Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Частное от деления одного числа на другое называют их отношением. Два равных отношения образуют пропорцию. Например, LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}  – пропорция, где LaTeX formula: a и LaTeX formula: d – крайние, LaTeX formula: b и LaTeX formula: c – средние члены этой пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов, т. е., если  LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d} , то  LaTeX formula: bc=ad . (1.5)
Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k . 
Например,  LaTeX formula: \frac{33}{3}=\frac{121}{11}=11=k . 
Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:
LaTeX formula: 1% от числа LaTeX formula: a% равен LaTeX formula: 0,01a .
С понятием процента связаны три типа задач.
1. Нахождение процента от числа
LaTeX formula: p% от числа LaTeX formula: a равны  LaTeX formula: \frac{a}{100} \cdot p . (1.6)
2. Нахождение числа по его проценту:
если LaTeX formula: p% от некоторого числа равны LaTeX formula: b , то это число равно LaTeX formula: \frac{b}{p} \cdot 100 . (1.7)
3. Нахождение процентного отношения чисел
процентное отношение числа LaTeX formula: a к числу LaTeX formula: b равно  LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot 100%. (1.8)

Пример 1. Решите пропорцию  LaTeX formula: 0,2:x=2:15 .
Решение. Запишем: LaTeX formula: \frac{0,2}{x}=\frac{2}{15} . Тогда по свойству 1.5 получим  LaTeX formula: 2x=0,2\cdot 15 , откуда  LaTeX formula: x=0,1\cdot 15 ,  LaTeX formula: x=1,5 .
Ответ: LaTeX formula: 1,5 .
Пример 2. Решите пропорцию  LaTeX formula: \frac{8}{3}=\frac{3-x}{2x-1} .
Решение. По свойству 1.5 запишем LaTeX formula: 8(2x-1)=3(3-x) , откуда  LaTeX formula: 16x-8=9-3x ,  LaTeX formula: 16x+3x=9+8 ,  LaTeX formula: 19x=17 ,  LaTeX formula: x=\frac{17}{19} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{17}{19} .
Пример 3. Найдите LaTeX formula: X из пропорции LaTeX formula: \frac{\left ( 4-3,5\cdot \left ( 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5} \right )\right ):0,16 }{X}=\frac{3\frac{2}{7}-\frac{3}{14}:\frac{1}{6}}{141\frac{46}{168}-140\frac{49}{60}} .
Решение. Найдем значение выражения, стоящего в числителе первой дроби:
1)  LaTeX formula: 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5}=1\frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8\cdot 5-1\cdot 7}{7\cdot 5}=\frac{33}{35} ;
2)  LaTeX formula: \frac{35}{10}\cdot \frac{33}{35}=\frac{33}{10}=3,3 ;
3)  LaTeX formula: 4-3,3=0,7 ;
4)  LaTeX formula: \frac{7}{10}: \frac{16}{100} =\frac{7\cdot 100}{10\cdot 16}=\frac{7\cdot 10}{1\cdot 16}=\frac{7\cdot 5}{8}=\frac{35}{8} .
Найдем значение выражения, стоящего в числителе второй дроби:
5)  LaTeX formula: \frac{3}{14}:\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 6}{14}=\frac{3\cdot 3}{7}=\frac{9}{7} ;
6)  LaTeX formula: 3\frac{2}{7}-1\frac{2}{7}=2\frac{2}{7}-\frac{2}{7}=2 .
Найдем значение выражения, стоящего в знаменателе второй дроби:
7)  LaTeX formula: 141\frac{46}{168}-140\frac{49}{60}=1\frac{23}{84}-\frac{49}{60}=\frac{107}{12\cdot 7}-\frac{49}{12\cdot 5}=\frac{107\cdot 5-49\cdot 7}{12\cdot 7\cdot 5}=LaTeX formula: \frac{535-343}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{192}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{1\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{35} .
Запишем пропорцию  LaTeX formula: \frac{8}{X}=\frac{2}{\frac{16}{35}} . Применив основное свойство пропорции 1.5, получим:  LaTeX formula: 2X=\frac{35}{8}\cdot \frac{16}{35} ,  LaTeX formula: 2X=2 ,  LaTeX formula: X=1 .
Ответ: LaTeX formula: 1 .
Пример 4. Найдите LaTeX formula: 25% от числа LaTeX formula: 50 .
Решение. Согласно 1.6 получим:  LaTeX formula: \frac{50}{100}\cdot 25=\frac{25}{2}=12,5 .
Ответ: LaTeX formula: 12,5 .
Пример 5. Найдите число, LaTeX formula: 5% которого равны LaTeX formula: 32 .
Решение. Согласно 1.7 получим:  LaTeX formula: \frac{32}{5}\cdot 100=32\cdot 20=640 .
Ответ: LaTeX formula: 640 .
Пример 6. Найдите процентное отношение чисел LaTeX formula: 150 и LaTeX formula: 30 . 
Решение. Согласно 1.8 получим: LaTeX formula: \frac{150}{30}\cdot 100%LaTeX formula: =5\cdot 100%LaTeX formula: =500%.
Ответ: LaTeX formula: 500%.
Пример 7. Число  LaTeX formula: a=15 и составляет LaTeX formula: 30% от числа LaTeX formula: b . Число LaTeX formula: c составляет LaTeX formula: 40% от числа LaTeX formula: b. Во сколько раз процентное отношение чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: c больше процентного отношения чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b ?
Решение. 1. Поскольку число LaTeX formula: 15 составляет LaTeX formula: 3% от числа LaTeX formula: b , то согласно 1.7
LaTeX formula: b=\frac{15}{30}\cdot 100=50 .
2. Поскольку число с составляет LaTeX formula: 40% от числа LaTeX formula: 50 , то согласно 1.6
LaTeX formula: c=\frac{50}{100}\cdot 40=20 .
3. Найдем процентное отношение числа LaTeX formula: a к числу LaTeX formula: c . Согласно 1.8
LaTeX formula: \frac{15}{20}\cdot 100%LaTeX formula: =75%.
4. Найдем процентное отношение числа LaTeX formula: a к числу LaTeX formula: b : 
LaTeX formula: \frac{15}{50}\cdot 100%LaTeX formula: =30%.
5. Найдем во сколько раз процентное отношение чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: c больше процентного отношения чисел LaTeX formula: a и LaTeX formula: b : 
LaTeX formula: 75:30=2,5 .
Ответ: в LaTeX formula: 2,5 раза.

Неизвестные члены пропорции LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}  можно найти так: 
LaTeX formula: a=\frac{bc}{d} ;  LaTeX formula: b=\frac{ad}{c} ;  LaTeX formula: c=\frac{ad}{b} ;  LaTeX formula: d=\frac{bc}{a} .
formula