Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Корнем LaTeX formula: n-ной степени, гдеLaTeX formula: n– натуральное число и  LaTeX formula: n\geq 2 , из числа LaTeX formula: a называют такое число LaTeX formula: b , LaTeX formula: n-я степень которого равна LaTeX formula: a . Записывают:  LaTeX formula: \sqrt[n]{a} или  LaTeX formula: a^{\frac{1}{n}} . Тогда, если  LaTeX formula: \sqrt[n]{a}=b , то  LaTeX formula: b^n=a . Число LaTeX formula: a называют подкоренным выражением, а число LaTeX formula: n – показателем корня
Неотрицательный корень LaTeX formula: n-ной степени из неотрицательного числа LaTeX formula: a называют арифметическим корнем LaTeX formula: n-ной степени из числа  LaTeX formula: a. Например:  LaTeX formula: \sqrt[4]{0,0016}=0,2 ,  LaTeX formula: \sqrt[3]{1000}=10 .
Если показатель корня четное число, то подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, так как четная степень и положительного и отрицательного числа есть число положительное. 
Если показатель корня равен числу LaTeX formula: 2 , то имеем корень второй степени или квадратный корень из неотрицательного числа LaTeX formula: a, который принято обозначать LaTeX formula: \sqrt{a}  или LaTeX formula: a^{\frac{1}{2}} . Например:  LaTeX formula: \sqrt{225}=25 ;  LaTeX formula: 100^{\frac{1}{2}}=10 .
Если показатель корня нечетное число, то подкоренное выражение может быть положительным числом, отрицательным числом и числом LaTeX formula: 0 . 
Если показатель корня равен числу LaTeX formula: 3 , то имеем корень третьей степени или кубический корень из числа LaTeX formula: a, который принято обозначать  LaTeX formula: \sqrt[3]{a} . Например: LaTeX formula: \sqrt[3]{8}=2 ;  LaTeX formula: \sqrt[3]{-64}=-4 . 
Свойства корней:
LaTeX formula: \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}=(ab)^{\frac{1}{n}} ; (1.16)
LaTeX formula: \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}=a^{\frac{1}{nm}} ; (1.17)
LaTeX formula: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\left ( \frac{a}{b} \right )^{\frac{1}{n}} ; (1.18)
LaTeX formula: \sqrt[2n]{a^{2n}}=\left | a \right | ; (1.19)
LaTeX formula: \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a . (1.20)
При четном значении LaTeX formula: n свойства 1.16 и 1.17 справедливы, если значения LaTeX formula: a и LaTeX formula: b неотрицательные, а свойство 1.18 справедливо, если к тому же LaTeX formula: b \neq 0 . Свойства 1.19 и 1.20 справедливы при любых значениях LaTeX formula: a и LaTeX formula: b . 
Например:  LaTeX formula: \sqrt{6}\sqrt{12}=\sqrt{6\cdot 12}=6\sqrt{2} ;  LaTeX formula: \sqrt{\sqrt[3]{100}}=\sqrt[6]{10^2}=\sqrt[3]{10} ;  LaTeX formula: \sqrt[4]{3^4}=3 ;  LaTeX formula: \sqrt[8]{(-9)^8}=\left | -9 \right |=9 ;  LaTeX formula: \sqrt[7]{(-21)^7}=-21 .
Внесение множителя под знак корня
Если показатель корня нечетное число, то для любого числа LaTeX formula: a и натурального числа LaTeX formula: n справедливо равенство:
 LaTeX formula: a\sqrt[2n+1]{b}=\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}b} . (1.21)
Если  LaTeX formula: a=0 , то LaTeX formula: a\sqrt[2n+1]{b}=0 . 
Например,  LaTeX formula: -2a\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{-8a^3\cdot 3}=\sqrt[3]{-24a^3} .
Вынесение множителя из-под знака корня 
Если показатель корня нечетное число, то справедливо равенство:
LaTeX formula: \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}b}=a\cdot \sqrt[2n+1]{b} . (1.22)
Если показатель корня четное число, то справедливо равенство:
LaTeX formula: \sqrt[2n]{a^{2n}b}=\left | a \right |\cdot \sqrt[2n]{b} . (1.23)
Например:  LaTeX formula: \sqrt[3]{a^5b^{15}c^6}=ab^5c^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} ;  LaTeX formula: \sqrt{a^8b^2}=a^4\left | b \right | .
Сравнение выражений, содержащих корни
1. Если  LaTeX formula: a>b>0 , то  LaTeX formula: \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b} . Например,  LaTeX formula: \sqrt{3}>\sqrt{2} .
2. Если  LaTeX formula: a>1 и  LaTeX formula: n<m , то  LaTeX formula: \sqrt[n]{a}>\sqrt[m]{a} . Например,  LaTeX formula: \sqrt[4]{2}<\sqrt{2} .
3. Если  LaTeX formula: 0<a<1 и  LaTeX formula: n<m, то  LaTeX formula: \sqrt[n]{a}<\sqrt[m]{a} . Например,  LaTeX formula: \sqrt[4]{0,2}>\sqrt{0,2} .
4. Чтобы сравнить числа LaTeX formula: \sqrt[m]{a}  и  LaTeX formula: \sqrt[n]{b} , необходимо представить их в виде корня одной и той же степени.
5. Чтобы сравнить числа LaTeX formula: a и LaTeX formula: \sqrt[n]{b}  необходимо или извлечь корень LaTeX formula: n-ой степени из LaTeX formula: b или представить число LaTeX formula: a в виде  LaTeX formula: \sqrt[n]{a^n} . 
Степень с действительным показателем 
Степени с действительным показателем обладают всеми свойствами степеней с целым показателем. При этом следует помнить, что: 
а) степень числа с натуральным показателем имеет смысл для любого основания, так как эта степень определяется с помощью операции умножения;
б) степень с целым отрицательным показателем имеет смысл для любого основания, кроме основания LaTeX formula: 0 , так как эта степень определяется с помощью операций умножения и деления; 
в) степень с рациональным показателем определяется с помощью операции извлечения корня, которая всегда выполнима, если основание степени положительное число и не всегда выполнима, если основание степени отрицательное число; 
г) степень с любым действительным показателем всегда определена, если ее основание – положительное число. 
Среднее арифметическое и среднее геометрическое 
Чтобы найти среднее арифметическое нескольких чисел необходимо сумму этих чисел разделить на их количество. 
Например, среднее арифметическое чисел LaTeX formula: -5LaTeX formula: -1 и LaTeX formula: 12 равно  LaTeX formula: \frac{-5-1+12}{3}=2 .
Чтобы найти среднее геометрическое двух положительных чисел, необходимо извлечь корень второй степени из произведения этих чисел. Чтобы найти среднее геометрическое LaTeX formula: n положительных чисел, необходимо извлечь корень степени LaTeX formula: n из произведения этих чисел. Например, среднее геометрическое чисел LaTeX formula: 3LaTeX formula: 6LaTeX formula: 9 и LaTeX formula: 8 равно  LaTeX formula: \sqrt[4]{3\cdot 6\cdot 9\cdot 8}=\sqrt[4]{3\cdot 3\cdot 9\cdot 16}=3\cdot 2=6 .

Пример 1. Найдите значение выражения  LaTeX formula: \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt{\sqrt{48}}}-\left ( -0,5^0 \cdot \sqrt[6]{(-2)^6} \right )^2 . 
Решение. Применяя формулы 1.17 и 1.18, получим  LaTeX formula: \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{48}}-\left ( -1 \cdot \left | -2 \right | \right )^2=\sqrt[4]{\frac{3}{48}}- (-2)^2=\sqrt[4]{\frac{1}{16}}-4=0,5-4=LaTeX formula: -3,5 . 
Ответ: LaTeX formula: -3,5 .
Пример 2. Упростите выражение  LaTeX formula: \frac{\sqrt[4]{-16a^4b^5}}{2b} .
Решение. Применяя формулу 1.23, получим  LaTeX formula: \frac{\sqrt[4]{-16a^4b^5}}{2b}=\frac{2\left | a \right |\cdot \left | b \right |\sqrt[4]{-b}}{2b}=\frac{-b\left | a \right |\sqrt[4]{-b}}{b}=-\left | a \right |\sqrt[4]{-b} .
Ответ:  LaTeX formula: -\left | a \right |\sqrt[4]{-b} .
Пример 3. Сравните числа: LaTeX formula: 2\sqrt{6}  и LaTeX formula: 5 ; LaTeX formula: \sqrt{2}  и  LaTeX formula: \sqrt[3]{3} .
Решение. 1. Так как  LaTeX formula: 2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24} , LaTeX formula: 5=\sqrt{25}  и  LaTeX formula: \sqrt{24}<\sqrt{25} , то  LaTeX formula: 2\sqrt{6}<5 .
2. Так как  LaTeX formula: \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8} , а LaTeX formula: \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}  и  LaTeX formula: \sqrt[6]{8}<\sqrt[6]{9} , то  LaTeX formula: \sqrt{2}<\sqrt[3]{3} .
Пример 4. Упростите выражение  LaTeX formula: \frac{5\sqrt[4]{7\sqrt[3]{54}+15\sqrt[3]{128}}}{3\sqrt[3]{4\sqrt[4]{32}}+3\sqrt[3]{9\sqrt[4]{162}}} .
Решение. На основании формул 1.17 и LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} выполним преобразования числителя и знаменателя дроби: 
1)   LaTeX formula: 5\sqrt[4]{7\sqrt[3]{2\cdot 3^3}+15\sqrt[3]{2^7}}=5\sqrt[4]{7\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 3+15\cdot 2^{\frac{7}{3}}}=5\sqrt[4]{2^{\frac{1}{3}}(21+15\cdot 4)}LaTeX formula: =5\sqrt[4]{2^{\frac{1}{3}}\cdot 3^4}=5\cdot 2^{\frac{1}{12}}\cdot 3=15\cdot 2^{\frac{1}{12}} ;
2)   LaTeX formula: 3\sqrt[3]{2^2 \cdot \sqrt[4]{2^5}}+3\sqrt[3]{3^2 \cdot \sqrt[4]{2\cdot 3^4}}=3\cdot 2^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{5}{12}}+3\cdot 3 ^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{12}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}LaTeX formula: =3\cdot 2^{\frac{13}{12}}+9\cdot 2^{\frac{1}{12}}=2^{\frac{1}{12}}\cdot (6+9)=15\cdot 2^{\frac{1}{12}} .
Запишем:  LaTeX formula: \frac{15\cdot 2^{\frac{1}{12}}}{15\cdot 2^{\frac{1}{12}}}=1 .
Ответ: LaTeX formula: 1 .
1. Среднее арифметическое можно находить как положительных, так и неположительных чисел. Среднее геометрическое чисел находят только в случае, если оба числа положительные. 
2. Среднее арифметическое двух положительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b не меньше их среднего геометрического:  LaTeX formula: \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} .
3. Корни четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел, а нечетной степени – и из отрицательных чисел. 
4. Корень LaTeX formula: n-ной степени из числа нуль всегда равен числу нуль:  LaTeX formula: \sqrt[n]{0}=0 .
formula