Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты









Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными
или
, которому удовлетворяют координаты
(абсцисса) и
(ордината) любой точки данной линии.




Уравнение окружности
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости:
1) если уравнение окружности имеет вид
, то ее центр находится в точке
, а радиус равен
(рис. 2.51);



2) если уравнение окружности имеет вид
, то ее центр находится в точке
, а радиус равен
(рис. 2.52).




Заметим, что неравенству
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности
, а неравенству
удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности
и на ее границе.





Уравнение квадрата
Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости:
1) если уравнение квадрата имеет вид
, то точка
– точка пересечения диагоналей квадрата,
– длина диагонали квадрата (рис. 2.53);



2) если уравнение квадрата имеет вид
, то точка
– точка пересечения диагоналей квадрата,
– длина диагонали квадрата (рис. 2.54).




Пересечение линий на плоскости
Рассмотрим две линии, заданные уравнениями
и
. Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений



Графическое решение уравнений и неравенств
1. Рассмотрим уравнение
. Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций
,
и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения
.




2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция
строго возрастает, а функция
строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение
на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число
– корень уравнения
. Аналогично решаются уравнения, если функция
имеет вид
(эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56).







Например, число
является единственным корнем уравнения
, так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей.



3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция
строго возрастает на некотором отрезке
, а функция
строго убывает на этом отрезке и
– корень уравнения
, то решением неравенства
является промежуток
, а решением неравенства
является промежуток
(рис. 2.57).

![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)






![(x_{0};b] LaTeX formula: (x_{0};b]](/uploads/formulas/402673c7d0139142c651324cae3880d5bb511595.1.1.png)

Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство
выполняется на всем отрезке
.

![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)
Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми
,
и
.



Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59).

Прямая
(1) параллельна оси ординат и проходит через точку
. Чтобы построить прямую
(2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки
,
и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую
(3), можно построить точки
и
, принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).








Из рисунка 2.59 видим, что треугольник
ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле
, а в нашем случае
.



Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки
, решая систему уравнений
Получим точку
.



2. Найдем координаты точки
, решая систему уравнений
Получим точку
.



3. Найдем координаты точки 

, решая систему уравнений
Получим точку
.





Найдем длину отрезка
, вычитая из ординаты точки
ординату точки
. Получим
. Найдем длину отрезка
, вычитая из абсциссы точки
абсциссу точки
:
. Найдем площадь треугольника
:
.










Ответ:
.

Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств 

Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы:
(1),
(2),
(3),
(4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию
, площадь которой найдем по формуле
.







Согласно рисунку 2.60 запишем:
,
.


Найдем координаты точки
, решая систему уравнений
Получим
. Аналогично найдем координаты точки
. Получим
. Тогда
.






Найдем площадь трапеции:
.

Ответ:
.

Пример 3. Найдите все целые значений параметра
, при которых уравнение
имеет шесть корней.


Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений

Построим схематически график функции
, предварительно построив графики функций
и
.



1. Графиком функции
является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.


Согласно формулам
,
получим:
,
. Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение
. Получим
,
. Найдем точку пересечения графика с осью ординат:
. Построим график (1) (рис. 2.61).








2. Рассмотрим функцию
. Поскольку
, то запишем
. Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции
правее оси
оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).





3. Построим график (3) функции
, выполняя следующее преобразование: часть графика функции
, расположенной над осью
оставим, а ту, что под осью
, отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).




Рассмотрим линейную функцию
. Построим семейство прямых, параллельных оси
так, чтобы они пересекали график функции
в шести точках. Это возможно при условии, что
или
. Очевидно, что промежутку
принадлежит одно целое значение
.







Ответ:
.

Пример 4. Найдите все значения параметра
, при которых уравнение
имеет один корень.


Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений

1. Построим схематически график функции
(рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля:
,
и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что
– точка разрыва функции.





Рассмотрим два случая:
1) если
, то
или
;



2) если
, то
или
.



2. Построим схематически график функции
, предварительно построив параболу
.


Парабола
и прямая
имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций
и
должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы
на
единичных отрезка влево, заметим, что при
парабола
и прямая
имеют одну точку пересечения, а при
уже не имеют общих точек. Следовательно, если
принимает значения из промежутка
, то графики функций
и
имеют одну общую точку, а уравнение
имеет одно решение.















Ответ:
.

Пример 5. Найдите все значения параметра
, при которых уравнение
имеет бесконечно много решений.


Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений 

1. Построим схематически график функции
. Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения
, откуда
и
, откуда
. Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632):





1) если
, то
или
;
![x\in (-\infty ;-2 ] LaTeX formula: x\in (-\infty ;-2 ]](/uploads/formulas/3a6d8c2999b20cf8c6eeb8754f285ed59cf0c7b3.1.1.png)


2) если
, то
или
;
![x\in (-2 ;14 ] LaTeX formula: x\in (-2 ;14 ]](/uploads/formulas/eb08986fe6afe02e59ea97796c6ea7e23696612e.1.1.png)


3) если
, то
или
.



Построим прямую
так, чтобы она имела с графиком функции
бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если
, откуда
.



![a=-2\sqrt[3]{2} LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2}](/uploads/formulas/1da946b3ee73655d5d103a1df7688b9505e43c78.1.1.png)

Ответ:
.
![a=-2\sqrt[3]{2} LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2}](/uploads/formulas/1da946b3ee73655d5d103a1df7688b9505e43c78.1.1.png)
Пример 6. Найдите все значения параметра
, при которых система уравнений
имеет четыре решения.


Решение. Имеем уравнение квадрата
и уравнение окружности
.


1. Построим квадрат с центром в точке
и диагональю
(рис. 2.64).



Площадь квадрата найдем по формуле
. Получим: 
. С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле
, где
– сторона квадрата. Тогда
и
.







2. Построим окружность с центром в точке
и радиусом
(рис. 2.64). Поскольку система уравнений
имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус
или
, откуда
или описана около квадрата, тогда радиус окружности
или
, откуда
.









Ответ:
;
.


Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством
.

Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата
и на его границе.

Построим квадрат с центром в точке
и диагональю
(рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле
получим
.





С другой стороны площадь квадрата находят по формуле
, где
– сторона квадрата.


Тогда
,
. Найдем периметр квадрата:
.



Ответ:
,
.


Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение.