Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными  LaTeX formula: F(x;y)=0 или LaTeX formula: y=f(x) , которому удовлетворяют координаты LaTeX formula: x (абсцисса) и LaTeX formula: y (ордината) любой точки данной линии. 
Уравнение окружности
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости: 
1) если уравнение окружности имеет вид LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=R^{2} , то ее центр находится в точке LaTeX formula: O(0;0) , а радиус равен LaTeX formula: R (рис. 2.51); 
2) если уравнение окружности имеет вид LaTeX formula: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2} , то ее центр находится в точке LaTeX formula: O'(a;b) , а радиус равен LaTeX formula: R (рис. 2.52).
Заметим, что неравенству LaTeX formula: x^{2}+y^{2}< R^{2}  удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2} , а неравенству  LaTeX formula: x^{2}+y^{2}> R^{2} удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству LaTeX formula: x^{2}+y^{2}\leq R^{2}  удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности  LaTeX formula: x^{2}+y^{2}= R^{2} и на ее границе.
Уравнение квадрата
Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости: 
1) если уравнение квадрата имеет вид LaTeX formula: \left | x \right |+\left | y \right |\leq \frac{d}{2} , то точка LaTeX formula: O(0;0)  – точка пересечения диагоналей квадрата, LaTeX formula: d – длина диагонали квадрата (рис. 2.53);
2) если уравнение квадрата имеет вид LaTeX formula: \left | x-a \right |+\left | y-b \right |\leq \frac{d}{2} , то точка LaTeX formula: O'(a;b)  – точка пересечения диагоналей квадрата, LaTeX formula: d – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).
Пересечение линий на плоскости
Рассмотрим две линии, заданные уравнениями LaTeX formula: f_{1}(x;y)=0  и LaTeX formula: f_{2}(x;y)=0 . Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f_{1}(x;y)=0, & \\ f_{2}(x;y)=0.& \end{matrix}\right.  
Графическое решение уравнений и неравенств 
1. Рассмотрим уравнение LaTeX formula: f(x)=g(x) . Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций LaTeX formula: y=f(x) ,  LaTeX formula: y=g(x) и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x) . 
2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция  LaTeX formula: f(x) строго возрастает, а функция LaTeX formula: g(x)  строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение LaTeX formula: f(x)=g(x)  на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число LaTeX formula: x_{0} – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x) . Аналогично решаются уравнения, если функция  LaTeX formula: g(x)имеет вид  LaTeX formula: y=b (эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56). 
Например, число LaTeX formula: 4 является единственным корнем уравнения LaTeX formula: \sqrt{5-x}=2x-7 , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей. 
3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция  LaTeX formula: f(x) строго возрастает на некотором отрезке LaTeX formula: [a;b] , а функция LaTeX formula: g(x)  строго убывает на этом отрезке и LaTeX formula: x_{0}  – корень уравнения LaTeX formula: f(x)=g(x) , то решением неравенства LaTeX formula: f(x)< g(x)  является промежуток LaTeX formula: [a;x_{0}) , а решением неравенства LaTeX formula: f(x)> g(x)  является промежуток LaTeX formula: (x_{0};b]  (рис. 2.57).
 
Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство LaTeX formula: f(x)> g(x)  выполняется на всем отрезке LaTeX formula: [a;b] .
Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми LaTeX formula: x=3 ,  LaTeX formula: y=3x и LaTeX formula: y=x-4 .
Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59). 
Прямая  LaTeX formula: x=3 (1) параллельна оси ординат и проходит через точку LaTeX formula: (3;0) . Чтобы построить прямую LaTeX formula: y=3x  (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки LaTeX formula: (0;0) ,  LaTeX formula: (3;9) и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую LaTeX formula: y=x-4  (3), можно построить точки LaTeX formula: (0;-4)  и LaTeX formula: (4;0) , принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).
Из рисунка 2.59 видим, что треугольник LaTeX formula: ABC ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ah_{a} , а в нашем случае LaTeX formula: S=\frac{1}{2}BC\cdot AD . 
Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки LaTeX formula: A, решая систему уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ y=3x, \\ & \ y=x-4. \end{cases}  Получим точку LaTeX formula: A(-2;-6) .
2. Найдем координаты точки LaTeX formula: B, решая систему уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=3, \\ & \ y=3x. \end{cases}  Получим точку LaTeX formula: B(3;9) .
3. Найдем координаты точки LaTeX formula: СLaTeX formula: СLaTeX formula: C, решая систему уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ x=3, \\ & \ y=x-4. \end{cases}  Получим точку LaTeX formula: C(3;-1) .
Найдем длину отрезка LaTeX formula: BC, вычитая из ординаты точки LaTeX formula: B ординату точки LaTeX formula: C. Получим LaTeX formula: BC=9-(-1)=10 . Найдем длину отрезка LaTeX formula: AD, вычитая из абсциссы точки LaTeX formula: C абсциссу точки LaTeX formula: ALaTeX formula: AD=3-(-2)=5 . Найдем площадь треугольника LaTeX formula: ABCLaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5=25 .
Ответ:  LaTeX formula: 25.
Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x+y\leq 2, & & \\ y-x\leq 2,& & \\ -2\leq y\leq 0.& & \end{matrix}\right.
Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы: LaTeX formula: y=-x+2  (1),  LaTeX formula: y=x+2 (2), LaTeX formula: y=0  (3),  LaTeX formula: y=-2 (4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию LaTeX formula: ADEC, площадь которой найдем по формуле LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot \left ( DE+AC \right )\cdot OK .
Согласно рисунку 2.60 запишем: LaTeX formula: DE=4 , LaTeX formula: OK=4 . 
Найдем координаты точки LaTeX formula: A, решая систему уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ y=x+2, \\ & \ y=-2. \end{cases}  Получим LaTeX formula: A(-4;-2) . Аналогично найдем координаты точки LaTeX formula: C. Получим LaTeX formula: C(4;-2) . Тогда LaTeX formula: AC=8 .
Найдем площадь трапеции: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot (4+8)\cdot 2=12 .
Ответ: LaTeX formula: 12.
Пример 3. Найдите все целые значений параметра LaTeX formula: k, при которых уравнение LaTeX formula: \left | 3x^{2}-8\left | x \right | -3\right |=-3k  имеет шесть корней. 
Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ y=\left | 3x^{2}-8\left | x \right | -3\right |, \\ & \ y=-3k. \end{cases} 
Построим схематически график функции LaTeX formula: y=\left | 3x^{2}-8\left | x \right | -3\right | , предварительно построив графики функций LaTeX formula: y= 3x^{2}-8 x -3  и LaTeX formula: y=3x^{2}-8\left | x \right | -3 . 
1. Графиком функции LaTeX formula: y= 3x^{2}-8 x -3  является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.
Согласно формулам LaTeX formula: x_{0}=-\frac{b}{a} , LaTeX formula: y_{0}=f(x_{0})  получим: LaTeX formula: x_{0}=\frac{4}{3} , LaTeX formula: x_{0}=3\cdot \frac{16}{9}-8\cdot \frac{4}{3}-3=-8\frac{1}{3} . Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение LaTeX formula: 3x^{2}-8 x -3=0 . Получим LaTeX formula: x_{1}=-\frac{1}{3}LaTeX formula: x_{2}=3 . Найдем точку пересечения графика с осью ординат: LaTeX formula: f(0)=-3 . Построим график (1) (рис. 2.61).
2. Рассмотрим функцию LaTeX formula: y= 3x^{2}-8\left | x \right | -3 . Поскольку LaTeX formula: x^{2}=\left | x \right |^{2} , то запишем LaTeX formula: y= 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3 . Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции  LaTeX formula: y= 3x ^{2}-8 x -3 правее оси LaTeX formula: Oy оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
3. Построим график (3) функции LaTeX formula: y=\left | 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3\right | , выполняя следующее преобразование: часть графика функции LaTeX formula: y= 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3 , расположенной над осью LaTeX formula: Ox оставим, а ту, что под осью LaTeX formula: Ox, отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
Рассмотрим линейную функцию LaTeX formula: y=-3k . Построим семейство прямых, параллельных оси LaTeX formula: Ox так, чтобы они пересекали график функции LaTeX formula: y=\left | 3\left |x \right |^{2}-8\left | x \right | -3\right |  в шести точках. Это возможно при условии, что  LaTeX formula: 3< -3k< \frac{25}{3} или LaTeX formula: - \frac{25}{9}< k< -1 . Очевидно, что промежутку LaTeX formula: \left ( -2\frac{7}{9};-1 \right )  принадлежит одно целое значение LaTeX formula: k=-2 .
Ответ: LaTeX formula: -2.
Пример 4. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a, при которых уравнение  LaTeX formula: \frac{x+8}{\left | x+8 \right |}=\left | x+a \right |^{2} имеет один корень. 
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |}, & \\ y=( x+a )^{2}. & \end{matrix}\right. 
  1. Построим схематически график функции  LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |} (рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: LaTeX formula: x+8=0LaTeX formula: x=-8  и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что LaTeX formula: x=-8   – точка разрыва функции.
Рассмотрим два случая: 
1) если LaTeX formula: x\in (-\infty ;-8) , то LaTeX formula: y=-\frac{x+8}{x+8}  или LaTeX formula: y=-1 ; 
2) если LaTeX formula: x\in (-8 ;+\infty ) , то  LaTeX formula: y=\frac{x+8}{x+8} или LaTeX formula: y=1  .
2. Построим схематически график функции LaTeX formula: y=( x+a )^{2} , предварительно построив параболу LaTeX formula: y= x^{2} . 
Парабола LaTeX formula: y= x^{2}  и прямая LaTeX formula: y=1  имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |}  и LaTeX formula: y=( x+a )^{2}  должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы LaTeX formula: y=x^{2}.  на LaTeX formula: a единичных отрезка влево, заметим, что при LaTeX formula: a=7  парабола LaTeX formula: y=( x+a )^{2}  и прямая LaTeX formula: y=1  имеют одну точку пересечения, а при  LaTeX formula: a=9 уже не имеют общих точек. Следовательно, если LaTeX formula: a принимает значения из промежутка LaTeX formula: [7;9) , то графики функций  LaTeX formula: y=\frac{x+8}{\left | x+8 \right |} и LaTeX formula: y=( x+a )^{2}  имеют одну общую точку, а уравнение LaTeX formula: \frac{x+8}{\left | x+8 \right |}=\left | x+a \right |^{2}  имеет одно решение.
Ответ:  LaTeX formula: [7;9) .
Пример 5. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a, при которых уравнение  LaTeX formula: \left | x -14\right |+\left | x+2 \right |=-a^{3} имеет бесконечно много решений.
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений  LaTeX formula: \begin{cases} & \ y=| x -14\right |+\left | x+2 \right |, \\ & \ y=-a^{3}. \end{cases}
1. Построим схематически график функции  LaTeX formula: y=\left | x-14 \right |+\left | x+2 \right |. Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения  LaTeX formula: x-14=0, откуда  LaTeX formula: x=14 и  LaTeX formula: x+2=0, откуда  LaTeX formula: x=-2. Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632): 
1) если  LaTeX formula: x\in (-\infty ;-2 ], то  LaTeX formula: y=-x+14-x-2 или  LaTeX formula: y=-2x+12
2) если  LaTeX formula: x\in (-2 ;14 ], то  LaTeX formula: y=-x+14+x+2 или  LaTeX formula: y=16
3) если  LaTeX formula: x\in (14;+\infty), то  LaTeX formula: y=x-14+x+2 или  LaTeX formula: y=2x-12.
  Построим прямую LaTeX formula: y= -a^{3}  так, чтобы она имела с графиком функции LaTeX formula: y=\left | x-14 \right |+\left | x+2 \right |  бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если LaTeX formula: -a^{3}=16 , откуда LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2} .
Ответ: LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2} .
Пример 6. Найдите все значения параметра LaTeX formula: a, при которых система уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ \left | x \right |+\left | y \right |=8, \\ & \ x^{2}+y^{2}=4a \end{cases}  имеет четыре решения.
Решение. Имеем уравнение квадрата LaTeX formula: \left | x \right |+\left | y \right |=8  и уравнение окружности LaTeX formula: x^{2}+y^{2}=4a .
1. Построим квадрат с центром в точке LaTeX formula: O(0;0)  и диагональю LaTeX formula: d=16  (рис. 2.64). 
  Площадь квадрата найдем по формуле  LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}. Получим:  LaTeX formula: S=\frac{1}{2}16^{2}LaTeX formula: =128. С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле  LaTeX formula: S=x^{2}, где LaTeX formula: x – сторона квадрата. Тогда  LaTeX formula: x^{2}=128 и  LaTeX formula: x=8\sqrt{2}.
2. Построим окружность с центром в точке  LaTeX formula: O(0;0) и радиусом  LaTeX formula: R=2\sqrt{a} (рис. 2.64). Поскольку система уравнений LaTeX formula: \begin{cases} & \ \left | x \right |+\left | y \right |=8, \\ & \ x^{2}+y^{2}=4a \end{cases}   имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус LaTeX formula: r=\frac{x}{2}  или LaTeX formula: 2\sqrt{a}=\frac{8\sqrt{2}}{2} , откуда  LaTeX formula: a=8 или описана около квадрата, тогда радиус окружности  LaTeX formula: R=\frac{d}{2} или  LaTeX formula: 2\sqrt{a}=8, откуда LaTeX formula: a=16  .
Ответ: LaTeX formula: 8LaTeX formula: 16.
Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством  LaTeX formula: \left | x-7 \right |+\left | y-2 \right |\leq 10 . 
Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата LaTeX formula: \left | x-7 \right |+\left | y-2 \right |= 10   и на его границе.
  Построим квадрат с центром в точке  LaTeX formula: O{}'(7;2) и диагональю  LaTeX formula: d=20 (рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}  получим LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 20^{2}=200.
С другой стороны площадь квадрата находят по формуле  LaTeX formula: S=a^{2}, где LaTeX formula: a – сторона квадрата.
Тогда  LaTeX formula: a^{2}=200,  LaTeX formula: a=10\sqrt{2}. Найдем периметр квадрата:  LaTeX formula: P=4a=40\sqrt{2}.
Ответ:  LaTeX formula: S=200,  LaTeX formula: P=40\sqrt{2}.



Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение. 
formula