Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рациональными числами называют числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби  LaTeX formula: \frac{m}{n} , где LaTeX formula: m\in Z и LaTeX formula: n\in N. Множество рациональных чисел обозначают LaTeX formula: Q . 
Рациональными являются натуральные и целые числа, а также конечные и периодические десятичные дроби, так как все они могут быть обращены в обыкновенную дробь. 
Множество иррациональных чисел состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей. Например, иррациональными являются числа: LaTeX formula: 0,1796... ; LaTeX formula: \pi =3,14159... ; LaTeX formula: \sqrt{2}=1,1442135... .
Все рациональные и все иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Запись LaTeX formula: (-\infty ;+\infty )  обозначает множество всех действительных чисел LaTeX formula: R или множество всех точек числовой прямой.
Координаты точек
Рассмотрим прямую, на которой указаны начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок. Каждой точке этой прямой соответствует число, которое называют координатой точки на прямой. 
Например, на рисунке 1.4 точка LaTeX formula: A имеет координату LaTeX formula: -4 , точка LaTeX formula: B – координату LaTeX formula: 1 , а точка LaTeX formula: C – координату LaTeX formula: 4 Записывают:  LaTeX formula: A(-4) , LaTeX formula: B(1) ,  LaTeX formula: C(4) .
Расположим две координатные прямые LaTeX formula: Ox и LaTeX formula: Oy так, чтобы они пересекались под прямым углом (рис. 1.5). Говорят, что на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. При этом прямую LaTeX formula: Ox называют осью абсцисс, а прямую LaTeX formula: Oy – осью ординат. Эти прямые (координатные оси) делят плоскость на четыре части, которые называют LaTeX formula: I , LaTeX formula: II , LaTeX formula: III и LaTeX formula: IV  координатными четвертями. 
Каждой точке координатной плоскости соответствует пара чисел  LaTeX formula: (x;y) , которые называют координатами точки на плоскости.
На координатной плоскости (рис. 1.6) построим точку LaTeX formula: A с координатами LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 3 . Для этого отложим на оси LaTeX formula: Ox LaTeX formula: 2 единичных отрезка вправо и через эту точку проведем прямую, параллельную оси LaTeX formula: Oy . Отложим на оси LaTeX formula: Oy LaTeX formula: 3 единичных отрезка вверх и через эту точку проведем прямую, параллельную оси LaTeX formula: Ox. В результате пересечения этих прямых получим точку LaTeX formula: A, которой соответствуют два числа: число LaTeX formula: 2 – абсцисса точки LaTeX formula: A , числоLaTeX formula: 3–ордината точки LaTeX formula: A . Запишем: LaTeX formula: A(2;3) . 
Изображения числовых множеств
Отрезок LaTeX formula: [a;b] – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  LaTeX formula: a\leq x\leq b . С другой стороны это множество точек числовой прямой, состоящее из точек LaTeX formula: a и LaTeX formula: b , а также всех точек, находящихся между ними (рис. 1.7). 
Например, на рисунке 1.8 отрезок  LaTeX formula: [-2;3] есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  LaTeX formula: -2\leq x\leq 3 .
Интервал LaTeX formula: (a;b) – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  LaTeX formula: a<x<b . Если из отрезка LaTeX formula: [a;b] исключить точки LaTeX formula: a и LaTeX formula: b , то получим интервал LaTeX formula: (a;b) (рис. 1.9).
Например, на рисунке 1.10 интервал  LaTeX formula: (0;5) есть множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству  LaTeX formula: 0<x<5 .
Полуинтервалы LaTeX formula: [a;b)и LaTeX formula: (a;b] – множества всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенствам LaTeX formula: a\leq x<b  и  LaTeX formula: a<x\leq b .
Например, полуинтервал  LaTeX formula: [1;+\infty ) – это множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству LaTeX formula: x\geq 1  (рис. 1.11), а полуинтервал LaTeX formula: (-3;0]  – множество всех действительных чисел, удовлетворяющих неравенству LaTeX formula: -3<x\leq 0 (рис. 1.12).
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют промежутками
Длина отрезка. Чтобы найти длину отрезка, необходимо из координаты конца отрезка вычесть координату его начала, то есть длина отрезка LaTeX formula: [a;b] равна  LaTeX formula: b-a . 
Середина отрезка. Чтобы найти середину отрезка, необходимо найти полусумму координат концов отрезка, то есть серединой отрезка LaTeX formula: [a;b] является число  LaTeX formula: (a+b):2 .
Операции над числовыми множествами
Запись LaTeX formula: A=\left \{ a_1,a_2,a_3,...,a_n \right \}  означает, что имеем LaTeX formula: n-элементное множество LaTeX formula: A , состоящее из элементов  LaTeX formula: a_1,a_2,a_3,...,a_n . Так как каждый из этих элементов принадлежит множеству LaTeX formula: A , то записывают: LaTeX formula: a_1\in A , LaTeX formula: a_2\in A и т. д. Если некоторый элемент LaTeX formula: b не принадлежит заданному множеству LaTeX formula: A , то записывают:  LaTeX formula: b\notin A .
Например, запишем, что число LaTeX formula: 0 принадлежит множеству целых чисел, но не принадлежит множеству натуральных чисел:  LaTeX formula: 0\in Z ,  LaTeX formula: 0\notin N .
Множество LaTeX formula: A является подмножеством множества LaTeX formula: B , если все элементы множества LaTeX formula: A являются элементами множества LaTeX formula: B . Говорят, что множество LaTeX formula: B содержит в себе множество LaTeX formula: A или, что множество LaTeX formula: A включается в множество LaTeX formula: B и записывают:  LaTeX formula: A\subset B . 
Например, множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, а множество рациональных чисел – подмножеством множества действительных чисел:  LaTeX formula: N\subset Q и  LaTeX formula: Q\subset R .
Объединением двух множеств LaTeX formula: A и LaTeX formula: B называют множество LaTeX formula: C , состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств LaTeX formula: A или LaTeX formula: B . Объединение множеств LaTeX formula: A и LaTeX formula: B записывают так: LaTeX formula: A\cup B .
Примером объединения множеств является решение совокупности неравенств: решением совокупности неравенств LaTeX formula: \left [\begin{matrix} x<a\\ x>b \end{matrix}\right.  является объединение промежутков  LaTeX formula: (-\infty ;a) и LaTeX formula: (b;+\infty ) . 
Пересечением двух множеств LaTeX formula: A и LaTeX formula: B называют множество LaTeX formula: C , состоящее из элементов, принадлежащих и множеству LaTeX formula: A и множеству LaTeX formula: B . Пересечение множеств LaTeX formula: A и LaTeX formula: B записывают так:  LaTeX formula: A\cap B. Если множества LaTeX formula: A и LaTeX formula: B не содержат общих элементов, то их пересечение пусто:  LaTeX formula: A\cap B=\varnothing .
Примером пересечения множеств является решение системы неравенств: решением системы неравенств  LaTeX formula: \begin{cases} x<a \\ x>b \end{cases} является пересечение промежутков  LaTeX formula: (-\infty ;a) и  LaTeX formula: (b;+\infty ) . 
Пример 1. Найдите длину и середину отрезка LaTeX formula: [-4;8] .
Решение. Длина отрезка равна:  LaTeX formula: 8-(-4)=8+4=12 .
Середина отрезка равна: LaTeX formula: (-4+8):2=4:2=2 .
Ответ: LaTeX formula: 12LaTeX formula: 2 .
Пример 2. Решите LaTeX formula: \left [\begin{matrix} x<-5\\ x\geq 2 \end{matrix}\right.  и  LaTeX formula: \begin{cases} x\geq -5\\ x<2 \end{cases} .
Решение. Решением совокупности неравенств  LaTeX formula: \left [\begin{matrix} x<-5\\ x\geq 2 \end{matrix}\right. является объединение промежутков LaTeX formula: (-\infty ;5)  и  LaTeX formula: [2;+\infty ) (рис. 1.13). Запишем:  LaTeX formula: x\in (-\infty ;5)\cup [2;+\infty ) .
Решение системы неравенств  LaTeX formula: \begin{cases} x\geq -5\\ x<2 \end{cases} показано на рисунке 1.14 – это промежуток  LaTeX formula: [-5;2) .
Пример 3. Вычислите  LaTeX formula: \frac{(6,35-5,7):6,5+9,9}{\left ( 1,2:36+1,2:0,25-1\frac{5}{16} \right ):7\frac{1}{24}} .
Решение. Найдем значение выражения, записанного в числителе дроби: 
1)  LaTeX formula: 6,35-5,7=0,65 ;
2)  LaTeX formula: 0,65:6,5=\frac{65}{100}:\frac{65}{10}=\frac{65}{100}\cdot \frac{10}{65}=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}=0,1 ;
3)  LaTeX formula: 0,1+9,9=10 .
Найдем значение выражения, записанного в знаменателе дроби:
4)  LaTeX formula: 1,2:36=\frac{12}{10}:36=\frac{12}{10}\cdot \frac{1}{36}=\frac{1}{10\cdot 3}=\frac{1}{30} ;
5)  LaTeX formula: 1,2:0,25=\frac{12}{10}:\frac{25}{100}=\frac{12\cdot 100}{10\cdot 25}=\frac{6\cdot 4}{5\cdot 1}=\frac{24}{5} ;
6)  LaTeX formula: \frac{1}{30}+\frac{24}{5}=\frac{1+24\cdot 6}{30}=\frac{145}{30}=\frac{29}{6} ;
7)   LaTeX formula: \frac{29}{6}-1\frac{5}{16}=1\frac{23}{6}-1\frac{5}{16}=\frac{23}{2\cdot 3}-\frac{5}{2\cdot 8}=\frac{23\cdot 8-5\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 8}=\frac{184-15}{2\cdot 3\cdot 8}LaTeX formula: =\frac{169}{48} ;
8)  LaTeX formula: \frac{169}{48}:\frac{169}{24}=\frac{169\cdot 24}{48\cdot 169}=\frac{1}{2} .
Разделим числитель дроби на ее знаменатель:
 LaTeX formula: 10:\frac{1}{2}=10\cdot 2=20 .
Ответ: LaTeX formula: 20 .
Пример 4. Найдите сумму всех чисел LaTeX formula: m , каждое из которых делится без остатка на LaTeX formula: 18 и принадлежит промежутку  LaTeX formula: [-252;299) .
Решение. Рассмотрим отрезок LaTeX formula: [-252;252]  и интервал LaTeX formula: (252;299)  (рис. 1.15). 
1. Рассмотрим отрезок  LaTeX formula: [-252;252] . Сумма всех чисел, каждое из которых делится без остатка на LaTeX formula: 18 и принадлежит этому отрезку, будет равна нулю ( LaTeX formula: -18+18=0 , LaTeX formula: -36+36=0  и т. д.).
2. Рассмотрим интервалLaTeX formula: (252;299) . Зная, что числоLaTeX formula: 252 делится наLaTeX formula: 18 , но не принадлежит рассматриваемому интервалу, найдем все числа, кратные LaTeX formula: 18 и не превосходящие число LaTeX formula: 299 .  
Получим:  LaTeX formula: m_1=252+18=270 ,  LaTeX formula: m_2=270+18=288 .
Тогда  LaTeX formula: m_1+m_2=270+288=558 .
Ответ: LaTeX formula: 558 .
Пример 5. Укажите все номера рациональных чисел данного множества:  LaTeX formula: \sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}\cdot 2^{1/4} (1); LaTeX formula: \sqrt{10+4\sqrt{6}}-2  (2); LaTeX formula: (\sqrt{2}-1)^2 (3); LaTeX formula: sin^01^{\circ} (4); LaTeX formula: \frac{12}{\sqrt{3}+3}+2\sqrt{3} (5).
Варианты ответов: а) LaTeX formula: 1 ,LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 5 ; б) LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 4 , LaTeX formula: 5 ; в) LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 5 ; г) LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4 ; д) LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4 .
Решение. Применим метод исключений, выполняя следующие преобразования.
1. Преобразуем любое число данного множества, например число (5): LaTeX formula: \frac{12}{\sqrt{3}+3}+2\sqrt{3}=\frac{12(3-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+3)(3-\sqrt{3})}+2\sqrt{3}=LaTeX formula: = \frac{12(3-\sqrt{3})}{6}+2\sqrt{3}=2(3-\sqrt{3})+2\sqrt{3}=6-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6 .
Число (5) рациональное, значит, исключим варианты ответов, не содержащие этого числа, то есть варианты г) и д).
2. Преобразуем число (3):  LaTeX formula: (\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2} . Число (3) иррациональное, значит, исключим вариант ответа в).
3. Преобразуем любое из чисел (2) или (4), так как число (1) входит в оба оставшихся варианта ответа:  LaTeX formula: sin^01^{\circ}=1 . Число (4) - рациональное.
Ответ:  б.

1. Обозначения числовых множеств:
1) LaTeX formula: N – множество натуральных чисел;
2) LaTeX formula: Z – множество целых чисел;
3) LaTeX formula: Q – множество рациональных чисел;
4) LaTeX formula: I – множество иррациональных чисел;
5) LaTeX formula: R – множество действительных чисел;
6) LaTeX formula: \varnothing – пустое множество.
2. Справедливо, что:  LaTeX formula: N\subset Z\subset Q\subset R;  LaTeX formula: I\subset R;  LaTeX formula: Q\cup I=R

formula