Степень действительного числа с целым показателем /qualihelpy

Степень действительного числа с целым показателем

Справочник / Школьник / Числовые множества /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Произведение LaTeX formula: n

сомножителей, каждый из которых равен LaTeX formula: a

, называют LaTeX formula: n

-ной степенью числа LaTeX formula: a

$LaTeX formula: \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}_n=a^n$ , где число LaTeX formula: a

– основание степени, а число LaTeX formula: n

– показатель степени.

Например: $LaTeX formula: b\cdot b\cdot b\cdot b\cdot b=b^5$ , где

– основание, LaTeX formula: 5

– показатель степени.

Если показатель степени равен LaTeX formula: 1

, то при возведении любого числа в первую степень будем получать это же число: LaTeX formula: a^1=a

Например:

;

Для любого действительного числа LaTeX formula: a

, при условии, что $LaTeX formula: a\neq 0$ , справедливо равенство LaTeX formula: a^0=1

. Выражение LaTeX formula: 0^0

не имеет смысла.

Например:

; $LaTeX formula: (-\sqrt{2})^0=1$ .

Степень с натуральным показателем LaTeX formula: n>1

1. При возведении в степень положительного числа будем всегда получать положительное число: если LaTeX formula: a>0

, то и

2. При возведении в степень отрицательного числа можем получить как положительное, так и отрицательное число:

а) если показатель степени четное число, то получим положительное число: $LaTeX formula: (-a)^{2n}=a^{2n}>0$ , где $LaTeX formula: n\in N$ ;

б) если показатель степени нечетное число, то получим отрицательное число: $LaTeX formula: (-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}<0$ , где $LaTeX formula: n\in N$ .

Например: $LaTeX formula: (-1)^{12}=1$ ; $LaTeX formula: (-1)^{15}=-1$ ; LaTeX formula: 3^3=27

Степень с целым отрицательным показателем

Для любых действительных чисел LaTeX formula: a

, при условии, что $LaTeX formula: a\neq 0$ и $LaTeX formula: b\neq 0$ , справедливы равенства:

$LaTeX formula: a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ; (1.9)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \frac{b}{a} \right )^n$ . (1.10)

Например: $LaTeX formula: 2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$ ; $LaTeX formula: 1,5^{-3}=\left ( \frac{3}{2} \right )^{-3}=\left ( \frac{2}{3} \right )^3=\frac{8}{27}$ .

Свойства степеней:

$LaTeX formula: a^na^m=a^{n+m}$ ; (1.11)

$LaTeX formula: \frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ ; (1.12)

$LaTeX formula: (a^n)^m=a^{nm}$ ; (1.13)

; (1.14)

$LaTeX formula: \left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}$ . (1.15)

Свойство 1.11 формулируют так: при умножении степеней с одинаковым основанием необходимо основание степени оставить прежним, а показатели сложить.

Например, $LaTeX formula: 5^2\cdot 5^{-2}=5^{2-2}=5^0=1$ .

Свойство 1.12 формулируют так: при делении степеней с одинаковым основанием необходимо основание степени оставить прежним, а показатели вычесть. Например, $LaTeX formula: 5^2:5^{-2}=5^{2+2}=625$ .

Свойство 1.13 формулируют так: при возведении степени в степень необходимо основание степени оставить прежним, а показатели умножить. Например, $LaTeX formula: (0,5^2)^{-2}=0,5^{-4}=2^4=16$ .

Свойство 1.14 формулируют так: при возведении произведения в степень необходимо каждый множитель возвести в эту степень.

Например,

Свойство 1.15 формулируют так: при возведении частного (дроби) в степень необходимо делимое и делитель (числитель и знаменатель дроби) возвести в эту степень.

Например, $LaTeX formula: \left ( \frac{-2a}{3b} \right )^3=-\frac{8a^3}{27b^3}$ .

Стандартным видом числа называют запись $LaTeX formula: a\cdot 10m$ , где $LaTeX formula: 1\leq a<10$ и $LaTeX formula: m\in Z$ . Число

называют порядком числа.

Например: $LaTeX formula: 4=4\cdot 10^0$ ; $LaTeX formula: 0,22=2,2\cdot 10^{-1}$ .

Если

– натуральное число, то записывая числа в стандартном виде, необходимо знать, что:

1) $LaTeX formula: 10^n=1\underbrace{00...0}_n$ и $LaTeX formula: 10^{-n}=\underbrace{0,00...0}_n1$ ;

2) чтобы умножить число на LaTeX formula: 10^n

, необходимо запятую перенести на LaTeX formula: n

цифр вправо, например, $LaTeX formula: 2,3\cdot 10^3=2300$ ;

3) чтобы разделить число на LaTeX formula: 10^n

, необходимо запятую перенести на n цифр влево, например, LaTeX formula: 2300:10^3=2,3

;

4) справедливо равенство $LaTeX formula: a:10^n=a\cdot 10^{-n}$ .

Пример 1. Упростите выражение $LaTeX formula: a^3\cdot (-2)a^{-2}b\cdot (-2)^2ba$ .

Решение. Согласно свойству степеней 1.11 получим: $LaTeX formula: (-2)^{2+1}a^{3-2+1}b^{1+1}=-8a^2b^2$ .

Ответ:

Пример 2. Упростите выражение $LaTeX formula: \frac{2(z^3)^2}{z^32^{-2}z^2}$ .

Решение. Согласно свойствам степеней 1.11, 1.12 и 1.13 получим: $LaTeX formula: \frac{2z^6}{2^{-2}z^5}=2^{1+2}z^{6-5}=8z$ .

Ответ:

Пример 3. Вычислите $LaTeX formula: \frac{2^{-2}+4,755^0}{0,5^{-2}-5\cdot (-2)^{-2}+\left ( \frac{2}{3} \right )^{-2}}+10,75$ .

Решение. Применяя формулы 1.9, 1.10 и LaTeX formula: a^0=1

получим: $LaTeX formula: \frac{\frac{1}{2^2}+1}{\left ( \frac{10}{5} \right )^2-5\cdot \frac{1}{(-2)^2}+\left ( \frac{3}{2} \right )^2}+10\frac{3}{4}=$ $LaTeX formula: \frac{\frac{1}{4}+1}{4-\frac{5}{4}+\frac{9}{4}}+10\frac{3}{4}=\frac{\frac{5}{4}}{4+1}+10\frac{3}{4}=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{5}+10\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+10\frac{3}{4}=10\frac{4}{4}$ LaTeX formula: =11

Ответ:

Выражения

и $LaTeX formula: 0^{-n}$ не имеют смысла.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_10_степень_числа

Степень действительного числа