночлена
равна 1; степень одночлена
равна 5.


Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна 0.
Например, числа –260 и 0,5 – одночлены, степень которых равна 0.
Нулевым одночленам не приписывают никакую степень.
Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.
Например,
и
– многочлены.


Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид, и среди них нет подобных.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
Например, степень многочлена
равна 4.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
Например,
.

При умножении многочлена на число 1, многочлен не изменится, а при умножении многочлена на число –1, получим многочлен, каждый член которого будет иметь противоположный коэффициент.
Например,
;
.


Это утверждение часто формулируют, как правило раскрытия скобок. Говорят, что если перед скобкой стоит знак «+» (этот знак не ставят), то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, переписывают без изменений. Если перед скобкой стоит знак «–», то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, умножают на число –1.
Например,
.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
Например:
.

Многочленом степени
от одной переменной
называют выражение вида
при
и
.





Числа
называют коэффициентами многочлена, при этом число
называют старшим коэффициентом многочлена, а число
– свободным членом. Коэффициенты многочлена за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.



Например:
– многочлен первой степени, а
– многочлен третьей степени.


Многочлен вида
называют многочленом нулевой степени, а если
, то имеем нулевой многочлен.


Например,
– многочлен нулевой степени, а
– нулевой многочлен.


Корнем многочлена
называют такое число
, что
.



Например, число
является корнем многочлена
, так как
.



Число
называют корнем кратности
многочлена
, если справедливо равенство
, где
– многочлен степени
,
и
– натуральные числа
и
.










Деление многочленов. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
Например,

Результат деления записывают так:
.

Теорема Безу. Остаток
от деления многочлена
на двучлен
равен значению многочлена при
, то есть
.





Следствие 1. Для делимости многочлена
на двучлен
необходимо и достаточно, чтобы число
было корнем многочлена
.




Следствие 2. Если
– все корни многочлена
, то этот многочлен можно разложить на множители следующим образом:
.



Если
– корень кратности
многочлена
, то разложение этого многочлена на множители примет вид:
.




Теорема о целых корнях. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.
Следствие. При отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.
Пример 1. Приведем одночлен
к стандартному виду:
.


Пример 2. Приведем многочлен
к стандартному виду: 
.



Пример 3. Найдите корни многочлена
.

Решение. Найдем целые корни многочлена. Согласно теореме о целых корнях многочлена, ими могут быть только делители свободного члена, то есть числа –1 и 1.


Так как 
, то число –1 не является корнем многочлена, а так как
, то число 1 – целый корень многочлена.



Тогда, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен
делится на двучлен
.


Выполним деление многочленов:

Запишем результат деления:
.

Найдем корни квадратного трехчлена
. Получим:
,
,
.




Следовательно, многочлен
имеет три корня:
.


Ответ:
.

Пример 4. Найдем остаток
от деления многочлена
на двучлен
.



Решение. Вычислим значение многочлена при
:



Ответ:
.

Пример 5. Найдите все целые значения
, при которых дробь
является целым числом.


Решение. Упростим дробь:
.

Разделим числитель дроби на ее знаменатель:

Запишем результат деления:
. Очевидно, что дробь
будет целым числом, если 49 разделится без остатка на
, то есть если число
будет делителем числа 49.




Запишем делители числа 49:
. Решим уравнения:

1)
,
;


2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)
.

Поскольку, согласно условию задачи,
– целое число, то
,
и
.




Ответ:
.

1. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то цифру 1, как правило, не записывают, а пишут только его переменную часть. Например:
;
.


2. Одночлены также являются многочленами.