Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
Уравнением линии на плоскости называют уравнение с двумя переменными 
или 
, которому удовлетворяют координаты 
(абсцисса) и 
(ордината) любой точки данной линии.
или , которому удовлетворяют координаты (абсцисса) и (ордината) любой точки данной линии. Уравнение окружности
Рассмотрим расположение окружности на координатной плоскости:
1) если уравнение окружности имеет вид 
, то ее центр находится в точке 
, а радиус равен 
(рис. 2.51);
, то ее центр находится в точке , а радиус равен (рис. 2.51); 2) если уравнение окружности имеет вид 
, то ее центр находится в точке 
, а радиус равен (рис. 2.52).
, то ее центр находится в точке , а радиус равен (рис. 2.52).Заметим, что неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности 
, а неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству 
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности и на ее границе.
удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности , а неравенству удовлетворяют координаты всех точек, лежащих вне этой окружности. Неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, лежащих внутри окружности и на ее границе.Уравнение квадрата
Рассмотрим расположение квадрата на координатной плоскости:
1) если уравнение квадрата имеет вид 
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, 
– длина диагонали квадрата (рис. 2.53);
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.53);2) если уравнение квадрата имеет вид 
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).
, то точка – точка пересечения диагоналей квадрата, – длина диагонали квадрата (рис. 2.54).Пересечение линий на плоскости
Рассмотрим две линии, заданные уравнениями 
и 
. Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений 
и . Чтобы найти точку пересечения этих линий необходимо решить систему уравнений Графическое решение уравнений и неравенств
1. Рассмотрим уравнение 
. Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций , 
и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения .
. Это уравнение можно решить графически, если построить в одной системе координат графики функций , и найти их точки пересечения. Абсциссы точек пересечения и будут корнями уравнения . 2. Использование монотонности функций при решении уравнений: если функция 
строго возрастает, а функция 
строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число 
– корень уравнения . Аналогично решаются уравнения, если функция имеет вид 
(эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56).
строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем. На рисунке 2.55 число – корень уравнения . Аналогично решаются уравнения, если функция имеет вид (эта прямая параллельна оси абсцисс) (рис. 2.56). Например, число 
является единственным корнем уравнения 
, так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей.
является единственным корнем уравнения , так как левая часть этого уравнения представлена строго убывающей функцией, а правая – строго возрастающей. 3. Использование монотонности функций при решении неравенств: если функция строго возрастает на некотором отрезке ![LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png "[a;b]")
, а функция строго убывает на этом отрезке и – корень уравнения , то решением неравенства 
является промежуток 
, а решением неравенства 
является промежуток ![LaTeX formula: (x_{0};b]](/uploads/formulas/402673c7d0139142c651324cae3880d5bb511595.1.1.png "(x_{0};b]")
(рис. 2.57).
строго возрастает на некотором отрезке , а функция строго убывает на этом отрезке и – корень уравнения , то решением неравенства является промежуток , а решением неравенства является промежуток (рис. 2.57).Графики функций на заданном отрезке могут и не пересекаться. Например, на рисунке 2.58 неравенство выполняется на всем отрезке .
выполняется на всем отрезке .Пример 1. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямыми 
, 
и 
.
, и .Решение. Построим на координатной плоскости данные прямые (рис. 2.59).
Прямая (1) параллельна оси ординат и проходит через точку 
. Чтобы построить прямую (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки 
, 
и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую (3), можно построить точки 
и 
, принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).
(1) параллельна оси ординат и проходит через точку . Чтобы построить прямую (2), необходимо знать две точки, принадлежащие этой прямой. Например, можно построить точки , и провести через них прямую (2). Чтобы построить прямую (3), можно построить точки и , принадлежащие этой прямой, и провести через них прямую (3).Из рисунка 2.59 видим, что треугольник 
ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле 
, а в нашем случае 
.
ограничен данными прямыми. Площадь полученного треугольника найдем по формуле , а в нашем случае . Найдем координаты точек пересечения прямых.
1. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
, решая систему уравнений Получим точку .2. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
, решая систему уравнений Получим точку .3. Найдем координаты точки 
, решая систему уравнений 
Получим точку 
.
, решая систему уравнений Получим точку .Найдем длину отрезка 
, вычитая из ординаты точки ординату точки . Получим 
. Найдем длину отрезка 
, вычитая из абсциссы точки абсциссу точки : 
. Найдем площадь треугольника : 
.
, вычитая из ординаты точки ординату точки . Получим . Найдем длину отрезка , вычитая из абсциссы точки абсциссу точки : . Найдем площадь треугольника : .Ответ: 
.
.Пример 2. Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой неравенств 
Решение. Построим гранич-ные прямые, соответствующие неравенствам заданной системы: 
(1), 
(2), 
(3), 
(4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию 
, площадь которой найдем по формуле 
.
(1), (2), (3), (4) (рис. 2.60). Система неравенств задает на координатной плоскости трапецию , площадь которой найдем по формуле .Согласно рисунку 2.60 запишем: 
, 
.
, . Найдем координаты точки , решая систему уравнений 
Получим 
. Аналогично найдем координаты точки . Получим 
. Тогда 
.
, решая систему уравнений Получим . Аналогично найдем координаты точки . Получим . Тогда .Найдем площадь трапеции: 
.
.Ответ: 
.
.Пример 3. Найдите все целые значений параметра 
, при которых уравнение 
имеет шесть корней.
, при которых уравнение имеет шесть корней. Решение. Заменим данное уравнение равносильной системой уравнений 
Построим схематически график функции 
, предварительно построив графики функций 
и 
.
, предварительно построив графики функций и . 1. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.
является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы.Согласно формулам 
, 
получим: 
, 
. Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение 
. Получим 
, 
. Найдем точку пересечения графика с осью ординат: 
. Построим график (1) (рис. 2.61).
, получим: , . Найдем нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс), решая уравнение . Получим , . Найдем точку пересечения графика с осью ординат: . Построим график (1) (рис. 2.61).2. Рассмотрим функцию 
. Поскольку 
, то запишем 
. Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции 
правее оси 
оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
. Поскольку , то запишем . Построим график (2) этой функции, выполняя следующее преобразование: часть графика функции правее оси оставим и ее же отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).3. Построим график (3) функции 
, выполняя следующее преобразование: часть графика функции , расположенной над осью 
оставим, а ту, что под осью , отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).
, выполняя следующее преобразование: часть графика функции , расположенной над осью оставим, а ту, что под осью , отразим симметрично этой оси (рис. 2.61).Рассмотрим линейную функцию 
. Построим семейство прямых, параллельных оси так, чтобы они пересекали график функции в шести точках. Это возможно при условии, что 
или 
. Очевидно, что промежутку 
принадлежит одно целое значение 
.
. Построим семейство прямых, параллельных оси так, чтобы они пересекали график функции в шести точках. Это возможно при условии, что или . Очевидно, что промежутку принадлежит одно целое значение .Ответ: 
.
.Пример 4. Найдите все значения параметра 
, при которых уравнение 
имеет один корень.
, при которых уравнение имеет один корень. Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений 
1. Построим схематически график функции 
(рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: 
, 
и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что – точка разрыва функции.
(рис. 2.62). Для этого найдем нули функции под знаком модуля: , и раскроем модуль на полученных промежутках, учитывая при этом, что – точка разрыва функции.Рассмотрим два случая:
1) если 
, то 
или 
;
, то или ; 2) если 
, то 
или 
.
, то или .2. Построим схематически график функции 
, предварительно построив параболу 
.
, предварительно построив параболу . Парабола и прямая имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций и должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы 
на единичных отрезка влево, заметим, что при 
парабола и прямая имеют одну точку пересечения, а при 
уже не имеют общих точек. Следовательно, если принимает значения из промежутка 
, то графики функций и имеют одну общую точку, а уравнение имеет одно решение.
и прямая имеют две общие точки. Так как согласно условию задачи графики функций и должны иметь только одну точку пересечения, то, выполняя параллельный перенос параболы на единичных отрезка влево, заметим, что при парабола и прямая имеют одну точку пересечения, а при уже не имеют общих точек. Следовательно, если принимает значения из промежутка , то графики функций и имеют одну общую точку, а уравнение имеет одно решение.Ответ: .
.Пример 5. Найдите все значения параметра , при которых уравнение 
имеет бесконечно много решений.
, при которых уравнение имеет бесконечно много решений.Решение. Решим уравнение графически, заменив его равносильной системой уравнений 
1. Построим схематически график функции 
. Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения 
, откуда 
и 
, откуда 
. Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632):
. Для этого найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения , откуда и , откуда . Раскроем модули на полученных промежутках и построим графики функций на этих промежутках (рис. 2.632): 1) если ![LaTeX formula: x\in (-\infty ;-2 ]](/uploads/formulas/3a6d8c2999b20cf8c6eeb8754f285ed59cf0c7b3.1.1.png "x\in (-\infty ;-2 ]")
, то 
или 
;
, то или ; 2) если ![LaTeX formula: x\in (-2 ;14 ]](/uploads/formulas/eb08986fe6afe02e59ea97796c6ea7e23696612e.1.1.png "x\in (-2 ;14 ]")
, то 
или 
;
, то или ; 3) если 
, то 
или 
.
, то или . Построим прямую 
так, чтобы она имела с графиком функции бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если 
, откуда ![LaTeX formula: a=-2\sqrt[3]{2}](/uploads/formulas/1da946b3ee73655d5d103a1df7688b9505e43c78.1.1.png "a=-2\sqrt[3]{2}")
.
так, чтобы она имела с графиком функции бесконечно много общих точек. Очевидно, что это возможно в том случае, если , откуда .Ответ: .
.Пример 6. Найдите все значения параметра , при которых система уравнений 
имеет четыре решения.
, при которых система уравнений имеет четыре решения.Решение. Имеем уравнение квадрата 
и уравнение окружности 
.
и уравнение окружности .1. Построим квадрат с центром в точке и диагональю 
(рис. 2.64).
и диагональю (рис. 2.64). Площадь квадрата найдем по формуле 
. Получим: 
. С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле 
, где – сторона квадрата. Тогда 
и 
.
. Получим: . С другой стороны площадь квадрата можно вычислить по формуле , где – сторона квадрата. Тогда и .2. Построим окружность с центром в точке и радиусом 
(рис. 2.64). Поскольку система уравнений 
имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус 
или 
, откуда 
или описана около квадрата, тогда радиус окружности 
или 
, откуда 
.
и радиусом (рис. 2.64). Поскольку система уравнений имеет четыре решения, то окружность должна быть вписана в квадрат, тогда ее радиус или , откуда или описана около квадрата, тогда радиус окружности или , откуда .Ответ: 
; 
.
; .Пример 7. Найдите площадь и периметр фигуры, заданной неравенством 
.
. Решение. Данному неравенству удовлетворяют координаты всех точек плоскости, расположенных внутри квадрата 
и на его границе.
и на его границе. Построим квадрат с центром в точке 
и диагональю 
(рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле получим 
.
и диагональю (рис. 2.65). Найдем площадь квадрата. Согласно формуле получим .С другой стороны площадь квадрата находят по формуле 
, где – сторона квадрата.
, где – сторона квадрата.Тогда 
, 
. Найдем периметр квадрата: 
.
, . Найдем периметр квадрата: .Ответ: 
, 
.
, .Решая уравнение или систему уравнений графически, точное решение найти бывает достаточно сложно, а то и вовсе не возможно. Поэтому этот метод чаще всего применяют в случае, когда необходимо определить количество корней уравнения или найти их приближенное значение.