Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными или , которому удовлетворяют координаты (абсцисса) и (ордината) любой точки данной линии.
Уравнение окружности
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости:
1) если уравнение окружности имеет вид , то ее центр находится в точке , а радиус равен (рис. 2.51);
2) если уравнение окружности имеет вид , то ее центр находится в точке , а радиус равен (рис. 2.52).
Заметим, что неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности , а неравенству удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности и на ее границе.
Уравнение квадрата
Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости:
1) если уравнение квадрата имеет вид , то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.53);
2) если уравнение квадрата имеет вид , то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).
Пересечение линий на плоскости
Рассмотрим две линии, заданные уравнениями и . Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений
Графическое решение уравнений и неравенств
1. Рассмотрим уравнение . Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций , и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения .
2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число – корень уравнения . Аналогично решаются уравнения, если функция имеет вид (эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56).
Например, число является единственным корнем уравнения , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей.
3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция строго возрастает на некотором отрезке , а функция строго убывает на этом отрезке и – корень уравнения , то решением неравенства является промежуток , а решением неравенства является промежуток (рис. 2.57).
Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство выполняется на всем отрезке .
Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми , и .
Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59).
Прямая (1) параллельна оси ординат и проходит через точку . Чтобы построить прямую (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки , и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую (3), можно построить точки и , принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).
Из рисунка 2.59 видим, что треугольник ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле , а в нашем случае .
Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки , решая систему уравнений Получим точку .
2. Найдем координаты точки , решая систему уравнений Получим точку .
3. Найдем координаты точки , решая систему уравнений Получим точку .
Найдем длину отрезка , вычитая из ординаты точки ординату точки . Получим . Найдем длину отрезка , вычитая из абсциссы точки абсциссу точки : . Найдем площадь треугольника : .
Ответ: .
Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств
Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы: (1), (2), (3), (4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию , площадь которой найдем по формуле .
Согласно рисунку 2.60 запишем: , .
Найдем координаты точки , решая систему уравнений Получим . Аналогично найдем координаты точки . Получим . Тогда .
Найдем площадь трапеции: .
Ответ: .
Пример 3. Найдите все целые значений параметра , при которых уравнение имеет шесть корней.
Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений
Построим схематически график функции , предварительно построив графики функций и .
1. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.
Согласно формулам , получим: , . Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение . Получим , . Найдем точку пересечения графика с осью ординат: . Построим график (1) (рис. 2.61).
2. Рассмотрим функцию . Поскольку , то запишем . Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции правее оси оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
3. Построим график (3) функции , выполняя следующее преобразование: часть графика функции , расположенной над осью оставим, а ту, что под осью , отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
Рассмотрим линейную функцию . Построим семейство прямых, параллельных оси так, чтобы они пересекали график функции в шести точках. Это возможно при условии, что или . Очевидно, что промежутку принадлежит одно целое значение .
Ответ: .
Пример 4. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет один корень.
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений
1. Построим схематически график функции (рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: , и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что – точка разрыва функции.
Рассмотрим два случая:
1) если , то или ;
2) если , то или .
2. Построим схематически график функции , предварительно построив параболу .
Парабола и прямая имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций и должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы на единичных отрезка влево, заметим, что при парабола и прямая имеют одну точку пересечения, а при уже не имеют общих точек. Следовательно, если принимает значения из промежутка , то графики функций и имеют одну общую точку, а уравнение имеет одно решение.
Ответ: .
Пример 5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет бесконечно много решений.
Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений
1. Построим схематически график функции . Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения , откуда и , откуда . Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632):
1) если , то или ;
2) если , то или ;
3) если , то или .
Построим прямую так, чтобы она имела с графиком функции бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если , откуда .
Ответ: .
Пример 6. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений имеет четыре решения.
Решение. Имеем уравнение квадрата и уравнение окружности .
1. Построим квадрат с центром в точке и диагональю (рис. 2.64).
Площадь квадрата найдем по формуле . Получим: . С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле , где – сторона квадрата. Тогда и .
2. Построим окружность с центром в точке и радиусом (рис. 2.64). Поскольку система уравнений имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус или , откуда или описана около квадрата, тогда радиус окружности или , откуда .
Ответ: ; .
Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством .
Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата и на его границе.
Построим квадрат с центром в точке и диагональю (рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле получим .
С другой стороны площадь квадрата находят по формуле , где – сторона квадрата.
Тогда , . Найдем периметр квадрата: .
Ответ: , .
Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение.