Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Иррациональными называют выражения, содержащие переменную под знаком радикала (корня). 
Например, выражения LaTeX formula: 0,25+\sqrt{x} и LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{3y-2}}{x-2} – иррациональные. 
Выполняя тождественные преобразования иррациональных выражений необходимо помнить, что: 
1) выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными; 
2) область определения иррационального выражения может измениться и в результате сокращения дроби на множитель, содержащий переменную, и в результате возведения обеих частей равенства в четную степень.
В процессе преобразований иррациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.
Степень с целым отрицательным показателем
Для любых действительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, при условии, что LaTeX formula: a\neq 0 и LaTeX formula: b\neq 0, справедливы равенства:
LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}; (1.9)
LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}. (1.10)
Свойства степеней:
 LaTeX formula: a^{n}a^{m}=a^{n+m}; (1.11)
LaTeX formula: \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}; (1.12) 
LaTeX formula: \left ( a^{n} \right )^{m}=a^{nm}; (1.13) 
LaTeX formula: \left ( ab \right )^{n}=a^{n}b^{n}; (1.14)
LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}. (1.15)
Свойства корней:
LaTeX formula: \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}; (1.16)
LaTeX formula: \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}=a^{\frac{1}{mn}}; (1.17)
LaTeX formula: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{1}{n}}; (1.18)
LaTeX formula: \sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |; (1.19)
LaTeX formula: \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a; (1.20)
LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^{k}}; (1.21)
Формулы сокращенного умножения:
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}(3.1)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}(3.2)
LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}(3.3)
LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}(3.4)
LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )(3.5)
LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )(3.6)
LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )(3.7)
LaTeX formula: \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc (3.1.1)
Пример 1. Упростите выражение LaTeX formula: \sqrt[4]{216x^{3}(5+2\sqrt{6})}\cdot \sqrt{3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x}}.
Решение. Выполним последовательно следующие действия.
1. Применяя формулы 1.21 и 3.2, получим: LaTeX formula: \sqrt{3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x}}=\sqrt[4]{\left ( 3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x} \right )^{2}}=\sqrt[4]{30x-12x\sqrt{6}}  LaTeX formula: =\sqrt[4]{6x\left ( 5-2\sqrt{6} \right )}.
2. Применяя формулы 1.161.143.51.19, получим: LaTeX formula: \sqrt[4]{216x^{3}\left ( 5+2\sqrt{6} \right )}\sqrt[4]{6x\left ( 5-2\sqrt{6} \right )}= LaTeX formula: \sqrt[4]{(6x)^{4}(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}=\sqrt[4]{(6x)^{4}(25-24)}=\sqrt[4]{(6x)^{4}}=6x.
Ответ: LaTeX formula: 6x.
Пример 2. Упростите выражение LaTeX formula: A=\frac{\sqrt[3]{9x^{5}}-4x}{\sqrt[3]{3x^{2}}-2\sqrt[3]{x}}-2x^{\frac{2}{3}}.
Решение. Полагая LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=y и LaTeX formula: \sqrt[3]{3}=a, и применяя формулу 3.5, выполним преобразования: LaTeX formula: \frac{a^{2}y^{5}-4y^{3}}{ay^{2}-2y}-2y^{2}=\frac{y^{3}(a^{2}y^{2}-4)}{y(ay-2)}-2y^{2}=\frac{y^{2}(ay-2)(ay+2)}{ay-2} LaTeX formula: - LaTeX formula: -2y^{2}=y^{2}(ay+2)-2y^{2}=y^{2}(ay+2-2)=ay^{3}
Учитывая подстановку LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=y и LaTeX formula: \sqrt[3]{3}=a, запишем результат преобразования: LaTeX formula: A=\sqrt[3]{3}x.
Ответ: LaTeX formula: \sqrt[3]{3}x.
Пример 3. Найдите LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}, если LaTeX formula: \sqrt{a}+\sqrt{a+12}=130 .
Решение. Полагая LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}=x, найдем произведения правых и левых частей равенств LaTeX formula: \sqrt{a}+\sqrt{a+12}=130 и LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}=x . Получим LaTeX formula: (\sqrt{a}+\sqrt{a+12})(\sqrt{a}-\sqrt{a+12})=130x , откуда по формуле 3.5 LaTeX formula: a-(a+12)=130xLaTeX formula: a-a-12=130xLaTeX formula: x=-\frac{6}{65}.
Ответ:  LaTeX formula: -\frac{6}{65}.
Пример 4. Проверьте справедливость равенства LaTeX formula: -\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\sqrt[3]{\frac{10-7\sqrt{2}}{10+7\sqrt{2}}}.
Решение. Выполним преобразования правой части равенства, умножая числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное выражению, записанному в знаменателе дроби, и применяя формулы 3.2 и 3.5:
LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{10-7\sqrt{2}}{10+7\sqrt{2}}}=LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{(10-7\sqrt{2})^{2}}{(10+7\sqrt{2})(10-7\sqrt{2})}}LaTeX formula: =\sqrt[3]{\frac{100-140\sqrt{2}+98}{100-98}}LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{2(99-70\sqrt{2})}{2}}=LaTeX formula: \sqrt[3]{99-70\sqrt{2}}.
Аналогичным образом выполним преобразования левой части равенства: LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1}=3-2\sqrt{2}.
Поскольку правая часть равенства представлена корнем третьей степени, то, применяя формулы 1.21 и 3.4, запишем:
LaTeX formula: 3-2\sqrt{2}=\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})^{3}}= LaTeX formula: \sqrt[3]{27-54\sqrt{2}+72-16\sqrt{2}}=\sqrt[3]{99-70\sqrt{2}}.
Ответ: Равенство справедливо.
Пример 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-\sqrt{2}-\sqrt{6}}
Решение. Запишем знаменатель дроби в виде LaTeX formula: 3-(\sqrt{2}+\sqrt{6}). Умножив числитель и знаменатель дроби LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-\sqrt{2}-\sqrt{6}} на выражение LaTeX formula: 3+(\sqrt{2}+\sqrt{6}), сопряженное выражению LaTeX formula: 3-(\sqrt{2}+\sqrt{6}), и применив формулы 3.1.13.53.1, получим:
LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-(\sqrt{2}+\sqrt{6})}=\frac{(3+\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}}{(3-(\sqrt{2}+\sqrt{6}))\cdot (3+(\sqrt{2}+\sqrt{6}))} LaTeX formula: =\frac{9+2+6+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{9-(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}} LaTeX formula: =\frac{17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{9-2-4\sqrt{3}-6} LaTeX formula: =\frac{(17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3})(1+4\sqrt{3})}{(1-4\sqrt{3})(1+4\sqrt{3})} LaTeX formula: = LaTeX formula: =\frac{17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}+68\sqrt{3}+24\sqrt{6}+72\sqrt{2}+48}{1-48} LaTeX formula: =-\frac{65+78\sqrt{2}+72\sqrt{3}+30\sqrt{6}}{47}.
Ответ: LaTeX formula: -\frac{65+78\sqrt{2}+72\sqrt{3}+30\sqrt{6}}{47}.
Пример 6. Найдите значение выражения LaTeX formula: A=(\sqrt[3]{135}+\sqrt[3]{40}):\sqrt[8]{(5\cdot \sqrt[3]{5})^{2}}.
Решение. Учитывая, что LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}} и применяя формулу 1.13, получим:LaTeX formula: A=\frac{(3^{3}\cdot 5)^{\frac{1}{3}}+(2^{3}\cdot 5)^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}=\frac{3\cdot 5^{\frac{1}{3}}+2\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}}=\frac{5\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}=5
Ответ: 5.
Пример 7. Упростите выражение LaTeX formula: \sqrt{\sqrt{2}+1}:\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})^{-1}}.
Решение. Представим корни второй и третьей степени в виде корней шестой степени и применим формулы сокращенного умножения 3.33.43.2 и формулу 1.21. Но поскольку LaTeX formula: 7-5\sqrt{2}=\sqrt{49}-\sqrt{50}< 0, то запишем LaTeX formula: 7-5\sqrt{2}=-(5\sqrt{2}-7)
Получим: LaTeX formula: -\sqrt[2\cdot 3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{(5\sqrt{2}-7)^{2}}= LaTeX formula: -\sqrt[6]{(2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1)(5\sqrt{2}-7)^{2}} =LaTeX formula: -\sqrt[6]{(7+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-7)^{2}}=-\sqrt[6]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}-7)}= LaTeX formula: =-\sqrt[6]{(50-49)(5\sqrt{2}-7)}=-\sqrt[6]{5\sqrt{2}-7}=-\sqrt[6]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=-\sqrt[6]{(\sqrt{2}-1)^{3}}LaTeX formula: =-\sqrt[6]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=-\sqrt{\sqrt{2}-1}.
Ответ: LaTeX formula: -\sqrt{\sqrt{2}-1}.
Пример 8. Найдите значение выражения LaTeX formula: \left ( \sqrt[4]{\left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2}\right )^{4}}-\sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}} \right )^{-4}.
Решение. Применим формулы 1.19 и 1.20.
Упростим выражение LaTeX formula: \sqrt[4]{\left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2}\right )^{4}}. Поскольку LaTeX formula: \sqrt{2}-\frac{3}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2}-\sqrt{2\frac{1}{4}}< 0, то, учитывая, что LaTeX formula: (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}, запишем LaTeX formula: \left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2} \right )^{4}=\left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2} \right )^{4}. Тогда LaTeX formula: \sqrt[4]{\left ( \frac{3}{2} -\sqrt{2}\right )^{4}}=\frac{3}{2}-\sqrt{2}.
Упростим выражение LaTeX formula: \sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}}. Получим: LaTeX formula: \sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}}=1-\sqrt{2}.
Найдем значение данного выражения, упрощая его и применяя формулу 1.10LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2}-(1-\sqrt{2}) \right )^{-4}=\left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2}-1+\sqrt{2} \right )^{-4}LaTeX formula: =\left ( 1\frac{1}{2} -1\right )^{-4}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-4}=16
Ответ: 16.
Все преобразования иррационального выражения выполняем только в области его определения (в области допустимых значений).
formula