Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Произведение LaTeX formula: n сомножителей, каждый из которых равен LaTeX formula: a , называют LaTeX formula: n-ной степенью числа LaTeX formula: a :
 LaTeX formula: \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_n=a^n , где число LaTeX formula: a – основание степени, а число LaTeX formula: n – показатель степени. 
Например: LaTeX formula: b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=b^5 , где LaTeX formula: b – основание, LaTeX formula: 5 – показатель степени. 
Если показатель степени равен LaTeX formula: 1 , то при возведении любого числа в первую степень будем получать это же число:  LaTeX formula: a^1=a .
Например:  LaTeX formula: 0^1=0 ;  LaTeX formula: 10^1=10 .
Для любого действительного числа LaTeX formula: a , при условии, что  LaTeX formula: a\neq 0 , справедливо равенство LaTeX formula: a^0=1 . Выражение LaTeX formula: 0^0  не имеет смысла. 
Например:  LaTeX formula: 1^0=1 ;  LaTeX formula: (-\sqrt{2})^0=1 .
Степень с натуральным показателем LaTeX formula: n>1
1. При возведении в степень положительного числа будем всегда получать положительное число: если  LaTeX formula: a>0 , то и  LaTeX formula: a^n>0 . 
2. При возведении в степень отрицательного числа можем получить как положительное, так и отрицательное число: 
а) если показатель степени четное число, то получим положительное число:  LaTeX formula: (-a)^{2n}=a^{2n}>0 , где  LaTeX formula: n\in N ; 
б) если показатель степени нечетное число, то получим отрицательное число:  LaTeX formula: (-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}<0 , где LaTeX formula: n\in N . 
Например: LaTeX formula: (-1)^{12}=1 ;  LaTeX formula: (-1)^{15}=-1;  LaTeX formula: 3^3=27 . 
Степень с целым отрицательным показателем 
Для любых действительных чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b , при условии, что LaTeX formula: a\neq 0  и  LaTeX formula: b\neq 0 , справедливы равенства: 
LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^n} ; (1.9)
 LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^n . (1.10)
Например:  LaTeX formula: 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4} ;  LaTeX formula: 1,5^{-3}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3}=\left ( \frac{2}{3} \right )^3=\frac{8}{27} .
Свойства степеней:
LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m} ; (1.11)
LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m} ; (1.12)
LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm} ; (1.13)
 LaTeX formula: (ab)^n=a^nb^n ; (1.14)
LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n} . (1.15)
Свойство 1.11  формулируют так: при умножении степеней с одинаковым основанием необходимо основание степени оставить прежним, а показатели сложить.
Например,  LaTeX formula: 5^2\cdot 5^{-2}=5^{2-2}=5^0=1 .
Свойство 1.12 формулируют так: при делении степеней с одинаковым основанием необходимо основание степени оставить прежним, а показатели вычесть. Например,  LaTeX formula: 5^2:5^{-2}=5^{2+2}=625 .
Свойство 1.13 формулируют так: при возведении степени в степень необходимо основание степени оставить прежним, а показатели умножить. Например,  LaTeX formula: (0,5^2)^{-2}=0,5^{-4}=2^4=16 .  
Свойство 1.14 формулируют так: при возведении произведения в степень необходимо каждый множитель возвести в эту степень.
Например,  LaTeX formula: (-3ab)^2=9a^2b^2 .
Свойство 1.15 формулируют так: при возведении частного (дроби) в степень необходимо делимое и делитель (числитель и знаменатель дроби) возвести в эту степень. 
Например,  LaTeX formula: \left ( \frac{-2a}{3b} \right )^3=-\frac{8a^3}{27b^3} . 
Стандартным видом числа называют запись  LaTeX formula: a\cdot 10m , где LaTeX formula: 1\leq a<10  и LaTeX formula: m\in Z . Число LaTeX formula: m называют порядком числа
Например:  LaTeX formula: 4=4\cdot 10^0 ;   LaTeX formula: 0,22=2,2\cdot 10^{-1} .
Если LaTeX formula: n – натуральное число, то записывая числа в стандартном виде, необходимо знать, что:
1) LaTeX formula: 10^n=1\underbrace{00...0}_n и  LaTeX formula: 10^{-n}=\underbrace{0,00...0}_n1 ; 
2) чтобы умножить число на  LaTeX formula: 10^n , необходимо запятую перенести на LaTeX formula: n цифр вправо, например,  LaTeX formula: 2,3\cdot 10^3=2300 ;
3) чтобы разделить число на  LaTeX formula: 10^n , необходимо запятую перенести на n цифр влево, например,  LaTeX formula: 2300:10^3=2,3 ;
4) справедливо равенство  LaTeX formula: a:10^n=a\cdot 10^{-n} . 

Пример 1. Упростите выражение  LaTeX formula: a^3\cdot (-2)a^{-2}b\cdot (-2)^2ba .
Решение. Согласно свойству степеней 1.11 получим: LaTeX formula: (-2)^{2+1}a^{3-2+1}b^{1+1}=-8a^2b^2 .
Ответ:  LaTeX formula: -8a^2b^2 .
Пример 2. Упростите выражение  LaTeX formula: \frac{2(z^3)^2}{z^32^{-2}z^2} .
Решение. Согласно свойствам степеней 1.111.12 и 1.13 получим:  LaTeX formula: \frac{2z^6}{2^{-2}z^5}=2^{1+2}z^{6-5}=8z .
Ответ:  LaTeX formula: 8z .
Пример 3. Вычислите  LaTeX formula: \frac{2^{-2}+4,755^0}{0,5^{-2}-5\cdot (-2)^{-2}+\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}}+10,75 .
Решение. Применяя формулы 1.91.10 и LaTeX formula: a^0=1 получим: LaTeX formula: \frac{\frac{1}{2^2}+1}{\left ( \frac{10}{5} \right )^2-5\cdot \frac{1}{(-2)^2}+\left ( \frac{3}{2} \right )^2}+10\frac{3}{4}=LaTeX formula: \frac{\frac{1}{4}+1}{4-\frac{5}{4}+\frac{9}{4}}+10\frac{3}{4}=\frac{\frac{5}{4}}{4+1}+10\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{5}+10\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+10\frac{3}{4}=10\frac{4}{4}LaTeX formula: =11 .
Ответ: LaTeX formula: 11 .
Выражения  LaTeX formula: 0^0 и LaTeX formula: 0^{-n}  не имеют смысла.
formula