Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Частное от деления одного числа на другое называют их отношением. Два равных отношения образуют пропорцию. Например, – пропорция, где и – крайние, и – средние члены этой пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов, т. е., если , то . (1.5)
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают .
Например, .
Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:
% от числа равен .
С понятием процента связаны три типа задач.
1. Нахождение процента от числа:
% от числа равны . (1.6)
2. Нахождение числа по его проценту:
если % от некоторого числа равны , то это число равно . (1.7)
3. Нахождение процентного отношения чисел:
процентное отношение числа к числу равно %. (1.8)
Пример 1. Решите пропорцию .
Ответ: .
Пример 2. Решите пропорцию .
Ответ: .
Пример 3. Найдите из пропорции .
Решение. Найдем значение выражения, стоящего в числителе первой дроби:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Найдем значение выражения, стоящего в числителе второй дроби:
5) ;
6) .
Найдем значение выражения, стоящего в знаменателе второй дроби:
7) .
Ответ: .
Пример 4. Найдите % от числа .
Ответ: .
Пример 5. Найдите число, % которого равны .
Ответ: .
Пример 6. Найдите процентное отношение чисел и .
Ответ: %.
Пример 7. Число и составляет % от числа . Число составляет % от числа . Во сколько раз процентное отношение чисел и больше процентного отношения чисел и ?
Решение. 1. Поскольку число составляет % от числа , то согласно 1.7
.
2. Поскольку число с составляет % от числа , то согласно 1.6
.
3. Найдем процентное отношение числа к числу . Согласно 1.8
%%.
4. Найдем процентное отношение числа к числу :
%%.
5. Найдем во сколько раз процентное отношение чисел и больше процентного отношения чисел и :
.
Ответ: в раза.
Неизвестные члены пропорции можно найти так:
; ; ; .