Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
.
Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби 
, где 
и 
. Множество рациональных чисел обозначают 
.
, где и . Множество рациональных чисел обозначают . Рациональными являются натуральные и целые числа, а также конечные и периодические десятичные дроби, так как все они могут быть обращены в обыкновенную дробь.
Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, иррациональными являются числа: 
; 
; 
.
; ; .Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Запись 
обозначает множество всех действительных чисел 
или множество всех точек числовой прямой.
обозначает множество всех действительных чисел или множество всех точек числовой прямой.Координаты точек
Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой.
Например, на рисунке 1.4 точка 
имеет координату 
, точка 
– координату 
, а точка 
– координату 
Записывают: 
, 
, 
.
имеет координату , точка – координату , а точка – координату Записывают: , , .Расположим две координатные прямые 
и 
так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. При этом прямую 
называют осью абсцисс, а прямую 
– осью ординат. Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют 
, 
, 
и 
координатными четвертями.
и так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. При этом прямую называют осью абсцисс, а прямую – осью ординат. Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют , , и координатными четвертями. Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел 
, которые называют координатами точки на плоскости.
, которые называют координатами точки на плоскости.На координатной плоскости (рис. 1.6) построим точку с координатами 
и 
. Для этого отложим на оси единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . Отложим на оси единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . В результате пересечения этих прямых получим точку 
, которой соответствуют два числа: число 
– абсцисса точки , число
–ордината точки . Запишем: 
.
с координатами и . Для этого отложим на оси единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . Отложим на оси единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси . В результате пересечения этих прямых получим точку , которой соответствуют два числа: число – абсцисса точки , число–ордината точки . Запишем: . Изображения числовых множеств
Отрезок ![LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png "[a;b]")
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
. С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек 
и 
, а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7).
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству . С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек и , а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7). Например, на рисунке 1.8 отрезок ![LaTeX formula: [-2;3]](/uploads/formulas/dfcbf46c84a86a603bdc915d3b104328ef1d5d27.1.1.png "[-2;3]")
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .Интервал 
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
. Если из отрезка ![LaTeX formula: [a;b]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png "[a;b]")
исключить точки 
и 
, то получим интервал 
(рис. 1.9).
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству . Если из отрезка исключить точки и , то получим интервал (рис. 1.9).Например, на рисунке 1.10 интервал 
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
.
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству .Полуинтервалы 
и ![LaTeX formula: (a;b]](/uploads/formulas/052ddd32d10a911045eafff92571f5a412c5585f.1.1.png "(a;b]")
– множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам 
и 
.
и – множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам и .Например, полуинтервал 
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
(рис. 1.11), а полуинтервал ![LaTeX formula: (-3;0]](/uploads/formulas/b5ccda90157f5b5807010c857a693b368b1613d4.1.1.png "(-3;0]")
– множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству 
(рис. 1.12).
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству (рис. 1.11), а полуинтервал – множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству (рис. 1.12).Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками.
Длина отрезка. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала, то есть длина отрезка равна 
.
равна . Середина отрезка. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму координат концов отрезка, то есть серединой отрезка является число 
.
является число .Операции над числовыми множествами
Запись 
означает, что имеем 
-элементное множество , состоящее из элементов 
. Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству , то записывают: 
, 
и т. д. Если некоторый элемент не принадлежит заданному множеству , то записывают: 
.
означает, что имеем -элементное множество , состоящее из элементов . Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству , то записывают: , и т. д. Если некоторый элемент не принадлежит заданному множеству , то записывают: .Например, запишем, что число 
принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел: 
, 
.
принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел: , .Множество является подмножеством множества , если все элементы множества являются элементами множества 
. Говорят, что множество содержит в себе множество или, что множество включается в множество и записывают: 
.
является подмножеством множества , если все элементы множества являются элементами множества . Говорят, что множество содержит в себе множество или, что множество включается в множество и записывают: . Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, а множество рациональных чисел – подмножеством множества действительных чисел: 
и 
.
и .Объединением двух множеств и называют множество , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Объединение множеств и записывают так: 
.
и называют множество , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или . Объединение множеств и записывают так: .Примером объединения множеств является решение совокупности неравенств: решением совокупности неравенств 
является объединение промежутков 
и 
.
является объединение промежутков и . Пересечением двух множеств и называют множество 
, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству и множеству . Пересечение множеств и записывают так: 
. Если множества и не содержат общих элементов, то их пересечение пусто: 
.
и называют множество , состоящее из элементов, принадлежащих и множеству и множеству . Пересечение множеств и записывают так: . Если множества и не содержат общих элементов, то их пересечение пусто: .Примером пересечения множеств является решение системы неравенств: решением системы неравенств 
является пересечение промежутков 
и 
.
является пересечение промежутков и . Пример 1. Найдите длину и середину отрезка ![LaTeX formula: [-4;8]](/uploads/formulas/96b99006963c900b1ca5f0ad7d79b7bd3952a7cd.1.1.png "[-4;8]")
.
.Решение. Длина отрезка равна: 
.
.Середина отрезка равна: 
.
.Ответ: 
; .
; .Пример 2. Решите 
и 
.
и .Решение. Решением совокупности неравенств 
является объединение промежутков 
и 
(рис. 1.13). Запишем: 
.
является объединение промежутков и (рис. 1.13). Запишем: .Решение системы неравенств 
показано на рисунке 1.14 – это промежуток 
.
показано на рисунке 1.14 – это промежуток .Пример 3. Вычислите 
.
.Решение. Найдем значение выражения, записанного в числителе дроби:
1) 
;
;2) 
;
;3) 
.
.Найдем значение выражения, записанного в знаменателе дроби:
4) 
;
;5) 
;
;6) 
;
;7) 
;
;8) 
.
.Разделим числитель дроби на ее знаменатель:
.Ответ: 
.
.Пример 4. Найдите сумму всех чисел 
, каждое из которых делится без остатка на 
и принадлежит промежутку 
.
, каждое из которых делится без остатка на и принадлежит промежутку .Решение. Рассмотрим отрезок ![LaTeX formula: [-252;252]](/uploads/formulas/2406bab69a4fe4af7d119b19c5b46b3e00bab2e1.1.1.png "[-252;252]")
и интервал 
(рис. 1.15).
и интервал (рис. 1.15). 1. Рассмотрим отрезок ![LaTeX formula: [-252;252]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/2406bab69a4fe4af7d119b19c5b46b3e00bab2e1.1.1.png "[-252;252]")
. Сумма всех чисел, каждое из которых делится без остатка на и принадлежит этому отрезку, будет равна нулю ( 
, 
и т. д.).
. Сумма всех чисел, каждое из которых делится без остатка на и принадлежит этому отрезку, будет равна нулю ( , и т. д.).2. Рассмотрим интервал
. Зная, что число
делится на
, но не принадлежит рассматриваемому интервалу, найдем все числа, кратные и не превосходящие число 
.
. Зная, что число делится на , но не принадлежит рассматриваемому интервалу, найдем все числа, кратные и не превосходящие число . Получим: 
, 
.
, .Тогда 
.
.Ответ: 
.
.Пример 5. Укажите все номера рациональных чисел данного множества: ![LaTeX formula: \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot 2^{1/4}](/uploads/formulas/a4b55642f3767b50a31584a23ecbdc6fc5bd6270.1.1.png "\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot 2^{1/4}")
(1); 
(2); 
(3); 
(4); 
(5).
(1); (2); (3); (4); (5).Варианты ответов: а) , , 
; б) 
, , 
; в) , , ; г) , , 
; д) , , .
, , ; б) , , ; в) , , ; г) , , ; д) , , .Решение. Применим метод исключений, выполняя следующие преобразования.
1. Преобразуем любое число данного множества, например число (5): 
.
.Число (5) рациональное, значит, исключим варианты ответов, не содержащие этого числа, то есть варианты г) и д).
2. Преобразуем число (3): 
. Число (3) иррациональное, значит, исключим вариант ответа в).
. Число (3) иррациональное, значит, исключим вариант ответа в).3. Преобразуем любое из чисел (2) или (4), так как число (1) входит в оба оставшихся варианта ответа: 
. Число (4) - рациональное.
. Число (4) - рациональное.Ответ: б.
1. Обозначения числовых множеств:
1) 
– множество натуральных чисел;
– множество натуральных чисел;2) 
– множество целых чисел;
– множество целых чисел;3) – множество рациональных чисел;
– множество рациональных чисел;4) – множество иррациональных чисел;
– множество иррациональных чисел;5) – множество действительных чисел;
– множество действительных чисел;6) 
– пустое множество.
– пустое множество.2. Справедливо, что: 
; 
; 
.
; ; .