Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных величин.
Например, LaTeX formula: xLaTeX formula: y^{8} и LaTeX formula: 1,9a^{2}b^{13}ca – одночлены. Действительное число, например, число 5 также одночлен, так как его можно записать в виде LaTeX formula: 5x^{0} или, например, в виде LaTeX formula: 5x^{0}y^{0}z^{0}.
Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждая из переменных встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена. 
Если коэффициент одночлена равен 0, то его называют нулевым одночленом. Например, LaTeX formula: 0xy^{5} – нулевой одночлен.
Одночлены, которые имеют одинаковую переменную часть, называются подобными.
Чтобы сложить подобные одночлены, необходимо сложить их коэффициенты, а переменную часть переписать.
Например, одночлены LaTeX formula: -10x и LaTeX formula: 2x подобные, а их сумма равна LaTeX formula: -10x+2x=(-10+2)x=-8x
Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.
Например: степень одночлена LaTeX formula: -8x равна 1; степень одночлена LaTeX formula: 91x^{2}y^{3} равна 5.
Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна 0.
Например, числа –260 и 0,5 – одночлены, степень которых равна 0.
Нулевым одночленам не приписывают никакую степень. 
Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.
Например, LaTeX formula: x^{2}-4y^{2} и LaTeX formula: 3a+5b^{2}-1,2c^{2} – многочлены. 
Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид, и среди них нет подобных. 
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.
Например, степень многочлена LaTeX formula: 5^{9}y+2,5xy^{3} равна 4.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. 
Например, LaTeX formula: 2a\cdot \left ( -5ab+0,5 \right )=2a\cdot (-5)ab+2a\cdot 0,5=-10a^{2}b+a.
При умножении многочлена на число 1, многочлен не изменится, а при умножении многочлена на число –1, получим многочлен, каждый член которого будет иметь противоположный коэффициент. 
Например, LaTeX formula: 1\cdot(x-2y)=x-2y;LaTeX formula: -1\cdot(x-2y)=-x+2y.
Это утверждение часто формулируют, как правило раскрытия скобок. Говорят, что если перед скобкой стоит знак «+» (этот знак не ставят), то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, переписывают без изменений. Если перед скобкой стоит знак «–», то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, умножают на число –1.
Например, LaTeX formula: (2x+3)-(5x-2)=2x+3-5x+2=5-3x.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. 
Например: LaTeX formula: (a-b)(b-3a)=ab-3a^{2}-b^{2}+3ab=4ab-3a^{2}-b^{2}.
Многочленом степени LaTeX formula: n от одной переменной LaTeX formula: x называют выражение вида LaTeX formula: P_{n}\left ( x \right )=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0} при LaTeX formula: a_{n}\neq 0 и LaTeX formula: n\epsilon N
Числа LaTeX formula: a_{n},a_{n-1},\cdots,a_{1},a_{0} называют коэффициентами многочлена, при этом число LaTeX formula: a_{n} называют старшим коэффициентом многочлена, а число LaTeX formula: a_{0} – свободным членом. Коэффициенты многочлена за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.
Например: LaTeX formula: P(x)=-2x+1 – многочлен первой степени, а LaTeX formula: P(x)=4x^{3}-3x+9 – многочлен третьей степени.
Многочлен вида LaTeX formula: P_{0}\left ( x \right )=a_{0}x^{0}=a_{0} называют многочленом нулевой степени, а если LaTeX formula: a_{0}=0, то имеем нулевой многочлен.
Например, LaTeX formula: P\left ( x \right )=4x^{0}=4 – многочлен нулевой степени, а LaTeX formula: P\left ( x \right )=0 – нулевой многочлен. 
Корнем многочлена LaTeX formula: P_{n}\left ( x \right ) называют такое число LaTeX formula: x_{0} , что LaTeX formula: P_{n}\left (x_{0} \right )=0.
Например, число LaTeX formula: x=1 является корнем многочлена LaTeX formula: P_{4}\left (x \right )=2x^{3}+3x-5, так как LaTeX formula: P_{3}\left (1 \right )=2\cdot 1^{3}+3\cdot 1-5=0
Число LaTeX formula: c называют корнем кратности LaTeX formula: k многочлена LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}, если справедливо равенство LaTeX formula: f\left ( x \right )=(x-c)^{k}g(x), где LaTeX formula: g(x) – многочлен степени LaTeX formula: n-kLaTeX formula: n и LaTeX formula: k – натуральные числа LaTeX formula: \left ( n\geqslant k \right ) и LaTeX formula: g\left ( c \right )\neq 0.
Деление многочленов. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
Например,
Результат деления записывают так: LaTeX formula: x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+2=\left ( x^{2}+x-2 \right )\left ( x^{2}-4x+11 \right )+\left ( -19x+24 \right ).
Теорема Безу. ОстатокLaTeX formula: rот деления многочлена LaTeX formula: P_{n}(x) на двучлен LaTeX formula: (x-c) равен значению многочлена при LaTeX formula: x=c, то есть LaTeX formula: r=P_{n}(c).
Следствие 1. Для делимости многочлена LaTeX formula: P_{n}(x) на двучлен LaTeX formula: (x-c) необходимо и достаточно, чтобы число LaTeX formula: c было корнем многочлена LaTeX formula: P_{n}(x).
Следствие 2. Если LaTeX formula: c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n} – все корни многочлена LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}, то этот многочлен можно разложить на множители следующим образом: LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n})
Если LaTeX formula: c_{1}– корень кратности LaTeX formula: k многочлена LaTeX formula: P_{n}(x), то разложение этого многочлена на множители примет вид: LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})^{k}(x-c_{2})\cdots (x-c_{n-k+1}).
Теорема о целых корнях. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена. 
Следствие. При отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.
Пример 1. Приведем одночлен LaTeX formula: -30ab^{3}c^{7}\left ( -1,5 \right )abc^{2} к стандартному виду: LaTeX formula: \left ( 1,5\cdot 30 \right )\cdot \left ( a\cdot a \right )\cdot \left ( b^{3}\cdot b \right )\cdot \left ( c^{7}\cdot c^{2} \right )=45a^{2}b^{4}c^{9}
Пример 2. Приведем многочлен LaTeX formula: 5xy+15-0,5xyx^{2}-3y^{3}x+0,5yx^{3}+0,5xy^{3}-5xy-10 к стандартному виду: LaTeX formula: (5xy-5xy)+(-0,5x^{3}y+0,5x^{3}y)+(-3xy^{3}+0,5xy^{3})+LaTeX formula: +\left ( 15-10 \right)=5-2,5xy^{3}.
Пример 3. Найдите корни многочлена LaTeX formula: f\left ( x \right )=6x^{3}-11x^{2}+6x-1.
Решение. Найдем целые корни многочлена. Согласно теореме о целых корнях многочлена, ими могут быть только делители свободного члена, то есть числа –1 и 1. 
LaTeX formula: P_{3}\left ( -1 \right )=6\cdot \left ( -1 \right )^{3}-11\cdot \left ( -1 \right )^{2}+6\cdot \left ( -1 \right )-1=-6-11-6-1,LaTeX formula: P_{3}\left ( 1 \right )=6\cdot 1-11\cdot 1+6\cdot 1-1=0.
Так как LaTeX formula: P_{3}\left ( -1 \right )LaTeX formula: \neq 0, то число –1 не является корнем многочлена, а так как LaTeX formula: P_{3}(1)=0, то число 1 – целый корень многочлена. 
Тогда, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1 делится на двучлен LaTeX formula: (x-1)
Выполним деление многочленов:
 
Запишем результат деления: LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1=(x-1)(6x^{2}-5x+1).
Найдем корни квадратного трехчлена LaTeX formula: 6x^{2}-5x+1=0. Получим: LaTeX formula: D=25-24=1LaTeX formula: x_{1}=\frac{1}{2}LaTeX formula: x_{2}=\frac{1}{3}.
Следовательно, многочлен LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1 имеет три корня: LaTeX formula: 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.
Ответ: LaTeX formula: 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}.
Пример 4. Найдем остаток LaTeX formula: r от деления многочлена LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1 на двучлен LaTeX formula: x+1
Решение. Вычислим значение многочлена при LaTeX formula: x=-1:
LaTeX formula: P_{3}\left ( -1 \right )=6\cdot \left ( -1 \right )^{3}-11\cdot \left ( -1 \right )^{2}+6\left ( -1 \right )-1= LaTeX formula: -6-11-6-1=-24
Ответ: LaTeX formula: r=-24.
Пример 5. Найдите все целые значения LaTeX formula: k, при которых дробь LaTeX formula: -\frac{30k^{2}+5k+240}{5-15k} является целым числом.
Решение. Упростим дробь: LaTeX formula: -\frac{30k^{2}+5k+240}{5-15k}=-\frac{5\left ( 6k^{2}+k+48 \right )}{-5\left ( 3k-1 \right )}=\frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1}.
Разделим числитель дроби на ее знаменатель:
 
Запишем результат деления: LaTeX formula: \frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1}=2k+1+\frac{49}{3k-1}. Очевидно, что дробь LaTeX formula: \frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1} будет целым числом, если 49 разделится без остатка на LaTeX formula: 3k-1, то есть если число LaTeX formula: 3k-1 будет делителем числа 49. 
Запишем делители числа 49: LaTeX formula: \pm 1,\pm 7,\pm 49. Решим уравнения: 
1) LaTeX formula: 3k-1=1,LaTeX formula: k=\frac{2}{3};
2) LaTeX formula: 3k-1=-1,k=0;
3) LaTeX formula: 3k-1=7,k=\frac{8}{3};
4) LaTeX formula: 3k-1=-7,k=-2;
5) LaTeX formula: 3k-1=49,k=\frac{50}{3};
6) LaTeX formula: 3k-1=-49,k=-16.
Поскольку, согласно условию задачи, LaTeX formula: k – целое число, то LaTeX formula: k_{1}=0LaTeX formula: k_{2}=-2 и LaTeX formula: k_{3}=-16.
Ответ: LaTeX formula: \left \{ -16;-2;0 \right \}.
1. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то цифру 1, как правило, не записывают, а пишут только его переменную часть. Например: LaTeX formula: 1xy^{3}=xy^{3};LaTeX formula: -1a^{3}b=-a^{3}b.
2. Одночлены также являются многочленами.
formula