Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты




.
Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби
, где
и
. Множество рациональных чисел обозначают
.




Рациональными являются натуральные и целые числа, а также конечные и периодические десятичные дроби, так как все они могут быть обращены в обыкновенную дробь.
Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, иррациональными являются числа:
;
;
.



Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Запись
обозначает множество всех действительных чисел
или множество всех точек числовой прямой.


Координаты точек
Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой.
Например, на рисунке 1.4 точка
имеет координату
, точка
– координату
, а точка
– координату
Записывают:
,
,
.










Расположим две координатные прямые
и
так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. При этом прямую
называют осью абсцисс, а прямую
– осью ординат. Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют
,
,
и
координатными четвертями.








Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел
, которые называют координатами точки на плоскости.


На координатной плоскости (рис. 1.6) построим точку
с координатами
и
. Для этого отложим на оси
единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси
. Отложим на оси
единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси
. В результате пересечения этих прямых получим точку
, которой соответствуют два числа: число
– абсцисса точки
, число
–ордината точки
. Запишем:
.















Изображения числовых множеств
Отрезок
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
. С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек
и
, а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7).
![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)



Например, на рисунке 1.8 отрезок
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
.
![[-2;3] LaTeX formula: [-2;3]](/uploads/formulas/dfcbf46c84a86a603bdc915d3b104328ef1d5d27.1.1.png)


Интервал
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
. Если из отрезка
исключить точки
и
, то получим интервал
(рис. 1.9).


![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)




Например, на рисунке 1.10 интервал
есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
.


Полуинтервалы
и
– множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам
и
.

![(a;b] LaTeX formula: (a;b]](/uploads/formulas/052ddd32d10a911045eafff92571f5a412c5585f.1.1.png)


Например, полуинтервал
– это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
(рис. 1.11), а полуинтервал
– множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству
(рис. 1.12).


![(-3;0] LaTeX formula: (-3;0]](/uploads/formulas/b5ccda90157f5b5807010c857a693b368b1613d4.1.1.png)


Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками.
Длина отрезка. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала, то есть длина отрезка
равна
.
![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)

Середина отрезка. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму координат концов отрезка, то есть серединой отрезка
является число
.
![[a;b] LaTeX formula: [a;b]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/490ffdf2e892c9664120bd901b5e45d8f13bfd5d.1.1.png)

Операции над числовыми множествами
Запись
означает, что имеем
-элементное множество
, состоящее из элементов
. Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству
, то записывают:
,
и т. д. Если некоторый элемент
не принадлежит заданному множеству
, то записывают:
.










Например, запишем, что число
принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел:
,
.



Множество
является подмножеством множества
, если все элементы множества
являются элементами множества
. Говорят, что множество
содержит в себе множество
или, что множество
включается в множество
и записывают:
.









Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, а множество рациональных чисел – подмножеством множества действительных чисел:
и
.


Объединением двух множеств
и
называют множество
, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств
или
. Объединение множеств
и
записывают так:
.








Примером объединения множеств является решение совокупности неравенств: решением совокупности неравенств
является объединение промежутков
и
.



Пересечением двух множеств
и
называют множество
, состоящее из элементов, принадлежащих и множеству
и множеству
. Пересечение множеств
и
записывают так:
. Если множества
и
не содержат общих элементов, то их пересечение пусто:
.











Примером пересечения множеств является решение системы неравенств: решением системы неравенств
является пересечение промежутков
и
.



Пример 1. Найдите длину и середину отрезка
.
![[-4;8] LaTeX formula: [-4;8]](/uploads/formulas/96b99006963c900b1ca5f0ad7d79b7bd3952a7cd.1.1.png)
Решение. Длина отрезка равна:
.

Середина отрезка равна:
.

Ответ:
;
.


Пример 2. Решите
и
.


Решение. Решением совокупности неравенств
является объединение промежутков
и
(рис. 1.13). Запишем:
.





Решение системы неравенств
показано на рисунке 1.14 – это промежуток
.


Пример 3. Вычислите
.

Решение. Найдем значение выражения, записанного в числителе дроби:
1)
;

2)
;

3)
.

Найдем значение выражения, записанного в знаменателе дроби:
4)
;

5)
;

6)
;

7) 
;


8)
.

Разделим числитель дроби на ее знаменатель:

Ответ:
.

Пример 4. Найдите сумму всех чисел
, каждое из которых делится без остатка на
и принадлежит промежутку
.



Решение. Рассмотрим отрезок
и интервал
(рис. 1.15).
![[-252;252] LaTeX formula: [-252;252]](/uploads/formulas/2406bab69a4fe4af7d119b19c5b46b3e00bab2e1.1.1.png)


1. Рассмотрим отрезок
. Сумма всех чисел, каждое из которых делится без остатка на
и принадлежит этому отрезку, будет равна нулю (
,
и т. д.).
![[-252;252] LaTeX formula: [-252;252]](http://helpy.quali.me/uploads/formulas/2406bab69a4fe4af7d119b19c5b46b3e00bab2e1.1.1.png)



2. Рассмотрим интервал
. Зная, что число
делится на
, но не принадлежит рассматриваемому интервалу, найдем все числа, кратные
и не превосходящие число
.





Получим:
,
.


Тогда
.

Ответ:
.

Пример 5. Укажите все номера рациональных чисел данного множества:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5).
![\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot 2^{1/4} LaTeX formula: \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot 2^{1/4}](/uploads/formulas/a4b55642f3767b50a31584a23ecbdc6fc5bd6270.1.1.png)




Варианты ответов: а)
,
,
; б)
,
,
; в)
,
,
; г)
,
,
; д)
,
,
.















Решение. Применим метод исключений, выполняя следующие преобразования.
1. Преобразуем любое число данного множества, например число (5): 
.


Число (5) рациональное, значит, исключим варианты ответов, не содержащие этого числа, то есть варианты г) и д).
2. Преобразуем число (3):
. Число (3) иррациональное, значит, исключим вариант ответа в).

3. Преобразуем любое из чисел (2) или (4), так как число (1) входит в оба оставшихся варианта ответа:
. Число (4) - рациональное.

Ответ: б.
1. Обозначения числовых множеств:
1)
– множество натуральных чисел;

2)
– множество целых чисел;

3)
– множество рациональных чисел;

4)
– множество иррациональных чисел;

5)
– множество действительных чисел;

6)
– пустое множество.

2. Справедливо, что:
;
;
.


