Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Линейной   называют функцию вида LaTeX formula: y=kx+b  , где LaTeX formula: k и LaTeX formula: b – действительные числа. Число LaTeX formula: k называют  угловым коэффициентом прямой. 
Графиком линейной функции является прямая (рис. 2.11 – 2.13). Если LaTeX formula: k> 0  , то функция монотонно возрастает (рис. 2.11). Если LaTeX formula: k< 0  , то функция монотонно убывает (рис. 2.12). Если LaTeX formula: k=0  , то функция примет вид LaTeX formula: y=b  . Придавая LaTeX formula: b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси LaTeX formula: Ox (рис. 2.13). 
Если LaTeX formula: b=0  , то функция примет вид LaTeX formula: y=kx  . Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью .
Область определения линейной функции LaTeX formula: D(f)=R  , и область значений линейной функции LaTeX formula: E(f)=R
Угловой коэффициент LaTeX formula: k прямой LaTeX formula: y=kx+b  находят по формуле  LaTeX formula: k=tg\alpha  , где LaTeX formula: \alpha  – угол наклона прямой к положительному направлению оси LaTeX formula: Ox (рис. 2.11). 
Рассмотрим взаимное расположение прямых LaTeX formula: y=k_{1}x+b_{1}   и LaTeX formula: y=k_{2}x+b_{2} на плоскости:
1) если LaTeX formula: k_{1}\neq k_{2} , то прямые  пересекаются ;
2) если LaTeX formula: k_{1}=k_{2}  и LaTeX formula: b_{1}\neq b_{2} , то прямые  параллельны ;
3) если LaTeX formula: k_{1}= k_{2}  и LaTeX formula: b_{1}= b_{2} , то прямые совпадают .

2. Степенной называют функцию вида LaTeX formula: y=x^{n}, где LaTeX formula: n – положительное действительное число, отличное от нуля. Рассмотрим некоторые из них:
1) если функция имеет вид LaTeX formula: y=x^{2} (рис. 2.14), то LaTeX formula: D(f) : LaTeX formula: x\in R, а LaTeX formula: E(x)LaTeX formula: y\in [0;+\infty ) ;
2) если функция имеет вид LaTeX formula: y=x^{3}  (рис. 2.15), то LaTeX formula: D(x): LaTeX formula: x\in R  , а LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in R ;
3) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\sqrt{x}  (рис. 2.16), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in [0;+\infty )  , а LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in [0;+\infty ) ;
4) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\sqrt[3]{x}  (рис. 2.17), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R  , а LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in R ;
5) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\frac{k}{x}  , где LaTeX formula: k – отличное от нуля действительное число (рис. 2.18, 2.19), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )  , а LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )  .
Функцию LaTeX formula: y=\frac{k}{x} называют  обратной пропорциональностью . Если LaTeX formula: k> 0  , то ее график расположен в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис.2.18), а если LaTeX formula: k< 0  , то – во второй и четвертой четвертях координатной плоскости (рис. 2.19);
6) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\frac{1}{x^{2}}  (рис. 2.20), то LaTeX formula: D(f): LaTeX formula: x\in (-\infty ;0)\cup (0;+\infty )  , а LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in (0;+\infty )  .

3. Квадратичной  называют функцию вида LaTeX formula: y=ax^{2}+bx+c  , где LaTeX formula: a, LaTeX formula: b, LaTeX formula: c – действительные числа (LaTeX formula: a\neq 0) . График квадратичной функции называется параболой.
Координаты вершины LaTeX formula: (x_{0};y_{0})   параболы находят по формулам: LaTeX formula: x_{0}=\frac{-b}{2a}  , LaTeX formula: y_{0}=f(x_{0})  .
Прямая LaTeX formula: x_{0}=\frac{-b}{2a} –  ось симметрии параболы.

Расположение параболы LaTeX formula: y=ax^{2}+bx+c  на координатной плоскости зависит от значения дискриминанта LaTeX formula: D=b^{2}-4ac  и знака коэффициента LaTeX formula: a. Возможны следующие случаи:
1) LaTeX formula: a> 0  и LaTeX formula: D> 0  (рис. 2.21); 2) LaTeX formula: a> 0  и LaTeX formula: D=0 (рис. 2.22); 
3) LaTeX formula: a> 0  и LaTeX formula: D< 0  (рис. 2.23); 4) LaTeX formula: a< 0  и LaTeX formula: D> 0 (рис. 2.24); 
5) LaTeX formula: a< 0  и LaTeX formula: D=0  (рис. 2.25); 6) LaTeX formula: a< 0  и LaTeX formula: D< 0 (рис. 2.26).
Из рисунков 2.21, 2.22 и 3.23 видим, что при LaTeX formula: a> 0   наименьшим значением функции является ордината вершины параболы и LaTeX formula: E(f)=[y_{0};+\infty )   . 
Из рисунков 2.24, 2.25, 2.26 видим, что при LaTeX formula: a< 0   наибольшим значением функции является ордината вершины параболы и LaTeX formula: E(f)=(-\infty ;y_{0}]   . 
4. Показательной называют функцию вида LaTeX formula: y=a^{x}  , где LaTeX formula: a> 0   и LaTeX formula: a\neq 1 . LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R  ; LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in (0;+\infty )  . 
Если LaTeX formula: a> 1  , то функция монотонно возрастает (рис. 2.27), а если LaTeX formula: 0< a< 1  , то функция монотонно убывает (рис. 2.28).
5. Логарифмической называют функцию вида LaTeX formula: y=\log _{a}x  , где LaTeX formula: a> 0   и LaTeX formula: a\neq 1 . Если основание логарифмической функции LaTeX formula: a> 1 , то функция монотонно возрастает (рис. 2.29), а если LaTeX formula: 0< a< 1  , то функция монотонно убывает (рис. 2.30). 
6. Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относят функции LaTeX formula: y=\sin x , LaTeX formula: y=\cos x  , LaTeX formula: y=tg x   и LaTeX formula: y=ctg x  :
1) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\sin x   (рис.2.31), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R , LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in [-1;1]  ; основной период LaTeX formula: T_{0}=2\pi ;
2) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\cos x  (рис. 2.32), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R  , LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in [-1;1]  ; основной период LaTeX formula: T_{0}=2\pi;
3) если функция имеет вид LaTeX formula: y=tgx   (рис. 2.33), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R   и LaTeX formula: x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n , где LaTeX formula: n\in Z  , LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in R  ; основной период LaTeX formula: T_{0}=\pi ;
4) если функция имеет вид LaTeX formula: y=ctg x   (рис. 2.34), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in R   и LaTeX formula: x\neq \pi n  , где  LaTeX formula: n\in ZLaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in R  ; основной период LaTeX formula: T_{0}=\pi  .
Если тригонометрическая функция имеет вид LaTeX formula: y=f(kx) , то ее основной период находят по формуле LaTeX formula: T=\frac{T_{0}}{\left | k \right |}  , где LaTeX formula: T_{0}  – основной период функции LaTeX formula: y=f(x) . 
Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относят функции: LaTeX formula: y=\arcsin x  , LaTeX formula: y=\arccos x  , LaTeX formula: y=arctg x   и LaTeX formula: y=arcctg x . 
Необходимо помнить, что:
1) для функции LaTeX formula: y=\sin x  , обратная функция LaTeX formula: y=\arcsin x   определена только на отрезке LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}\right ] ; 
2) для функции LaTeX formula: y=\cos x   обратная функция LaTeX formula: y=\arccos x   определена только на отрезке LaTeX formula: \left [ 0;\pi ]
3) для функции LaTeX formula: y=tg x   обратная функция LaTeX formula: y=arctg x   определена только на интервале LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2} \right ) ; 
4) для функции LaTeX formula: y=ctg x   обратная функция LaTeX formula: y=arcctg x   определена на интервале LaTeX formula: \left ( 0 ;\pi ) . 
Тогда: 1) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\arcsin x   (рис. 2.35), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in [-1;1]LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in \left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ];
2) если функция имеет вид LaTeX formula: y=\arccos x   (рис. 2.36), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in [-1;1 ] , LaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in [0;\pi ]  ;
3) если функция имеет вид LaTeX formula: y=arc tg x   (рис. 2.37), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in RLaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in \left (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ).
4) если функция имеет вид 
LaTeX formula: y=arcctg x (рис. 2.38), то LaTeX formula: D(f)LaTeX formula: x\in RLaTeX formula: E(f)LaTeX formula: y\in (0;\pi ) .
Пример 1. Найдите значения параметра LaTeX formula: a, при которых наибольшее значение функции LaTeX formula: y=2ax^{2}-4x+14a  равно LaTeX formula: 12.
Решение. Функция может иметь наибольшее значение в случае, если она ограничена сверху, следовательно, данная функция не может быть линейной, и значит, LaTeX formula: a\neq 0. Следовательно, имеем квадратичную функцию, графиком корой является парабола. Свое наибольшее значение квадратичная функция принимает в точке, которая является вершиной параболы, при условии, что ветви этой параболы направлены вниз, то есть, при условии, что LaTeX formula: a< 0.
По формулам LaTeX formula: x_{0}=\frac{-b}{2a}  и LaTeX formula: y_{0}=f(x_{0})  найдем координаты вершины параболы. Получим: LaTeX formula: x_{0}=\frac{4}{4a}=\frac{1}{a}LaTeX formula: y_{0}=2a\cdot \frac{1}{a^{2}}-\frac{4}{a}+14a , LaTeX formula: y_{0}=14a-\frac{2}{a}=\frac{14a^{2}-2}{a} . Так как согласно условию задачи LaTeX formula: y_{0}=12 , то LaTeX formula: \frac{14a^{2}-2}{a}=12 , LaTeX formula: 7a^{2}-6a-1=0, откуда LaTeX formula: a_{1}=1 , LaTeX formula: a_{2}=-\frac{1}{7} . Учитывая, что LaTeX formula: a< 0 , получим LaTeX formula: a=-\frac{1}{7} .
Ответ: LaTeX formula: -\frac{1}{7} .
Пример 2. Найдите произведение целых значений параметра LaTeX formula: a, при которых вершина параболы  LaTeX formula: y=(x-27a)^{2}-a^{2}+6a+24 находится во второй четверти координатной плоскости.
Решение. Так как квадратичная функция представлена в виде LaTeX formula: y=(x-a)^{2}+b , то запишем координаты вершины параболы: 
 LaTeX formula: x_{0}=27aLaTeX formula: y_{0}=-a^{2}+6a+24 .
Так как вершина параболы находится во второй четверти координатной плоскости, то  LaTeX formula: x_{0}< 0 и LaTeX formula: y_{0}> 0 . Тогда    LaTeX formula: \begin{cases} & \ 27a< 0, \\ & \ -a^{2}+6a+24> 0; \end{cases} LaTeX formula: \begin{cases} & \ a< 0, \\ & \ a^{2}-6a-24< 0. \end{cases}
Поскольку решением первого неравенства системы является промежуток LaTeX formula: (-\infty ;0) , то решим второе неравенство системы на этом промежутке методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(a)=a^{2}-6a-24 .
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: a^{2}-6a-24=0 . Получим: LaTeX formula: a_{1}=3-\sqrt{33}LaTeX formula: a_{2}=3+\sqrt{33}.    
 3. Нанесем нули функции на промежуток LaTeX formula: (-\infty ;0)  и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 2.39).
4. Из рисунка 2.39 видим, что решением неравенства, а, следовательно, и системы неравенств, является интервал LaTeX formula: (3-\sqrt{33};0) . Этому интервалу принадлежит два целых числа LaTeX formula: -2 и LaTeX formula: -1, произведение которых равно LaTeX formula: 2.
Ответ: LaTeX formula: 2.

Мы рассмотрели основные элементарные функции. Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. 
Примеры элементарных функций: LaTeX formula: y=2x^{3}+\ln x , LaTeX formula: y=\sqrt{\sin 5x} , LaTeX formula: y=2^{tg x}  и т. п.

formula