Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
, 
.
1. Линейной называют функцию вида 
, где 
и 
– действительные числа. Число называют угловым коэффициентом прямой.
Графиком линейной функции является прямая (рис. 2.11 – 2.13). Если
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.11). Если 
, то функция монотонно убывает (рис. 2.12). Если 
, то функция примет вид 
. Придавая произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси 
(рис. 2.13).
Если
, то функция примет вид 
. Такую функциональную зависимость называют
прямой пропорциональностью
.
Область определения линейной функции
, и область значений линейной функции 
.
Угловой коэффициент прямой находят по
формуле
, где 
– угол наклона прямой к положительному направлению оси (рис. 2.11).
Рассмотрим взаимное расположение прямых
и 
на плоскости:
1) если
, то прямые
пересекаются
;
2) если
и 
, то прямые
параллельны
;
3) если
и 
, то прямые
совпадают
.
на координатной плоскости зависит от значения дискриминанта 
и знака коэффициента 
. Возможны следующие случаи:
1)
и 
(рис. 2.21); 2) и 
(рис. 2.22);
3) и 
(рис. 2.23); 4) 
и (рис. 2.24);
5) и (рис. 2.25); 6) и (рис. 2.26).
Из рисунков 2.21, 2.22 и 3.23 видим, что при наименьшим значением функции является ордината вершины параболы и 
. 
5. Логарифмической называют функцию вида 
, где и 
. Если основание логарифмической функции 
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.29), а если 
, то функция монотонно убывает (рис. 2.30). 
6. Тригонометрические функции
К тригонометрическим функциям относят функции
, 
, 
и 
:
3) если функция имеет вид 
(рис. 2.33), то 
: 
и 
, где 
, 
: 
; основной период 
;
4) если функция имеет вид (рис. 2.34), то : и 
, где , : ; основной период .
3) если функция имеет вид 
(рис. 2.37), то : , : 
.
4) если функция имеет вид
(рис. 2.38), то : , : 
.
, где и – действительные числа. Число называют угловым коэффициентом прямой. Графиком линейной функции является прямая (рис. 2.11 – 2.13). Если
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.11). Если , то функция монотонно убывает (рис. 2.12). Если , то функция примет вид . Придавая произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси (рис. 2.13). Если
, то функция примет вид . Такую функциональную зависимость называют
прямой пропорциональностью
.Область определения линейной функции
, и область значений линейной функции . прямой находят по
формуле
, где – угол наклона прямой к положительному направлению оси (рис. 2.11). Рассмотрим взаимное расположение прямых
и на плоскости:1) если
, то прямые
пересекаются
; 2) если
и , то прямые
параллельны
;3) если
и , то прямые
совпадают
.
2. Степенной
называют функцию вида 
, где 
– положительное действительное число, отличное от нуля. Рассмотрим некоторые из них:
1) если функция имеет вид 
(рис. 2.14), то : , а 
: 
;
2) если функция имеет вид 
(рис. 2.15), то 
: , а : ;
3) если функция имеет вид 
(рис. 2.16), то : 
, а : ;
4) если функция имеет вид ![LaTeX formula: y=\sqrt[3]{x}](/uploads/formulas/f8c1b58cafb804617a8eaf711b449e103ca70482.1.1.png "y=\sqrt[3]{x}")
(рис. 2.17), то : , а : ;
5) если функция имеет вид 
, где – отличное от нуля действительное число (рис. 2.18, 2.19), то : 
, а : 
.
Функцию называют
обратной пропорциональностью
. Если , то ее график расположен в первой и третьей четвертях координатной плоскости (рис.2.18), а если , то – во второй и четвертой четвертях координатной плоскости (рис. 2.19);
6) если функция имеет вид 
(рис. 2.20), то : , а : 
.
3. Квадратичной
называют функцию вида , где , , 
– действительные числа (
) . График квадратичной функции называется
параболой.
Координаты вершины 
параболы находят по формулам: 
, 
.
Прямая –
ось симметрии
параболы.
на координатной плоскости зависит от значения дискриминанта и знака коэффициента . Возможны следующие случаи:1)
и (рис. 2.21); 2) и (рис. 2.22); 3)
и (рис. 2.23); 4) и (рис. 2.24); 5)
и (рис. 2.25); 6) и (рис. 2.26). наименьшим значением функции является ордината вершины параболы и . Из рисунков 2.24, 2.25, 2.26 видим, что при наибольшим значением функции является ордината вершины параболы и ![LaTeX formula: E(f)=(-\infty ;y_{0}]](/uploads/formulas/20cbb66e69c98805f201ef5244fdeb47bea759a9.1.1.png "E(f)=(-\infty ;y_{0}]")
.
наибольшим значением функции является ордината вершины параболы и . 4. Показательной называют функцию вида 
, где и . : ; : .
, где и . : ; : . Если , то функция монотонно возрастает (рис. 2.27), а если , то функция монотонно убывает (рис. 2.28).
, то функция монотонно возрастает (рис. 2.27), а если , то функция монотонно убывает (рис. 2.28). , где и . Если основание логарифмической функции , то функция монотонно возрастает (рис. 2.29), а если , то функция монотонно убывает (рис. 2.30). К тригонометрическим функциям относят функции
, , и :1) если функция имеет вид (рис.2.31), то : , : ![LaTeX formula: y\in [-1;1]](/uploads/formulas/f60d17e426fb9053ba17362774d52aa31ef31d31.1.1.png "y\in [-1;1]")
; основной период 
;
(рис.2.31), то : , : ; основной период ;2) если функция имеет вид (рис. 2.32), то : , : ; основной период ;
(рис. 2.32), то : , : ; основной период ; (рис. 2.33), то : и , где , : ; основной период ; (рис. 2.34), то : и , где , : ; основной период .Если тригонометрическая функция имеет вид 
, то ее основной период находят по формуле 
, где 
– основной период функции 
.
, то ее основной период находят по формуле , где – основной период функции . Обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
, 
, 
и .
К обратным тригонометрическим функциям относят функции:
, , и . Необходимо помнить, что:
1) для функции , обратная функция определена только на отрезке ![LaTeX formula: \left [ -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}\right ]](/uploads/formulas/96a49027adfcaf5cc0f85752b00acd00a08bbf58.1.1.png "\left [ -\frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{2}\right ]")
;
1) для функции
, обратная функция определена только на отрезке ; 2) для функции обратная функция определена только на отрезке ![LaTeX formula: \left [ 0;\pi ]](/uploads/formulas/ad3ecbe0baa5b523199f0b81e6c74227005b4660.1.1.png "\left [ 0;\pi ]")
;
обратная функция определена только на отрезке ; 3) для функции обратная функция определена только на интервале 
;
обратная функция определена только на интервале ; 4) для функции обратная функция определена на интервале 
.
обратная функция определена на интервале . Тогда: 1) если функция имеет вид (рис. 2.35), то : ![LaTeX formula: x\in [-1;1]](/uploads/formulas/8dc88849028ecc07f6fd9cd49c35c436712b3757.1.1.png "x\in [-1;1]")
, : ![LaTeX formula: y\in \left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]](/uploads/formulas/5e8db1dc97483c080b56d86e78d9c36373b126e0.1.1.png "y\in \left [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right ]")
;
(рис. 2.35), то : , : ;2) если функция имеет вид (рис. 2.36), то : ![LaTeX formula: x\in [-1;1 ]](/uploads/formulas/318f323b48a0b0ca7dfbc8a79bc72da4aef644bc.1.1.png "x\in [-1;1 ]")
, : ![LaTeX formula: y\in [0;\pi ]](/uploads/formulas/ad2baee35e5490968eb444d9fec085352c28fceb.1.1.png "y\in [0;\pi ]")
;
(рис. 2.36), то : , : ; (рис. 2.37), то : , : .4) если функция имеет вид
(рис. 2.38), то : , : .Пример 1. Найдите значения параметра , при которых наибольшее значение функции 
равно 
.
, при которых наибольшее значение функции равно .Решение. Функция может иметь наибольшее значение в случае, если она ограничена сверху, следовательно, данная функция не может быть линейной, и значит, . Следовательно, имеем квадратичную функцию, графиком корой является парабола. Свое наибольшее значение квадратичная функция принимает в точке, которая является вершиной параболы, при условии, что ветви этой параболы направлены вниз, то есть, при условии, что .
. Следовательно, имеем квадратичную функцию, графиком корой является парабола. Свое наибольшее значение квадратичная функция принимает в точке, которая является вершиной параболы, при условии, что ветви этой параболы направлены вниз, то есть, при условии, что .По формулам и найдем координаты вершины параболы. Получим: 
, 
, 
. Так как согласно условию задачи 
, то 
, 
, откуда 
, 
. Учитывая, что , получим 
.
и найдем координаты вершины параболы. Получим: , , . Так как согласно условию задачи , то , , откуда , . Учитывая, что , получим .Ответ: 
.
.Пример 2. Найдите произведение целых значений параметра , при которых вершина параболы 
находится во второй четверти координатной плоскости.
, при которых вершина параболы находится во второй четверти координатной плоскости.Решение. Так как квадратичная функция представлена в виде 
, то запишем координаты вершины параболы:
, то запишем координаты вершины параболы: , .Так как вершина параболы находится во второй четверти координатной плоскости, то 
и 
. Тогда 
и . Тогда Поскольку решением первого неравенства системы является промежуток 
, то решим второе неравенство системы на этом промежутке методом интервалов.
, то решим второе неравенство системы на этом промежутке методом интервалов.1. Рассмотрим функцию 
.
.2. Найдем нули функции, решая уравнение 
. Получим: 
, 
.
. Получим: , . 3. Нанесем нули функции на промежуток и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 2.39).
и определим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 2.39).4. Из рисунка 2.39 видим, что решением неравенства, а, следовательно, и системы неравенств, является интервал 
. Этому интервалу принадлежит два целых числа 
и 
, произведение которых равно 
.
. Этому интервалу принадлежит два целых числа и , произведение которых равно .Ответ: .
.Мы рассмотрели основные элементарные функции. Элементарными функциями называют функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций.
Примеры элементарных функций: 
, 
, 
и т. п.
, , и т. п.
Программа для просмотра моделей (МК-плеер)
m_2_линейная_функцияm_3_линейная_функция
m_4_линейная_функция
m_5_обратная_пропорциональность
m_6_степенные_функции
m_7_1_квадратичная_функция
m_7_2_квадратичная_функция
m_8_показательная_функция
m_9_функция_синус
m_10_функция_косинус
m_11_функция_тангенс
m_12_функция_котангенс