Тождественные преобразования иррациональных выражений /qualihelpy

Тождественные преобразования иррациональных выражений

Справочник / Школьник / Тождественные преобразования алгебраических выражений /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Иррациональными называют выражения, содержащие переменную под знаком радикала (корня).

Например, выражения $LaTeX formula: 0,25+\sqrt{x}$ и $LaTeX formula: \frac{\sqrt[3]{3y-2}}{x-2}$ – иррациональные.

Выполняя тождественные преобразования иррациональных выражений необходимо помнить, что:

1) выражения, записанные под знаками корней четной степени, не могут быть отрицательными;

2) область определения иррационального выражения может измениться и в результате сокращения дроби на множитель, содержащий переменную, и в результате возведения обеих частей равенства в четную степень.

В процессе преобразований иррациональных выражений используют формулы сокращенного умножения, действия с алгебраическими дробями, способы разложения многочленов на множители.

Степень с целым отрицательным показателем

Для любых действительных чисел LaTeX formula: a

, при условии, что $LaTeX formula: a\neq 0$ и $LaTeX formula: b\neq 0$ , справедливы равенства:

$LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$ ; (1.9)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^{n}$ . (1.10)

Свойства степеней:

$LaTeX formula: a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ ; (1.11)

$LaTeX formula: \frac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}$ ; (1.12)

$LaTeX formula: \left ( a^{n} \right )^{m}=a^{nm}$ ; (1.13)

$LaTeX formula: \left ( ab \right )^{n}=a^{n}b^{n}$ ; (1.14)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$ . (1.15)

Свойства корней:

$LaTeX formula: \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ ; (1.16)

$LaTeX formula: \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}=a^{\frac{1}{mn}}$ ; (1.17)

$LaTeX formula: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{1}{n}}$ ; (1.18)

$LaTeX formula: \sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right |$ ; (1.19)

$LaTeX formula: \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a$ ; (1.20)

$LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^{k}}$ ; (1.21)

Формулы сокращенного умножения:

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ; (3.1)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ ; (3.2)

$LaTeX formula: \left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ ; (3.3)

$LaTeX formula: \left ( a-b \right )^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$ ; (3.4)

$LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right )$ ; (3.5)

$LaTeX formula: a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )$ ; (3.6)

$LaTeX formula: a^{3}-b^{3}=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )$ . (3.7)

$LaTeX formula: \left ( a+b+c \right )^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ (3.1.1)

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: \sqrt[4]{216x^{3}(5+2\sqrt{6})}\cdot \sqrt{3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x}}$ .

Решение. Выполним последовательно следующие действия.

1. Применяя формулы 1.21 и 3.2, получим: $LaTeX formula: \sqrt{3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x}}=\sqrt[4]{\left ( 3\sqrt{2x}-2\sqrt{3x} \right )^{2}}=\sqrt[4]{30x-12x\sqrt{6}}$ $LaTeX formula: =\sqrt[4]{6x\left ( 5-2\sqrt{6} \right )}$ .

2. Применяя формулы 1.16, 1.14, 3.5, 1.19, получим: $LaTeX formula: \sqrt[4]{216x^{3}\left ( 5+2\sqrt{6} \right )}\sqrt[4]{6x\left ( 5-2\sqrt{6} \right )}=$ $LaTeX formula: \sqrt[4]{(6x)^{4}(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})}=\sqrt[4]{(6x)^{4}(25-24)}=\sqrt[4]{(6x)^{4}}=6x$ .

Ответ:

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: A=\frac{\sqrt[3]{9x^{5}}-4x}{\sqrt[3]{3x^{2}}-2\sqrt[3]{x}}-2x^{\frac{2}{3}}$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=y$ и $LaTeX formula: \sqrt[3]{3}=a$ , и применяя формулу 3.5, выполним преобразования: $LaTeX formula: \frac{a^{2}y^{5}-4y^{3}}{ay^{2}-2y}-2y^{2}=\frac{y^{3}(a^{2}y^{2}-4)}{y(ay-2)}-2y^{2}=\frac{y^{2}(ay-2)(ay+2)}{ay-2}$ LaTeX formula: -

$LaTeX formula: -2y^{2}=y^{2}(ay+2)-2y^{2}=y^{2}(ay+2-2)=ay^{3}$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=y$ и $LaTeX formula: \sqrt[3]{3}=a$ , запишем результат преобразования: $LaTeX formula: A=\sqrt[3]{3}x$ .

Ответ: $LaTeX formula: \sqrt[3]{3}x$ .

Пример 3. Найдите $LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}$ , если $LaTeX formula: \sqrt{a}+\sqrt{a+12}=130$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}=x$ , найдем произведения правых и левых частей равенств $LaTeX formula: \sqrt{a}+\sqrt{a+12}=130$ и $LaTeX formula: \sqrt{a}-\sqrt{a+12}=x$ . Получим $LaTeX formula: (\sqrt{a}+\sqrt{a+12})(\sqrt{a}-\sqrt{a+12})=130x$ , откуда по формуле 3.5 LaTeX formula: a-(a+12)=130x

, $LaTeX formula: x=-\frac{6}{65}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{6}{65}$ .

Пример 4. Проверьте справедливость равенства $LaTeX formula: -\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\sqrt[3]{\frac{10-7\sqrt{2}}{10+7\sqrt{2}}}$ .

Решение. Выполним преобразования правой части равенства, умножая числитель и знаменатель дроби на выражение сопряженное выражению, записанному в знаменателе дроби, и применяя формулы 3.2 и 3.5:

$LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{10-7\sqrt{2}}{10+7\sqrt{2}}}=$ $LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{(10-7\sqrt{2})^{2}}{(10+7\sqrt{2})(10-7\sqrt{2})}}$ $LaTeX formula: =\sqrt[3]{\frac{100-140\sqrt{2}+98}{100-98}}$ $LaTeX formula: \sqrt[3]{\frac{2(99-70\sqrt{2})}{2}}=$ $LaTeX formula: \sqrt[3]{99-70\sqrt{2}}$ .

Аналогичным образом выполним преобразования левой части равенства: $LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\left ( \sqrt{2}-1 \right )^{2}}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-2\sqrt{2}+1}{2-1}=3-2\sqrt{2}$ .

Поскольку правая часть равенства представлена корнем третьей степени, то, применяя формулы 1.21 и 3.4, запишем:

$LaTeX formula: 3-2\sqrt{2}=\sqrt[3]{(3-2\sqrt{2})^{3}}=$ $LaTeX formula: \sqrt[3]{27-54\sqrt{2}+72-16\sqrt{2}}=\sqrt[3]{99-70\sqrt{2}}$ .

Ответ: Равенство справедливо.

Пример 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-\sqrt{2}-\sqrt{6}}$

Решение. Запишем знаменатель дроби в виде $LaTeX formula: 3-(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ . Умножив числитель и знаменатель дроби $LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-\sqrt{2}-\sqrt{6}}$ на выражение $LaTeX formula: 3+(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ , сопряженное выражению $LaTeX formula: 3-(\sqrt{2}+\sqrt{6})$ , и применив формулы 3.1.1, 3.5, 3.1, получим:

$LaTeX formula: \frac{3+\sqrt{2}+\sqrt{6}}{3-(\sqrt{2}+\sqrt{6})}=\frac{(3+\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}}{(3-(\sqrt{2}+\sqrt{6}))\cdot (3+(\sqrt{2}+\sqrt{6}))}$ $LaTeX formula: =\frac{9+2+6+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{9-(\sqrt{2}+\sqrt{6})^{2}}$ $LaTeX formula: =\frac{17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}}{9-2-4\sqrt{3}-6}$ $LaTeX formula: =\frac{(17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3})(1+4\sqrt{3})}{(1-4\sqrt{3})(1+4\sqrt{3})}$

$LaTeX formula: =\frac{17+6\sqrt{2}+6\sqrt{6}+4\sqrt{3}+68\sqrt{3}+24\sqrt{6}+72\sqrt{2}+48}{1-48}$ $LaTeX formula: =-\frac{65+78\sqrt{2}+72\sqrt{3}+30\sqrt{6}}{47}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\frac{65+78\sqrt{2}+72\sqrt{3}+30\sqrt{6}}{47}$ .

Пример 6. Найдите значение выражения $LaTeX formula: A=(\sqrt[3]{135}+\sqrt[3]{40}):\sqrt[8]{(5\cdot \sqrt[3]{5})^{2}}$ .

Решение. Учитывая, что $LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ и применяя формулу 1.13, получим: $LaTeX formula: A=\frac{(3^{3}\cdot 5)^{\frac{1}{3}}+(2^{3}\cdot 5)^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{4}}\cdot 5^{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}}}=\frac{3\cdot 5^{\frac{1}{3}}+2\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}}=\frac{5\cdot 5^{\frac{1}{3}}}{5^{\frac{1}{3}}}=5$ .

Ответ: 5.

Пример 7. Упростите выражение $LaTeX formula: \sqrt{\sqrt{2}+1}:\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})^{-1}}$ .

Решение. Представим корни второй и третьей степени в виде корней шестой степени и применим формулы сокращенного умножения 3.3, 3.4, 3.2 и формулу 1.21. Но поскольку $LaTeX formula: 7-5\sqrt{2}=\sqrt{49}-\sqrt{50}< 0$ , то запишем $LaTeX formula: 7-5\sqrt{2}=-(5\sqrt{2}-7)$ .

Получим: $LaTeX formula: -\sqrt[2\cdot 3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{(5\sqrt{2}-7)^{2}}=$ $LaTeX formula: -\sqrt[6]{(2\sqrt{2}+6+3\sqrt{2}+1)(5\sqrt{2}-7)^{2}} =$ $LaTeX formula: -\sqrt[6]{(7+5\sqrt{2})(5\sqrt{2}-7)^{2}}=-\sqrt[6]{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}-7)}=$ $LaTeX formula: =-\sqrt[6]{(50-49)(5\sqrt{2}-7)}=-\sqrt[6]{5\sqrt{2}-7}=-\sqrt[6]{2\sqrt{2}-6+3\sqrt{2}-1}=-\sqrt[6]{(\sqrt{2}-1)^{3}}$ $LaTeX formula: =-\sqrt[6]{(\sqrt{2}-1)^{3}}=-\sqrt{\sqrt{2}-1}$ .

Ответ: $LaTeX formula: -\sqrt{\sqrt{2}-1}$ .

Пример 8. Найдите значение выражения $LaTeX formula: \left ( \sqrt[4]{\left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2}\right )^{4}}-\sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}} \right )^{-4}$ .

Решение. Применим формулы 1.19 и 1.20.

Упростим выражение $LaTeX formula: \sqrt[4]{\left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2}\right )^{4}}$ . Поскольку $LaTeX formula: \sqrt{2}-\frac{3}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{\frac{9}{4}}=\sqrt{2}-\sqrt{2\frac{1}{4}}< 0$ , то, учитывая, что $LaTeX formula: (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}$ , запишем $LaTeX formula: \left ( \sqrt{2}-\frac{3}{2} \right )^{4}=\left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2} \right )^{4}$ . Тогда $LaTeX formula: \sqrt[4]{\left ( \frac{3}{2} -\sqrt{2}\right )^{4}}=\frac{3}{2}-\sqrt{2}$ .

Упростим выражение $LaTeX formula: \sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}}$ . Получим: $LaTeX formula: \sqrt[5]{(1-\sqrt{2})^{5}}=1-\sqrt{2}$ .

Найдем значение данного выражения, упрощая его и применяя формулу 1.10: $LaTeX formula: \left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2}-(1-\sqrt{2}) \right )^{-4}=\left ( \frac{3}{2}-\sqrt{2}-1+\sqrt{2} \right )^{-4}$ $LaTeX formula: =\left ( 1\frac{1}{2} -1\right )^{-4}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{-4}=16$ .

Ответ: 16.

Все преобразования иррационального выражения выполняем только в области его определения (в области допустимых значений).

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_7_иррациональные_выражения

Тождественные преобразования иррациональных выражений