Отношения, пропорции и проценты /qualihelpy

Отношения, пропорции и проценты

Справочник / Школьник / Числовые множества /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Частное от деления одного числа на другое называют их отношением. Два равных отношения образуют пропорцию. Например, $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ – пропорция, где LaTeX formula: a

– крайние, LaTeX formula: b

– средние члены этой пропорции.

Основное свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов, т. е., если $LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , то LaTeX formula: bc=ad

. (1.5)

Две взаимно зависимые величины называются пропорциональными, если отношение их значений остается неизменным. Неизменное отношение пропорциональных величин называют коэффициентом пропорциональности и обозначают LaTeX formula: k

Например, $LaTeX formula: \frac{33}{3}=\frac{121}{11}=11=k$ .

Процентом числа называют одну сотую часть этого числа:

% от числа LaTeX formula: a%

равен

С понятием процента связаны три типа задач.

1. Нахождение процента от числа:

% от числа LaTeX formula: a

равны $LaTeX formula: \frac{a}{100} \cdot p$ . (1.6)

2. Нахождение числа по его проценту:

если

% от некоторого числа равны LaTeX formula: b

, то это число равно $LaTeX formula: \frac{b}{p} \cdot 100$ . (1.7)

3. Нахождение процентного отношения чисел:

процентное отношение числа LaTeX formula: a

к числу

равно $LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot 100$ %. (1.8)

Пример 1. Решите пропорцию LaTeX formula: 0,2:x=2:15

Решение. Запишем: $LaTeX formula: \frac{0,2}{x}=\frac{2}{15}$ . Тогда по свойству 1.5 получим $LaTeX formula: 2x=0,2\cdot 15$ , откуда $LaTeX formula: x=0,1\cdot 15$ , LaTeX formula: x=1,5

Ответ:

Пример 2. Решите пропорцию $LaTeX formula: \frac{8}{3}=\frac{3-x}{2x-1}$ .

Решение. По свойству 1.5 запишем LaTeX formula: 8(2x-1)=3(3-x)

, откуда

, $LaTeX formula: x=\frac{17}{19}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{17}{19}$ .

Пример 3. Найдите LaTeX formula: X

из пропорции $LaTeX formula: \frac{\left ( 4-3,5\cdot \left ( 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5} \right )\right ):0,16 }{X}=\frac{3\frac{2}{7}-\frac{3}{14}:\frac{1}{6}}{141\frac{46}{168}-140\frac{49}{60}}$ .

Решение. Найдем значение выражения, стоящего в числителе первой дроби:

1) $LaTeX formula: 52\frac{1}{7}-51\frac{1}{5}=1\frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8}{7}-\frac{1}{5}=\frac{8\cdot 5-1\cdot 7}{7\cdot 5}=\frac{33}{35}$ ;

2) $LaTeX formula: \frac{35}{10}\cdot \frac{33}{35}=\frac{33}{10}=3,3$ ;

;

4) $LaTeX formula: \frac{7}{10}: \frac{16}{100} =\frac{7\cdot 100}{10\cdot 16}=\frac{7\cdot 10}{1\cdot 16}=\frac{7\cdot 5}{8}=\frac{35}{8}$ .

Найдем значение выражения, стоящего в числителе второй дроби:

5) $LaTeX formula: \frac{3}{14}:\frac{1}{6}=\frac{3\cdot 6}{14}=\frac{3\cdot 3}{7}=\frac{9}{7}$ ;

6) $LaTeX formula: 3\frac{2}{7}-1\frac{2}{7}=2\frac{2}{7}-\frac{2}{7}=2$ .

Найдем значение выражения, стоящего в знаменателе второй дроби:

7) $LaTeX formula: 141\frac{46}{168}-140\frac{49}{60}=1\frac{23}{84}-\frac{49}{60}=\frac{107}{12\cdot 7}-\frac{49}{12\cdot 5}=\frac{107\cdot 5-49\cdot 7}{12\cdot 7\cdot 5}=$ $LaTeX formula: \frac{535-343}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{192}{12\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{1\cdot 7\cdot 5}=\frac{16}{35}$ .

Запишем пропорцию $LaTeX formula: \frac{8}{X}=\frac{2}{\frac{16}{35}}$ . Применив основное свойство пропорции 1.5, получим: $LaTeX formula: 2X=\frac{35}{8}\cdot \frac{16}{35}$ , LaTeX formula: 2X=2